知識的融會貫通，是解代數綜合題的根本保證

余中華

中考題中，數與代數綜合題經久不衰. 它常涉及數與式、方程與不等式、函數與圖像、應用與探索等多方面的內容，大家普遍認為它具有“綜合性強、難度大、區分度高”等特點，所涉及的知識點多，技巧性強，覆蓋面大.

解這類題的關鍵是正確理解題目中的已知與未知之間的關系，運用不等式的性質、方程中的根的判別式、根與系數的關系、函數中的性質等進行綜合分析，一般情況下還需進行分類討論.

一、 數、式的巧解源于代數知識的融會貫通

例1 （2013·南通）已知當x=2m+n+2和 x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，則當x=3（m+n+1）時，多項式x2+4x+6的值等于_______.

【思路1】（代入并整體分解變形）把x=2m+n+2和x=m+2n代入多項式x2+4x+6中，

（2m+n+2）2+4（2m+n+2）+6=（m+2n）2+4（m+2n）+6，

（2m+n+2）2-（m+2n）2+4（2m+n+2）-

4（m+2n）=0，

（2m+n+2+m+2n）（2m+n+2-m-2n）+

4（2m+n+2-m-2n）=0，

（3m+3n+2）（m-n+2）+4（m-n+2）=0，

（m-n+2）（3m+3n+6）=0，（m-n+2）≠0，∴3m+3n+6=0，x=-3. 最后把x=-3代入得原多項式值為3.

【思路二】（取特殊值）令m=0，則x=n+2和x=2n時，多項式x2+4x+6值相等，（n+2）2+4（n+2）+6=（2n）2+4×（2n）+6，解得n=-2. 把m=0，n=-2代入x=3（m+n+1）時，x=-3.

【思路三】（從二次函數的角度思考）令f（x）=x2+4x+6，對稱軸為直線x=-2，由題意有f（2m+n+2）=f（m+2n），

∴=-2，

解得3（m+n+1）=-3，代入得原多項式值為3.

【技巧要領】常規思路是根據題意，一步步按照要求操作，由“x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等”，考慮將兩個x的值代入多項式，得出一個等式，化簡.

特殊值法在解決很多求值問題的填空或選擇題時都能適用，可以大大減少做題時間，雖然這種方法簡單，但要求同學們在充分理解題意的基礎上靈活運用.

從二次函數的角度來思考問題需要同學們在平時的學習中注意知識的遷移，能夠將知識融會貫通.

二、 方程、不等式與函數知識的融會貫通，是解決函數型代數綜合題的必要條件

例2 （2013·資陽）如圖1，已知直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與雙曲線y=（a≠0，x>0）分別交于D、E兩點.

（1） 若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）；

①分別求出直線l與雙曲線的解析式；

②若將直線l向下平移m（m>0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？

（2） 假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值.

【切入點】（1） ①已知直線上兩點坐標，用待定系數法可求函數解析式；確定雙曲線解析式只需雙曲線上一點的坐標即可. ②直線與雙曲線只有一個交點，意味著由兩個解析式組成的方程組只有一個解.（2） 由A、B兩點坐標，“點D為線段AB的n等分點”，利用相似表示出D的坐標，最后將D的坐標代入反比例函數，可得到a、b、n之間的數量關系.

（2） b=.

【題型解剖】第（2）題中，由于題目提供了點A和點B的坐標，很多同學可能首先想到的是用待定系數法表示出直線的解析式，如果這樣做了，這道題可能就會很麻煩了. 選用什么樣的方法，是解決函數型綜合題需要考慮的問題.

三、 方程型代數綜合題解題策略：順藤摸瓜

例3 （2013·菏澤）已知關于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是整數）.

（1） 求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2） 若方程的兩個實數根分別為x1，x2（其中x1

【切入點】對于（1），利用一元二次方程根的判別式判定即可；對于（2），則先要解方程，求出方程的兩個實數根，再代入y=x2-x1-2，進而判斷y是否為變量k的函數.

【技巧要領】（1） 要求證這個方程有兩個不相等的實數根，就必須證明根的判別式的值為正數，順理成章想到求一元二次方程根的判別式的值；

（2） 而當題目出現y=x2-x1-2時，解題者應該自然而然地想到用k表示出一元二次方程的兩根，然后再判定是不是成函數關系.

“順藤摸瓜”，通俗地講就是在閱讀題干的時候，每出現一個條件，就必須考慮由這個條件能推導得出什么結論，得出的結論對解決問題有沒有幫助，有什么樣的幫助.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）

中考題中，數與代數綜合題經久不衰. 它常涉及數與式、方程與不等式、函數與圖像、應用與探索等多方面的內容，大家普遍認為它具有“綜合性強、難度大、區分度高”等特點，所涉及的知識點多，技巧性強，覆蓋面大.

解這類題的關鍵是正確理解題目中的已知與未知之間的關系，運用不等式的性質、方程中的根的判別式、根與系數的關系、函數中的性質等進行綜合分析，一般情況下還需進行分類討論.

一、 數、式的巧解源于代數知識的融會貫通

例1 （2013·南通）已知當x=2m+n+2和 x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，則當x=3（m+n+1）時，多項式x2+4x+6的值等于_______.

【思路1】（代入并整體分解變形）把x=2m+n+2和x=m+2n代入多項式x2+4x+6中，

（2m+n+2）2+4（2m+n+2）+6=（m+2n）2+4（m+2n）+6，

（2m+n+2）2-（m+2n）2+4（2m+n+2）-

4（m+2n）=0，

（2m+n+2+m+2n）（2m+n+2-m-2n）+

4（2m+n+2-m-2n）=0，

（3m+3n+2）（m-n+2）+4（m-n+2）=0，

（m-n+2）（3m+3n+6）=0，（m-n+2）≠0，∴3m+3n+6=0，x=-3. 最后把x=-3代入得原多項式值為3.

【思路二】（取特殊值）令m=0，則x=n+2和x=2n時，多項式x2+4x+6值相等，（n+2）2+4（n+2）+6=（2n）2+4×（2n）+6，解得n=-2. 把m=0，n=-2代入x=3（m+n+1）時，x=-3.

【思路三】（從二次函數的角度思考）令f（x）=x2+4x+6，對稱軸為直線x=-2，由題意有f（2m+n+2）=f（m+2n），

∴=-2，

解得3（m+n+1）=-3，代入得原多項式值為3.

【技巧要領】常規思路是根據題意，一步步按照要求操作，由“x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等”，考慮將兩個x的值代入多項式，得出一個等式，化簡.

特殊值法在解決很多求值問題的填空或選擇題時都能適用，可以大大減少做題時間，雖然這種方法簡單，但要求同學們在充分理解題意的基礎上靈活運用.

從二次函數的角度來思考問題需要同學們在平時的學習中注意知識的遷移，能夠將知識融會貫通.

二、 方程、不等式與函數知識的融會貫通，是解決函數型代數綜合題的必要條件

例2 （2013·資陽）如圖1，已知直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與雙曲線y=（a≠0，x>0）分別交于D、E兩點.

（1） 若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）；

①分別求出直線l與雙曲線的解析式；

②若將直線l向下平移m（m>0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？

（2） 假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值.

【切入點】（1） ①已知直線上兩點坐標，用待定系數法可求函數解析式；確定雙曲線解析式只需雙曲線上一點的坐標即可. ②直線與雙曲線只有一個交點，意味著由兩個解析式組成的方程組只有一個解.（2） 由A、B兩點坐標，“點D為線段AB的n等分點”，利用相似表示出D的坐標，最后將D的坐標代入反比例函數，可得到a、b、n之間的數量關系.

（2） b=.

【題型解剖】第（2）題中，由于題目提供了點A和點B的坐標，很多同學可能首先想到的是用待定系數法表示出直線的解析式，如果這樣做了，這道題可能就會很麻煩了. 選用什么樣的方法，是解決函數型綜合題需要考慮的問題.

三、 方程型代數綜合題解題策略：順藤摸瓜

例3 （2013·菏澤）已知關于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是整數）.

（1） 求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2） 若方程的兩個實數根分別為x1，x2（其中x1

【切入點】對于（1），利用一元二次方程根的判別式判定即可；對于（2），則先要解方程，求出方程的兩個實數根，再代入y=x2-x1-2，進而判斷y是否為變量k的函數.

【技巧要領】（1） 要求證這個方程有兩個不相等的實數根，就必須證明根的判別式的值為正數，順理成章想到求一元二次方程根的判別式的值；

（2） 而當題目出現y=x2-x1-2時，解題者應該自然而然地想到用k表示出一元二次方程的兩根，然后再判定是不是成函數關系.

“順藤摸瓜”，通俗地講就是在閱讀題干的時候，每出現一個條件，就必須考慮由這個條件能推導得出什么結論，得出的結論對解決問題有沒有幫助，有什么樣的幫助.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）

中考題中，數與代數綜合題經久不衰. 它常涉及數與式、方程與不等式、函數與圖像、應用與探索等多方面的內容，大家普遍認為它具有“綜合性強、難度大、區分度高”等特點，所涉及的知識點多，技巧性強，覆蓋面大.

解這類題的關鍵是正確理解題目中的已知與未知之間的關系，運用不等式的性質、方程中的根的判別式、根與系數的關系、函數中的性質等進行綜合分析，一般情況下還需進行分類討論.

一、 數、式的巧解源于代數知識的融會貫通

例1 （2013·南通）已知當x=2m+n+2和 x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，則當x=3（m+n+1）時，多項式x2+4x+6的值等于_______.

【思路1】（代入并整體分解變形）把x=2m+n+2和x=m+2n代入多項式x2+4x+6中，

（2m+n+2）2+4（2m+n+2）+6=（m+2n）2+4（m+2n）+6，

（2m+n+2）2-（m+2n）2+4（2m+n+2）-

4（m+2n）=0，

（2m+n+2+m+2n）（2m+n+2-m-2n）+

4（2m+n+2-m-2n）=0，

（3m+3n+2）（m-n+2）+4（m-n+2）=0，

（m-n+2）（3m+3n+6）=0，（m-n+2）≠0，∴3m+3n+6=0，x=-3. 最后把x=-3代入得原多項式值為3.

【思路二】（取特殊值）令m=0，則x=n+2和x=2n時，多項式x2+4x+6值相等，（n+2）2+4（n+2）+6=（2n）2+4×（2n）+6，解得n=-2. 把m=0，n=-2代入x=3（m+n+1）時，x=-3.

【思路三】（從二次函數的角度思考）令f（x）=x2+4x+6，對稱軸為直線x=-2，由題意有f（2m+n+2）=f（m+2n），

∴=-2，

解得3（m+n+1）=-3，代入得原多項式值為3.

【技巧要領】常規思路是根據題意，一步步按照要求操作，由“x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等”，考慮將兩個x的值代入多項式，得出一個等式，化簡.

特殊值法在解決很多求值問題的填空或選擇題時都能適用，可以大大減少做題時間，雖然這種方法簡單，但要求同學們在充分理解題意的基礎上靈活運用.

從二次函數的角度來思考問題需要同學們在平時的學習中注意知識的遷移，能夠將知識融會貫通.

二、 方程、不等式與函數知識的融會貫通，是解決函數型代數綜合題的必要條件

例2 （2013·資陽）如圖1，已知直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與雙曲線y=（a≠0，x>0）分別交于D、E兩點.

（1） 若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）；

①分別求出直線l與雙曲線的解析式；

②若將直線l向下平移m（m>0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？

（2） 假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值.

【切入點】（1） ①已知直線上兩點坐標，用待定系數法可求函數解析式；確定雙曲線解析式只需雙曲線上一點的坐標即可. ②直線與雙曲線只有一個交點，意味著由兩個解析式組成的方程組只有一個解.（2） 由A、B兩點坐標，“點D為線段AB的n等分點”，利用相似表示出D的坐標，最后將D的坐標代入反比例函數，可得到a、b、n之間的數量關系.

（2） b=.

【題型解剖】第（2）題中，由于題目提供了點A和點B的坐標，很多同學可能首先想到的是用待定系數法表示出直線的解析式，如果這樣做了，這道題可能就會很麻煩了. 選用什么樣的方法，是解決函數型綜合題需要考慮的問題.

三、 方程型代數綜合題解題策略：順藤摸瓜

例3 （2013·菏澤）已知關于x的一元二次方程kx2-（4k+1）x+3k+3=0（k是整數）.

（1） 求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2） 若方程的兩個實數根分別為x1，x2（其中x1

【切入點】對于（1），利用一元二次方程根的判別式判定即可；對于（2），則先要解方程，求出方程的兩個實數根，再代入y=x2-x1-2，進而判斷y是否為變量k的函數.

【技巧要領】（1） 要求證這個方程有兩個不相等的實數根，就必須證明根的判別式的值為正數，順理成章想到求一元二次方程根的判別式的值；

（2） 而當題目出現y=x2-x1-2時，解題者應該自然而然地想到用k表示出一元二次方程的兩根，然后再判定是不是成函數關系.

“順藤摸瓜”，通俗地講就是在閱讀題干的時候，每出現一個條件，就必須考慮由這個條件能推導得出什么結論，得出的結論對解決問題有沒有幫助，有什么樣的幫助.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初級中學）