基于LQR控制的平面二級倒立擺系統的研究

2014-09-04 08:02:28凌有鑄陳孟元

荊楚理工學院學報 2014年4期

關鍵詞：理論系統

陶明，凌有鑄，陳孟元

(安徽工程大學安徽省電氣傳動與控制重點實驗室，安徽蕪湖 241000)

基于LQR控制的平面二級倒立擺系統的研究

陶明，凌有鑄，陳孟元

(安徽工程大學安徽省電氣傳動與控制重點實驗室，安徽蕪湖 241000)

為實現平面二級倒立擺控制系統的穩定控制，研究設計了基于LQR的控制系統。通過對平面二級倒立擺實際物理結構的分析，建立了基于拉格朗日方程的動力學模型。通過試驗確定加權矩陣Q，在理論上驗證LQR算法的可行性。在GLPI2001倒立擺實驗平臺下，驗證了LQR控制效果的有效性。

倒立擺；拉格朗日方程；LQR

0 引言

倒立擺控制系統具有強耦合、非線性、多變量、高階次、結構不穩定等特點[1]。因此，倒立擺控制系統成為了各種先進控制策略驗證和控制理論教學的實驗平臺。國內外控制領域的研究人員對倒立擺控制——這一控制領域的經典問題提出了多種控制策略，其對航空航天領域、機器人領域的發展提供了很大的幫助。文獻[2]采用狀態反饋極點配置方法整定PD參數來實現二級倒立擺的實時控制；文獻[3]利用變結構控制的方法穩定有效的控制了二級倒立擺系統；文獻[4]基于模糊控制理論實現了一級倒立擺的有效控制；文獻[5]利用模糊神經網絡控制方法解決了二級倒立擺的控制問題；文獻[6]采用LGQ最優控制實現了二級倒立擺有效控制;北京師范大學的李洪興教授則采用變域論自適應模糊控制理論完成了四級倒立擺系統的實時控制[7]。

線性二次型調節器(linear quadratic regulator)理論是現代控制理論中很重要的一種狀態空間設計方法，它采用簡單的線性反饋控制結構，能夠很好兼顧動態性能、魯棒性等性能指標，其控制簡單可靠，成本低廉，在控制領域具有廣闊的前景。

本文首先基于拉格朗日方程，建立平面二級倒立擺系統的數學模型；然后在MATLAB環境下實現LQR控制器設計，完成仿真實驗；最后，在固高科技公司的GLPI2001倒立擺實驗平臺下，驗證LQR控制效果的有效性。

1 平面二級倒立擺數學模型的建立

圖1所示為二級倒立擺實物模型，該物理模型在理想的情況下具備以下特點：

擺桿1、擺桿2和轉軸均為質量均勻的剛體；除傳送帶與導軌之間的摩擦力外，系統內其他部件之間的摩擦力很小，可以忽略不計；空氣阻力忽略不計。

平面二級倒立擺的數學模型是在拉格朗日方程推導出的動力學方程的基礎上建立而成的。在保守力學系下，拉格朗日方程式[8]表現為：

(1)

其中t為時間變量，qα為廣義坐標，T為系統動能，表現為廣義坐標、廣義速度和時間的函數。當廣義坐標和廣義速度均被定義為獨立變量時，通過系統動能T就可以求出所有的有關的qα動力學方程。部分倒立擺以及各個符號表示的物理意義分別如表1和表2所示。

圖1 二級倒立擺實物模型

表1部分倒立擺物理意義及參數值

物理意義實際數值物理意義實際數值小車質量1．096kg擺桿質量0．109kg重力加速度9．8m/s2擺桿長度0．5m擺桿質量0．00223kg

表2 各個符號表示的物理意義

在本文的二級倒立擺系統中定義了3個廣義坐標，分別為x,θ1,θ2。通過拉格朗日方程式(1)得出式(2)和式(3)：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

用數學方法對系統狀態矩陣的能觀性和能控性進行判定。系統能觀能控，但是整個系統是發散的，需要設計一個控制器使得整個系統穩定。

2 LQR控制器的設計

LQR控制是線性系統中比較重要和典型的優化型問題，其特點是通過對指定性能指標函數取極大或極小而來導出系統的控制規律[9]。

LQR控制器的設計的首先步驟是假設一個狀態反饋公式U=-Kx，由此形成一個穩定的閉環反饋系統。整個控制器設計的關鍵是確定狀態反饋矩陣K。根據線性二次型最優控制理論，狀態反饋矩陣K滿足相對于狀態和控制的二次型性能指標函數：

(8)

使得關于U的指標函數J取最小值。其中Q為x的加權矩陣，R為u的加權矩陣，且Q,R均為半正定矩陣，x是狀態變量，u為輸入變量。

利用MATLAB中的LQR函數能很簡便的求出K矩陣，其中Q11、Q22、Q33分別代表對小車位移x、下擺角θ1、上擺角θ2的加權作用。在一般的LQR控制器中R=1，選取不同的Q矩陣值，可以得出不同的K矩陣，對各狀態變量的加權有不同影響，通過多次重復的試湊得出合適的實驗數據。當Qii選取較小的值時，系統的動態性能不能夠滿足要求；當Qii選取較大的值時系統的動態性能會有很大的改善，能夠滿足系統響應；當Qii選取的值過大時，系統的魯棒性和快速性都能夠得到很好的體現，但是由于控制量過大系統會有明顯震蕩。經過多次實驗選取Q11=200，Q22=400，Q33=400，是比較合適的值，能夠保證系統穩定運行。由此得到狀態反饋K矩陣：[14.1421 106.3946 -181.25 15.63 3.0372 -29.3671]。

3 系統仿真與運行結果

通過MATLAB語言編程，在MATLAB環境下建立平面二級倒立擺仿真模型，將所得的狀態反饋K矩陣帶入至仿真模型中，設該系統的輸入量為單位階躍響應，得到各個控制量的仿真圖。由圖2～4可以得出：小車在4 s左右能夠達到穩定運行，下擺角比上擺角的調節時間略短，小車能夠很快的穩定在平衡位置，不會出現很大的偏移。