折疊出對(duì)稱，勾股建方程

朱曄

紙片的折疊是中考數(shù)學(xué)常考題型，解題時(shí)常常用到軸對(duì)稱、勾股定理和四邊形等知識(shí)，折疊問(wèn)題由于知識(shí)的綜合程度較高，常被考生視為比較難的題型之一.

一、 折疊出對(duì)稱

圖形折疊的時(shí)候，由于被折疊的部分與折疊前關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，而關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形，因此我們就可以使用全等有關(guān)知識(shí)來(lái)解決折疊問(wèn)題.

例1 如圖1，把一張長(zhǎng)方形紙片，沿EF折疊后，ED與BC的交點(diǎn)為G，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置上，若∠AEG=60°，EF=3 cm，則△GEF的面積為_(kāi)_____.

【切入點(diǎn)】四邊形CDEF與四邊形C′D′EF關(guān)于折痕EF成軸對(duì)稱.

【思路點(diǎn)撥】由于∠1和∠2關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，因此∠1=∠2. 又由于AD∥BC，可得∠1=∠3. 至此可證明△GEF是等腰三角形，然而題目告訴我們∠AEG=60°，這就說(shuō)明△GEF為等邊三角形，已知等邊三角形的邊長(zhǎng)，就可以求出等邊三角形的面積了.

【解答過(guò)程】∵四邊形CDEF與四邊形C′D′EF關(guān)于折痕EF成軸對(duì)稱，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴∠3=∠1，

∴∠2=∠3.

∵∠AEG=60°，

∴△EFG為等邊三角形.

∵EF=3 cm，

∴S△EFG= cm2.

【方法指導(dǎo)】這類折疊問(wèn)題一般能折出一個(gè)角平分線，由于折疊的對(duì)象一般為矩形，矩形的對(duì)邊平行，“平行線+角平分線”的組合一般會(huì)出現(xiàn)一個(gè)等腰三角形，比如在本題中，角平分線是“EF平分∠DEG”，平行線是AD∥BC，等腰△GFE中GE=GF.

二、 勾股建方程

折疊問(wèn)題中折疊的對(duì)象一般是矩形紙片，矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，因此解決折疊問(wèn)題一般在直角三角形中考慮，這就離不開(kāi)勾股定理這一基本工具.

例2 （2013·蘭州）如圖2，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8. 以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E.

（1） 求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

【切入點(diǎn)】可設(shè)OG長(zhǎng)為x，然后在Rt△OAG中應(yīng)用勾股定理，列方程求出x的值.

【解題思路】（1） 首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠AEO=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠AEO=∠BCO，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCE是平行四邊形；

（2） 設(shè)OG的長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的長(zhǎng).

【方法指導(dǎo)】折疊問(wèn)題計(jì)算常用到勾股定理，基本思路是：

第1步：選一個(gè)合適的線段長(zhǎng)設(shè)為x，盡量求什么線段就設(shè)什么線段；

第2步：用含x的代數(shù)式表示出所有能表示的線段長(zhǎng)；

第3步：尋一個(gè)直角三角形，前提是這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)已知或已用含x的代數(shù)式表示，根據(jù)勾股定理，列出一個(gè)關(guān)于x的方程，解出x的值，問(wèn)題得解.

通過(guò)上面的講解，我們可以發(fā)現(xiàn)折疊問(wèn)題也不像我們想象的那么深?yuàn)W，它其實(shí)也是有規(guī)律可循的，解決折疊問(wèn)題關(guān)鍵是利用對(duì)稱性質(zhì)，抓住圖中線段的長(zhǎng)短關(guān)系，根據(jù)勾股定理列出方程.

（作者單位：江蘇省海安縣紫石中學(xué)）

紙片的折疊是中考數(shù)學(xué)常考題型，解題時(shí)常常用到軸對(duì)稱、勾股定理和四邊形等知識(shí)，折疊問(wèn)題由于知識(shí)的綜合程度較高，常被考生視為比較難的題型之一.

一、 折疊出對(duì)稱

圖形折疊的時(shí)候，由于被折疊的部分與折疊前關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，而關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形，因此我們就可以使用全等有關(guān)知識(shí)來(lái)解決折疊問(wèn)題.

例1 如圖1，把一張長(zhǎng)方形紙片，沿EF折疊后，ED與BC的交點(diǎn)為G，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置上，若∠AEG=60°，EF=3 cm，則△GEF的面積為_(kāi)_____.

【切入點(diǎn)】四邊形CDEF與四邊形C′D′EF關(guān)于折痕EF成軸對(duì)稱.

【思路點(diǎn)撥】由于∠1和∠2關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，因此∠1=∠2. 又由于AD∥BC，可得∠1=∠3. 至此可證明△GEF是等腰三角形，然而題目告訴我們∠AEG=60°，這就說(shuō)明△GEF為等邊三角形，已知等邊三角形的邊長(zhǎng)，就可以求出等邊三角形的面積了.

【解答過(guò)程】∵四邊形CDEF與四邊形C′D′EF關(guān)于折痕EF成軸對(duì)稱，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴∠3=∠1，

∴∠2=∠3.

∵∠AEG=60°，

∴△EFG為等邊三角形.

∵EF=3 cm，

∴S△EFG= cm2.

【方法指導(dǎo)】這類折疊問(wèn)題一般能折出一個(gè)角平分線，由于折疊的對(duì)象一般為矩形，矩形的對(duì)邊平行，“平行線+角平分線”的組合一般會(huì)出現(xiàn)一個(gè)等腰三角形，比如在本題中，角平分線是“EF平分∠DEG”，平行線是AD∥BC，等腰△GFE中GE=GF.

二、 勾股建方程

折疊問(wèn)題中折疊的對(duì)象一般是矩形紙片，矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，因此解決折疊問(wèn)題一般在直角三角形中考慮，這就離不開(kāi)勾股定理這一基本工具.

例2 （2013·蘭州）如圖2，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8. 以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E.

（1） 求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

【切入點(diǎn)】可設(shè)OG長(zhǎng)為x，然后在Rt△OAG中應(yīng)用勾股定理，列方程求出x的值.

【解題思路】（1） 首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠AEO=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠AEO=∠BCO，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCE是平行四邊形；

（2） 設(shè)OG的長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的長(zhǎng).

【方法指導(dǎo)】折疊問(wèn)題計(jì)算常用到勾股定理，基本思路是：

第1步：選一個(gè)合適的線段長(zhǎng)設(shè)為x，盡量求什么線段就設(shè)什么線段；

第2步：用含x的代數(shù)式表示出所有能表示的線段長(zhǎng)；

第3步：尋一個(gè)直角三角形，前提是這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)已知或已用含x的代數(shù)式表示，根據(jù)勾股定理，列出一個(gè)關(guān)于x的方程，解出x的值，問(wèn)題得解.

通過(guò)上面的講解，我們可以發(fā)現(xiàn)折疊問(wèn)題也不像我們想象的那么深?yuàn)W，它其實(shí)也是有規(guī)律可循的，解決折疊問(wèn)題關(guān)鍵是利用對(duì)稱性質(zhì)，抓住圖中線段的長(zhǎng)短關(guān)系，根據(jù)勾股定理列出方程.

（作者單位：江蘇省海安縣紫石中學(xué)）

紙片的折疊是中考數(shù)學(xué)常考題型，解題時(shí)常常用到軸對(duì)稱、勾股定理和四邊形等知識(shí)，折疊問(wèn)題由于知識(shí)的綜合程度較高，常被考生視為比較難的題型之一.

一、 折疊出對(duì)稱

圖形折疊的時(shí)候，由于被折疊的部分與折疊前關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，而關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形，因此我們就可以使用全等有關(guān)知識(shí)來(lái)解決折疊問(wèn)題.

例1 如圖1，把一張長(zhǎng)方形紙片，沿EF折疊后，ED與BC的交點(diǎn)為G，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置上，若∠AEG=60°，EF=3 cm，則△GEF的面積為_(kāi)_____.

【切入點(diǎn)】四邊形CDEF與四邊形C′D′EF關(guān)于折痕EF成軸對(duì)稱.

【思路點(diǎn)撥】由于∠1和∠2關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，因此∠1=∠2. 又由于AD∥BC，可得∠1=∠3. 至此可證明△GEF是等腰三角形，然而題目告訴我們∠AEG=60°，這就說(shuō)明△GEF為等邊三角形，已知等邊三角形的邊長(zhǎng)，就可以求出等邊三角形的面積了.

【解答過(guò)程】∵四邊形CDEF與四邊形C′D′EF關(guān)于折痕EF成軸對(duì)稱，

∴∠1=∠2，

∵AD∥BC，

∴∠3=∠1，

∴∠2=∠3.

∵∠AEG=60°，

∴△EFG為等邊三角形.

∵EF=3 cm，

∴S△EFG= cm2.

【方法指導(dǎo)】這類折疊問(wèn)題一般能折出一個(gè)角平分線，由于折疊的對(duì)象一般為矩形，矩形的對(duì)邊平行，“平行線+角平分線”的組合一般會(huì)出現(xiàn)一個(gè)等腰三角形，比如在本題中，角平分線是“EF平分∠DEG”，平行線是AD∥BC，等腰△GFE中GE=GF.

二、 勾股建方程

折疊問(wèn)題中折疊的對(duì)象一般是矩形紙片，矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，因此解決折疊問(wèn)題一般在直角三角形中考慮，這就離不開(kāi)勾股定理這一基本工具.

例2 （2013·蘭州）如圖2，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8. 以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E.

（1） 求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

【切入點(diǎn)】可設(shè)OG長(zhǎng)為x，然后在Rt△OAG中應(yīng)用勾股定理，列方程求出x的值.

【解題思路】（1） 首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠AEO=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠AEO=∠BCO，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCE是平行四邊形；

（2） 設(shè)OG的長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的長(zhǎng).

【方法指導(dǎo)】折疊問(wèn)題計(jì)算常用到勾股定理，基本思路是：

第1步：選一個(gè)合適的線段長(zhǎng)設(shè)為x，盡量求什么線段就設(shè)什么線段；

第2步：用含x的代數(shù)式表示出所有能表示的線段長(zhǎng)；

第3步：尋一個(gè)直角三角形，前提是這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)已知或已用含x的代數(shù)式表示，根據(jù)勾股定理，列出一個(gè)關(guān)于x的方程，解出x的值，問(wèn)題得解.

通過(guò)上面的講解，我們可以發(fā)現(xiàn)折疊問(wèn)題也不像我們想象的那么深?yuàn)W，它其實(shí)也是有規(guī)律可循的，解決折疊問(wèn)題關(guān)鍵是利用對(duì)稱性質(zhì)，抓住圖中線段的長(zhǎng)短關(guān)系，根據(jù)勾股定理列出方程.

（作者單位：江蘇省海安縣紫石中學(xué)）