從特殊到一般

朱雪梅

給出一個(gè)圖形的特殊情況，類(lèi)比這個(gè)圖形推廣到一般情況下，研究結(jié)論是否仍然成立的課題學(xué)習(xí)類(lèi)問(wèn)題，是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn).

解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要搞清楚圖形在推廣到一般情況的過(guò)程中，哪些量沒(méi)有變化，哪些量發(fā)生了改變，這些改變的量對(duì)原先解決問(wèn)題的方法有沒(méi)有影響.

例 （2013·衢州）提出問(wèn)題

【解題切入點(diǎn)】要證明角度相等，可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等或相似來(lái)獲證.

【思路分析】（1） 可通過(guò)△BAM≌△CAN來(lái)證明這兩個(gè)角相等；（2） 點(diǎn)M從BC邊上移到BC的延長(zhǎng)線上，對(duì)證明△BAM≌△CAN所需要的三個(gè)條件沒(méi)有任何影響，所以可以完全采用第1問(wèn)的方法解決第2個(gè)問(wèn)題；（3） 當(dāng)?shù)冗吶切巫兂傻妊切沃螅M管△BAM與△CAN不再全等，但是這兩個(gè)三角形還是相似的. 其實(shí)全等也是相似的一個(gè)特殊形式，所以第3問(wèn)也可以用類(lèi)似前兩問(wèn)的方法加以解決.

【解答過(guò)程】（1） ∵等邊△ABC，等邊△AMN，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN.

（2） 結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立，

理由如下：∵等邊△ABC，等邊△AMN，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°.

∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN，∴∠ABC=∠ACN.

（3） ∠ABC=∠ACN.

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴=，又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN. ∴∠ABC=∠ACN.

【思維要領(lǐng)】將一個(gè)圖形的特殊情況推廣到一般情形的課題學(xué)習(xí)類(lèi)問(wèn)題，在解決的時(shí)候，要緊緊抓住圖形變化前后相關(guān)量之間的聯(lián)系，從變化中尋找不變的規(guī)律.

（作者單位：江蘇省南通市越江中學(xué)）

給出一個(gè)圖形的特殊情況，類(lèi)比這個(gè)圖形推廣到一般情況下，研究結(jié)論是否仍然成立的課題學(xué)習(xí)類(lèi)問(wèn)題，是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn).

解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要搞清楚圖形在推廣到一般情況的過(guò)程中，哪些量沒(méi)有變化，哪些量發(fā)生了改變，這些改變的量對(duì)原先解決問(wèn)題的方法有沒(méi)有影響.

例 （2013·衢州）提出問(wèn)題

【解題切入點(diǎn)】要證明角度相等，可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等或相似來(lái)獲證.

【思路分析】（1） 可通過(guò)△BAM≌△CAN來(lái)證明這兩個(gè)角相等；（2） 點(diǎn)M從BC邊上移到BC的延長(zhǎng)線上，對(duì)證明△BAM≌△CAN所需要的三個(gè)條件沒(méi)有任何影響，所以可以完全采用第1問(wèn)的方法解決第2個(gè)問(wèn)題；（3） 當(dāng)?shù)冗吶切巫兂傻妊切沃螅M管△BAM與△CAN不再全等，但是這兩個(gè)三角形還是相似的. 其實(shí)全等也是相似的一個(gè)特殊形式，所以第3問(wèn)也可以用類(lèi)似前兩問(wèn)的方法加以解決.

【解答過(guò)程】（1） ∵等邊△ABC，等邊△AMN，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN.

（2） 結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立，

理由如下：∵等邊△ABC，等邊△AMN，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°.

∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN，∴∠ABC=∠ACN.

（3） ∠ABC=∠ACN.

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴=，又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN. ∴∠ABC=∠ACN.

【思維要領(lǐng)】將一個(gè)圖形的特殊情況推廣到一般情形的課題學(xué)習(xí)類(lèi)問(wèn)題，在解決的時(shí)候，要緊緊抓住圖形變化前后相關(guān)量之間的聯(lián)系，從變化中尋找不變的規(guī)律.

（作者單位：江蘇省南通市越江中學(xué)）

給出一個(gè)圖形的特殊情況，類(lèi)比這個(gè)圖形推廣到一般情況下，研究結(jié)論是否仍然成立的課題學(xué)習(xí)類(lèi)問(wèn)題，是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn).

解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要搞清楚圖形在推廣到一般情況的過(guò)程中，哪些量沒(méi)有變化，哪些量發(fā)生了改變，這些改變的量對(duì)原先解決問(wèn)題的方法有沒(méi)有影響.

例 （2013·衢州）提出問(wèn)題

【解題切入點(diǎn)】要證明角度相等，可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等或相似來(lái)獲證.

【思路分析】（1） 可通過(guò)△BAM≌△CAN來(lái)證明這兩個(gè)角相等；（2） 點(diǎn)M從BC邊上移到BC的延長(zhǎng)線上，對(duì)證明△BAM≌△CAN所需要的三個(gè)條件沒(méi)有任何影響，所以可以完全采用第1問(wèn)的方法解決第2個(gè)問(wèn)題；（3） 當(dāng)?shù)冗吶切巫兂傻妊切沃螅M管△BAM與△CAN不再全等，但是這兩個(gè)三角形還是相似的. 其實(shí)全等也是相似的一個(gè)特殊形式，所以第3問(wèn)也可以用類(lèi)似前兩問(wèn)的方法加以解決.

【解答過(guò)程】（1） ∵等邊△ABC，等邊△AMN，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN.

（2） 結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立，

理由如下：∵等邊△ABC，等邊△AMN，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°.

∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN，∴∠ABC=∠ACN.

（3） ∠ABC=∠ACN.

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴=，又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN. ∴∠ABC=∠ACN.

【思維要領(lǐng)】將一個(gè)圖形的特殊情況推廣到一般情形的課題學(xué)習(xí)類(lèi)問(wèn)題，在解決的時(shí)候，要緊緊抓住圖形變化前后相關(guān)量之間的聯(lián)系，從變化中尋找不變的規(guī)律.

（作者單位：江蘇省南通市越江中學(xué)）