規律探究都是紙老虎

華文秋

找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列數、式或圖形，要求我們根據這些已知數、式或圖形找出一般規律. 這些規律常常與所標注的序列號有關，解題的時候，把每個數、式或圖形和序列號放在一起加以比較，就能發現其中的奧秘.

一、基本模型是規律探究的基石

【模型1】等差模型：如1，3，5，7，9，…這列數，每相鄰兩個數的差都等于2.

【模型2】等比模型：如2，4，8，16，…這列數，每相鄰兩數的商都等于2.

【模型3】平方（立方）模型：如1，4，9，16，…這列數，恰好分別是1，2，3，4，…的平方.

【模型4】循環模型：如“有一列數a1，a2，a3，…，an，從第二個數開始，每一個數都等于1與它前面那個數的差的倒數，若a1=2”，經過計算，這列數是2，-1，，2，-1，，…，每3個數出現一次循環.

【模型5】符號的控制：如果要使得一列數中每個數的符號分別為“+，-，+，-，…”或“-，+，-，+，…”，我們可將每個數前分別乘（-1）n+1或（-1）n來實現.

注：在探究規律時，所需要探究的規律常常由上面幾個模型復合而成.

二、 規律探究基本方法——應用模型

1. 比較變量與序號，得出數式規律

例1 （2013·衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，……，試猜想第n個等式（n為正整數）an=______.

【思路分析】列表比較序號與算式：

這些算式中，變化的是兩個分母，其中前一個分母正好等于n，后一個分母比n大2.

由此可以推斷，第n個算式的第一個分母為n，第二個分母是n+2.

【答案】-.

【方法總結】（1） 探尋一列數的規律時，通常將這列數與序號作比較，尋找數與序號之間的聯系.

（2） 探尋一列算式的規律時，我們可以將這些算式根據位置特征，分解成一些比較簡單的數再尋找規律，比如本題，我們就分解成了“1，2，3，4，…”和“3，4，5，6，…”兩個簡單數列，分別探尋規律.

2. 豎狀排列，規律易顯

可以發現，第一項正好是序號的平方，第二項的底數比序號大1，第三項的底數是前兩項底數的乘積，最后一項的底數比第三項的底數大1.

【答案】82+92+722=732.

【方法總結】探尋一列等式的規律，我們通常將這列等式豎著寫，這樣可以將這列等式分解成一系列簡單的數來探尋規律.

3. 結合圖形，探尋規律

例3 （2013·聊城）如圖1，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷地移動，每次移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…，那么點A4n+1（n是自然數）的坐標為_______.

【思路分析】由圖形可以發現，這些點應該分為“A1，A5，A9，A13，…”“A2，A6，A10，…”“A3，A7，A11，…”“A4，A8，A12，…”四類，分別來探尋規律. 其中A4n+1的坐標規律應在“A1，A5，A9，A13，…”中探尋. A1（0，1），A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）…，可以發現這些點的橫坐標分別是2×0，2×1，2×2，2×3，…，所以A4n+1的橫坐標為2n，而這些點的縱坐標都是1.

【答案】（2n，1）.

【方法總結】通過圖形尋找規律時，一般先通過計算，將圖形轉化為一列數，再結合圖形的特征求解.

4. 先計算，再歸納

例4 （2012·東營）在平面直角坐標系xOy中，點A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分別在直線y=kx+b和x軸上. △OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2

【方法總結】對于那些一眼看不出規律的算式，我們可以先計算前幾項的結果，再進一步觀察尋求規律.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）endprint

找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列數、式或圖形，要求我們根據這些已知數、式或圖形找出一般規律. 這些規律常常與所標注的序列號有關，解題的時候，把每個數、式或圖形和序列號放在一起加以比較，就能發現其中的奧秘.

一、基本模型是規律探究的基石

【模型1】等差模型：如1，3，5，7，9，…這列數，每相鄰兩個數的差都等于2.

【模型2】等比模型：如2，4，8，16，…這列數，每相鄰兩數的商都等于2.

【模型3】平方（立方）模型：如1，4，9，16，…這列數，恰好分別是1，2，3，4，…的平方.

【模型4】循環模型：如“有一列數a1，a2，a3，…，an，從第二個數開始，每一個數都等于1與它前面那個數的差的倒數，若a1=2”，經過計算，這列數是2，-1，，2，-1，，…，每3個數出現一次循環.

【模型5】符號的控制：如果要使得一列數中每個數的符號分別為“+，-，+，-，…”或“-，+，-，+，…”，我們可將每個數前分別乘（-1）n+1或（-1）n來實現.

注：在探究規律時，所需要探究的規律常常由上面幾個模型復合而成.

二、 規律探究基本方法——應用模型

1. 比較變量與序號，得出數式規律

例1 （2013·衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，……，試猜想第n個等式（n為正整數）an=______.

【思路分析】列表比較序號與算式：

這些算式中，變化的是兩個分母，其中前一個分母正好等于n，后一個分母比n大2.

由此可以推斷，第n個算式的第一個分母為n，第二個分母是n+2.

【答案】-.

【方法總結】（1） 探尋一列數的規律時，通常將這列數與序號作比較，尋找數與序號之間的聯系.

（2） 探尋一列算式的規律時，我們可以將這些算式根據位置特征，分解成一些比較簡單的數再尋找規律，比如本題，我們就分解成了“1，2，3，4，…”和“3，4，5，6，…”兩個簡單數列，分別探尋規律.

2. 豎狀排列，規律易顯

可以發現，第一項正好是序號的平方，第二項的底數比序號大1，第三項的底數是前兩項底數的乘積，最后一項的底數比第三項的底數大1.

【答案】82+92+722=732.

【方法總結】探尋一列等式的規律，我們通常將這列等式豎著寫，這樣可以將這列等式分解成一系列簡單的數來探尋規律.

3. 結合圖形，探尋規律

例3 （2013·聊城）如圖1，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷地移動，每次移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…，那么點A4n+1（n是自然數）的坐標為_______.

【思路分析】由圖形可以發現，這些點應該分為“A1，A5，A9，A13，…”“A2，A6，A10，…”“A3，A7，A11，…”“A4，A8，A12，…”四類，分別來探尋規律. 其中A4n+1的坐標規律應在“A1，A5，A9，A13，…”中探尋. A1（0，1），A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）…，可以發現這些點的橫坐標分別是2×0，2×1，2×2，2×3，…，所以A4n+1的橫坐標為2n，而這些點的縱坐標都是1.

【答案】（2n，1）.

【方法總結】通過圖形尋找規律時，一般先通過計算，將圖形轉化為一列數，再結合圖形的特征求解.

4. 先計算，再歸納

例4 （2012·東營）在平面直角坐標系xOy中，點A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分別在直線y=kx+b和x軸上. △OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2

【方法總結】對于那些一眼看不出規律的算式，我們可以先計算前幾項的結果，再進一步觀察尋求規律.

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找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列數、式或圖形，要求我們根據這些已知數、式或圖形找出一般規律. 這些規律常常與所標注的序列號有關，解題的時候，把每個數、式或圖形和序列號放在一起加以比較，就能發現其中的奧秘.

一、基本模型是規律探究的基石

【模型1】等差模型：如1，3，5，7，9，…這列數，每相鄰兩個數的差都等于2.

【模型2】等比模型：如2，4，8，16，…這列數，每相鄰兩數的商都等于2.

【模型3】平方（立方）模型：如1，4，9，16，…這列數，恰好分別是1，2，3，4，…的平方.

【模型4】循環模型：如“有一列數a1，a2，a3，…，an，從第二個數開始，每一個數都等于1與它前面那個數的差的倒數，若a1=2”，經過計算，這列數是2，-1，，2，-1，，…，每3個數出現一次循環.

【模型5】符號的控制：如果要使得一列數中每個數的符號分別為“+，-，+，-，…”或“-，+，-，+，…”，我們可將每個數前分別乘（-1）n+1或（-1）n來實現.

注：在探究規律時，所需要探究的規律常常由上面幾個模型復合而成.

二、 規律探究基本方法——應用模型

1. 比較變量與序號，得出數式規律

例1 （2013·衡陽）觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，……，試猜想第n個等式（n為正整數）an=______.

【思路分析】列表比較序號與算式：

這些算式中，變化的是兩個分母，其中前一個分母正好等于n，后一個分母比n大2.

由此可以推斷，第n個算式的第一個分母為n，第二個分母是n+2.

【答案】-.

【方法總結】（1） 探尋一列數的規律時，通常將這列數與序號作比較，尋找數與序號之間的聯系.

（2） 探尋一列算式的規律時，我們可以將這些算式根據位置特征，分解成一些比較簡單的數再尋找規律，比如本題，我們就分解成了“1，2，3，4，…”和“3，4，5，6，…”兩個簡單數列，分別探尋規律.

2. 豎狀排列，規律易顯

可以發現，第一項正好是序號的平方，第二項的底數比序號大1，第三項的底數是前兩項底數的乘積，最后一項的底數比第三項的底數大1.

【答案】82+92+722=732.

【方法總結】探尋一列等式的規律，我們通常將這列等式豎著寫，這樣可以將這列等式分解成一系列簡單的數來探尋規律.

3. 結合圖形，探尋規律

例3 （2013·聊城）如圖1，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷地移動，每次移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…，那么點A4n+1（n是自然數）的坐標為_______.

【思路分析】由圖形可以發現，這些點應該分為“A1，A5，A9，A13，…”“A2，A6，A10，…”“A3，A7，A11，…”“A4，A8，A12，…”四類，分別來探尋規律. 其中A4n+1的坐標規律應在“A1，A5，A9，A13，…”中探尋. A1（0，1），A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）…，可以發現這些點的橫坐標分別是2×0，2×1，2×2，2×3，…，所以A4n+1的橫坐標為2n，而這些點的縱坐標都是1.

【答案】（2n，1）.

【方法總結】通過圖形尋找規律時，一般先通過計算，將圖形轉化為一列數，再結合圖形的特征求解.

4. 先計算，再歸納

例4 （2012·東營）在平面直角坐標系xOy中，點A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分別在直線y=kx+b和x軸上. △OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2

【方法總結】對于那些一眼看不出規律的算式，我們可以先計算前幾項的結果，再進一步觀察尋求規律.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）endprint