如何求動點運動路徑長

許祥山

近年來，以幾何圖形的運動為載體，求幾何圖形在運動過程中，圖形上某一動點所經過的路徑的長度的題目在中考試卷常有出現.

解決這類問題時，首先要弄清點在運動過程中，其路徑的形狀是什么圖形，計算出動點運動的起點和終點，再根據相關計算公式計算出路徑的長.

例1 一根長為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時BC為1米，當A點下滑至A′處并且A′C=1米時，木棒AB的中點P運動的路徑長為______米.

【切入點】先判斷點P的運動路徑是什么圖形，然后求出路徑長.

【思路分析】在木棒下滑過程中，△ABC始終是直角三角形，點P也始終是斜邊AB的中點，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知CP的長始終保持不變，因此點P應該是繞著點C在做圓周運動，我們只要找到圓弧的起點和終點，就可以計算出P運動的路徑長.

【解答過程】木棒沒有下滑時，cos∠ABC==，所以∠ABC=60°，可得此時∠PCB=60°.

木棒下滑后，由于A′C=1米，sin∠A′B′C==，所以∠A′B′C=30°，可得此時∠P′CB′=30°.

所以點P運動的路徑是一個以點C為圓心，半徑為1，圓心角為30°的圓弧，所以木棒AB的中點P運動的路徑長為.

【技巧說明】在點的運動中，點的位置在不斷變化，由此引發的是許多線段的長度和位置也隨之改變，而解決數學問題則需要在這個變化過程中，尋找其變化規律以及不隨點的運動而改變的性質.

例2 （2012·福州）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ. 點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t≥0）.

（1） 直接用含t的代數式分別表示：QB=______，PD=______；

（2） 是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；

【思路點撥】

1. 易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.

2. 設E是AC的中點，當t=0時M與E重合.當t=4時，點Q與點B重合，運動停止，設此時PQ的中點為F.連接EF，證明M的運動路程就是線段EF，即可求得答案.

【方法總結】中考中關于點的運動軌跡形狀，通常有兩種可能，一是軌跡為線段，此時只要求出兩端點的坐標就可求得路徑長；二是軌跡為圓弧，此時先確定圓弧所在圓的圓心、半徑，再確定圓心角就可求得路徑長.

（作者單位：江蘇省海安縣大公中學）

近年來，以幾何圖形的運動為載體，求幾何圖形在運動過程中，圖形上某一動點所經過的路徑的長度的題目在中考試卷常有出現.

解決這類問題時，首先要弄清點在運動過程中，其路徑的形狀是什么圖形，計算出動點運動的起點和終點，再根據相關計算公式計算出路徑的長.

例1 一根長為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時BC為1米，當A點下滑至A′處并且A′C=1米時，木棒AB的中點P運動的路徑長為______米.

【切入點】先判斷點P的運動路徑是什么圖形，然后求出路徑長.

【思路分析】在木棒下滑過程中，△ABC始終是直角三角形，點P也始終是斜邊AB的中點，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知CP的長始終保持不變，因此點P應該是繞著點C在做圓周運動，我們只要找到圓弧的起點和終點，就可以計算出P運動的路徑長.

【解答過程】木棒沒有下滑時，cos∠ABC==，所以∠ABC=60°，可得此時∠PCB=60°.

木棒下滑后，由于A′C=1米，sin∠A′B′C==，所以∠A′B′C=30°，可得此時∠P′CB′=30°.

所以點P運動的路徑是一個以點C為圓心，半徑為1，圓心角為30°的圓弧，所以木棒AB的中點P運動的路徑長為.

【技巧說明】在點的運動中，點的位置在不斷變化，由此引發的是許多線段的長度和位置也隨之改變，而解決數學問題則需要在這個變化過程中，尋找其變化規律以及不隨點的運動而改變的性質.

例2 （2012·福州）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ. 點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t≥0）.

（1） 直接用含t的代數式分別表示：QB=______，PD=______；

（2） 是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；

【思路點撥】

1. 易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.

2. 設E是AC的中點，當t=0時M與E重合.當t=4時，點Q與點B重合，運動停止，設此時PQ的中點為F.連接EF，證明M的運動路程就是線段EF，即可求得答案.

【方法總結】中考中關于點的運動軌跡形狀，通常有兩種可能，一是軌跡為線段，此時只要求出兩端點的坐標就可求得路徑長；二是軌跡為圓弧，此時先確定圓弧所在圓的圓心、半徑，再確定圓心角就可求得路徑長.

（作者單位：江蘇省海安縣大公中學）

近年來，以幾何圖形的運動為載體，求幾何圖形在運動過程中，圖形上某一動點所經過的路徑的長度的題目在中考試卷常有出現.

解決這類問題時，首先要弄清點在運動過程中，其路徑的形狀是什么圖形，計算出動點運動的起點和終點，再根據相關計算公式計算出路徑的長.

例1 一根長為2米的木棒AB斜靠在墻角處，此時BC為1米，當A點下滑至A′處并且A′C=1米時，木棒AB的中點P運動的路徑長為______米.

【切入點】先判斷點P的運動路徑是什么圖形，然后求出路徑長.

【思路分析】在木棒下滑過程中，△ABC始終是直角三角形，點P也始終是斜邊AB的中點，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知CP的長始終保持不變，因此點P應該是繞著點C在做圓周運動，我們只要找到圓弧的起點和終點，就可以計算出P運動的路徑長.

【解答過程】木棒沒有下滑時，cos∠ABC==，所以∠ABC=60°，可得此時∠PCB=60°.

木棒下滑后，由于A′C=1米，sin∠A′B′C==，所以∠A′B′C=30°，可得此時∠P′CB′=30°.

所以點P運動的路徑是一個以點C為圓心，半徑為1，圓心角為30°的圓弧，所以木棒AB的中點P運動的路徑長為.

【技巧說明】在點的運動中，點的位置在不斷變化，由此引發的是許多線段的長度和位置也隨之改變，而解決數學問題則需要在這個變化過程中，尋找其變化規律以及不隨點的運動而改變的性質.

例2 （2012·福州）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ. 點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t≥0）.

（1） 直接用含t的代數式分別表示：QB=______，PD=______；

（2） 是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；

【思路點撥】

1. 易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案.

2. 設E是AC的中點，當t=0時M與E重合.當t=4時，點Q與點B重合，運動停止，設此時PQ的中點為F.連接EF，證明M的運動路程就是線段EF，即可求得答案.

【方法總結】中考中關于點的運動軌跡形狀，通常有兩種可能，一是軌跡為線段，此時只要求出兩端點的坐標就可求得路徑長；二是軌跡為圓弧，此時先確定圓弧所在圓的圓心、半徑，再確定圓心角就可求得路徑長.

（作者單位：江蘇省海安縣大公中學）