從基本圖形出發，順水推舟解一類課題學習問題

張志根

研究型學習類試題在近年各地中考試題中頻頻出現，此類試題常常先提供一個問題情境，讓考生在解決問題情境的過程中掌握一個數學方法，然后對這個問題進行變式探究或者拓展應用.

例 （2013·連云港）小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：

【切入點】對于問題情境，可根據題目條件證明三角形全等，再根據圖形面積間的關系證S四邊形ABCD=S△ABF；對于問題遷移，通過圖形變化，轉化在問題情境中，利用問題情境中的結論，求出△MON的面積最小時，點P滿足的條件；對于實際應用，通過作輔助線，將問題轉化，構造出問題遷移中的基本圖形來解答；對于拓展延伸，同樣利用上面的結論來解答，并注意討論.

【解答過程】問題情境：

證明：因為AD∥BC，所以∠ADE=∠FCE.

又因為DE=CE，∠AED=∠FEC，所以△ADE≌△FCE，

所以S△ADE=S△FCE，所以S四邊形ABCD=S四邊形ABCE

+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE=S△ABF.

問題遷移：

當直線旋轉到點P是線段MN的中點時，△MON的面積最小.

不妨設PF

由“問題情境”的結論可知，當點P是線段MN的中點時，有S四邊形MOFG=S△MON.

因為S四邊形MOFG

實際應用：如圖6，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1、M1.

在Rt△OPP1中，PP1=OPsin30°=2，OP1=OPcos30°=2.

由“問題遷移”的結論知，當PM=PN時，△MON的面積最小.

此時MM1=2PP1=4，M1P1=P1N.

在Rt△OMM1中，OM1=≈=，M1P1=OP1-OM1=2-，

ON=OM1+M1P1+P1N=4-.

所以S△MON=MM1·ON=8-≈10.28≈10.3（km2）.

拓展延伸：

（1） 當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N時. 延長OC、AB交于點D，易知AD=6，S△OAD=18.

由“問題遷移”的結論知，當PM=PN時，△MND的面積最小，所以此時四邊形OANM的面積最大.

由題意易得M1P1=P1A=2，從而OM1=MM1=2. 又因為PP1=2，

所以MN∥OA.

所以S四邊形OANM=S△OMM1+S四邊形MM1AN=×2×2+2×4=10.

（2） 當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交于M、N時.

延長CB交x軸于T點，由B、C的坐標可得直線BC對應的函數關系式為y=-x+9.

則T點的坐標為（9，0）.

所以S△OCT=×9×=.

由結論知：當PM=PN時，△MNT的面積最小，所以四邊形OCMN的面積最大.

MM1=2PP1=4.

所以點M的橫坐標為5，P1M1=NP1=1，TN=6.

所以S△MNT=×6×4=12，S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT=-12=<10.

綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10.

【方法總結】本題第2個問題的解決需要用到第1個問題的結論，第3個問題的解決需要用到第2個問題的結論，第4個問題又要用到第3個問題的結論，此類問題在解決的時候，要注意小題與小題之間的聯系，千萬不要將每個小問題看作獨立的個體.

（作者單位：江蘇省海安縣海陵中學）

研究型學習類試題在近年各地中考試題中頻頻出現，此類試題常常先提供一個問題情境，讓考生在解決問題情境的過程中掌握一個數學方法，然后對這個問題進行變式探究或者拓展應用.

例 （2013·連云港）小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：

【切入點】對于問題情境，可根據題目條件證明三角形全等，再根據圖形面積間的關系證S四邊形ABCD=S△ABF；對于問題遷移，通過圖形變化，轉化在問題情境中，利用問題情境中的結論，求出△MON的面積最小時，點P滿足的條件；對于實際應用，通過作輔助線，將問題轉化，構造出問題遷移中的基本圖形來解答；對于拓展延伸，同樣利用上面的結論來解答，并注意討論.

【解答過程】問題情境：

證明：因為AD∥BC，所以∠ADE=∠FCE.

又因為DE=CE，∠AED=∠FEC，所以△ADE≌△FCE，

所以S△ADE=S△FCE，所以S四邊形ABCD=S四邊形ABCE

+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE=S△ABF.

問題遷移：

當直線旋轉到點P是線段MN的中點時，△MON的面積最小.

不妨設PF

由“問題情境”的結論可知，當點P是線段MN的中點時，有S四邊形MOFG=S△MON.

因為S四邊形MOFG

實際應用：如圖6，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1、M1.

在Rt△OPP1中，PP1=OPsin30°=2，OP1=OPcos30°=2.

由“問題遷移”的結論知，當PM=PN時，△MON的面積最小.

此時MM1=2PP1=4，M1P1=P1N.

在Rt△OMM1中，OM1=≈=，M1P1=OP1-OM1=2-，

ON=OM1+M1P1+P1N=4-.

所以S△MON=MM1·ON=8-≈10.28≈10.3（km2）.

拓展延伸：

（1） 當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N時. 延長OC、AB交于點D，易知AD=6，S△OAD=18.

由“問題遷移”的結論知，當PM=PN時，△MND的面積最小，所以此時四邊形OANM的面積最大.

由題意易得M1P1=P1A=2，從而OM1=MM1=2. 又因為PP1=2，

所以MN∥OA.

所以S四邊形OANM=S△OMM1+S四邊形MM1AN=×2×2+2×4=10.

（2） 當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交于M、N時.

延長CB交x軸于T點，由B、C的坐標可得直線BC對應的函數關系式為y=-x+9.

則T點的坐標為（9，0）.

所以S△OCT=×9×=.

由結論知：當PM=PN時，△MNT的面積最小，所以四邊形OCMN的面積最大.

MM1=2PP1=4.

所以點M的橫坐標為5，P1M1=NP1=1，TN=6.

所以S△MNT=×6×4=12，S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT=-12=<10.

綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10.

【方法總結】本題第2個問題的解決需要用到第1個問題的結論，第3個問題的解決需要用到第2個問題的結論，第4個問題又要用到第3個問題的結論，此類問題在解決的時候，要注意小題與小題之間的聯系，千萬不要將每個小問題看作獨立的個體.

（作者單位：江蘇省海安縣海陵中學）

研究型學習類試題在近年各地中考試題中頻頻出現，此類試題常常先提供一個問題情境，讓考生在解決問題情境的過程中掌握一個數學方法，然后對這個問題進行變式探究或者拓展應用.

例 （2013·連云港）小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：

【切入點】對于問題情境，可根據題目條件證明三角形全等，再根據圖形面積間的關系證S四邊形ABCD=S△ABF；對于問題遷移，通過圖形變化，轉化在問題情境中，利用問題情境中的結論，求出△MON的面積最小時，點P滿足的條件；對于實際應用，通過作輔助線，將問題轉化，構造出問題遷移中的基本圖形來解答；對于拓展延伸，同樣利用上面的結論來解答，并注意討論.

【解答過程】問題情境：

證明：因為AD∥BC，所以∠ADE=∠FCE.

又因為DE=CE，∠AED=∠FEC，所以△ADE≌△FCE，

所以S△ADE=S△FCE，所以S四邊形ABCD=S四邊形ABCE

+S△ADE=S四邊形ABCE+S△FCE=S△ABF.

問題遷移：

當直線旋轉到點P是線段MN的中點時，△MON的面積最小.

不妨設PF

由“問題情境”的結論可知，當點P是線段MN的中點時，有S四邊形MOFG=S△MON.

因為S四邊形MOFG

實際應用：如圖6，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分別為P1、M1.

在Rt△OPP1中，PP1=OPsin30°=2，OP1=OPcos30°=2.

由“問題遷移”的結論知，當PM=PN時，△MON的面積最小.

此時MM1=2PP1=4，M1P1=P1N.

在Rt△OMM1中，OM1=≈=，M1P1=OP1-OM1=2-，

ON=OM1+M1P1+P1N=4-.

所以S△MON=MM1·ON=8-≈10.28≈10.3（km2）.

拓展延伸：

（1） 當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N時. 延長OC、AB交于點D，易知AD=6，S△OAD=18.

由“問題遷移”的結論知，當PM=PN時，△MND的面積最小，所以此時四邊形OANM的面積最大.

由題意易得M1P1=P1A=2，從而OM1=MM1=2. 又因為PP1=2，

所以MN∥OA.

所以S四邊形OANM=S△OMM1+S四邊形MM1AN=×2×2+2×4=10.

（2） 當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交于M、N時.

延長CB交x軸于T點，由B、C的坐標可得直線BC對應的函數關系式為y=-x+9.

則T點的坐標為（9，0）.

所以S△OCT=×9×=.

由結論知：當PM=PN時，△MNT的面積最小，所以四邊形OCMN的面積最大.

MM1=2PP1=4.

所以點M的橫坐標為5，P1M1=NP1=1，TN=6.

所以S△MNT=×6×4=12，S四邊形OCMN=S△OCT-S△MNT=-12=<10.

綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10.

【方法總結】本題第2個問題的解決需要用到第1個問題的結論，第3個問題的解決需要用到第2個問題的結論，第4個問題又要用到第3個問題的結論，此類問題在解決的時候，要注意小題與小題之間的聯系，千萬不要將每個小問題看作獨立的個體.

（作者單位：江蘇省海安縣海陵中學）