數形結合思想

蔣飛

數和形是初中數學研究規律的主要對象，數形結合思想是我們數學學習中最基本的數學思想之一. 初中數學中的數與式問題可以通過圖形來揭示，圖形問題又可以借助數字規律解決. 數形結合在具體問題中的應用主要針對數與形在問題中的重要性分為以形助數、以數助形和數形互助三類.

一、 以形助數

顧名思義，以形助數即是以形象的圖形來幫助抽象的“數”的問題的解決，通過形象的圖形可以使抽象問題具體化，幫助同學們解決問題.

例1 （2012·十堰）閱讀材料：

例：說明代數式+的幾何意義，并求它的最小值.

解：+=+.

如圖1，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度. 為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值為3.

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

（1） 代數式+的值可以看成平面直角坐標系中的點P（x，0）與點A（1，1）、點B______的距離之和. （填寫點B的坐標）

（2） 代數式+的最小值為______.

【分析】（1） 先把原式化為+的形式，再根據題中所給的例子即可得出結論；

（2） 先把原式化為+的形式，故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，再根據在坐標系內描出的各點，利用勾股定理得出結論即可.

解：（1） 過程略，答案為（2，3）；

（2） ∵原式化為+的形式，

∴所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，如圖2所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′.

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，

∵A（0，7），B（6，1），

∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，

∴A′B=10，故答案為：10.

【點評】此閱讀材料給同學們提供了構造幾何圖形解決代數問題的方法，試題考查了數形結合思想、建模思想，解答的關鍵是根據所給材料畫出圖形，再利用數形結合的方法求解.

二、 以數助形

以數助形是借助代數知識，對圖形中的數量關系進行研究的做法. 數量問題中，涉及關于圖形大小比較、圖像相交、雙曲線的性質等問題，以數助形是很好的解決手段.

例2 （2012·蘇州）如圖3，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1 cm/s速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD. 已知正方形ABCD的邊長為1 cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4 cm，3 cm，設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5.

（1） 試求出y關于x的函數關系式，并求當y=3時相應x的值.

（2） 記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2，試說明S1-S2是常數.

（3） 當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

解：（1） 根據題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應邊成比例可解出x的值. 故答案為：y=，x=2.5.

（2） 利用（1）得出的y與x的關系式表示出S1、S2，然后作差即可. S1-S2=，即為常數.

（3） 如圖4，延長PD交AC于點Q.

∵正方形ABCD中，AC為對角線，

∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°，∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，∴3-x=，化簡得：x2-5x+5=0. 解得：x=.

∵0≤x≤2.5，∴x=，

在Rt△DGP中，PD==（3-x）=.

【點評】此題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質及解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是結合代數中的函數知識和方程內容，這樣可以有效解決問題.

數形結合思想是基本的數學思想之一，對這方面進行思考、鉆研，有助于提高我們的解題水平，促使我們將數學中抽象思維與形象思維完美地統一起來.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

數和形是初中數學研究規律的主要對象，數形結合思想是我們數學學習中最基本的數學思想之一. 初中數學中的數與式問題可以通過圖形來揭示，圖形問題又可以借助數字規律解決. 數形結合在具體問題中的應用主要針對數與形在問題中的重要性分為以形助數、以數助形和數形互助三類.

一、 以形助數

顧名思義，以形助數即是以形象的圖形來幫助抽象的“數”的問題的解決，通過形象的圖形可以使抽象問題具體化，幫助同學們解決問題.

例1 （2012·十堰）閱讀材料：

例：說明代數式+的幾何意義，并求它的最小值.

解：+=+.

如圖1，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度. 為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值為3.

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

（1） 代數式+的值可以看成平面直角坐標系中的點P（x，0）與點A（1，1）、點B______的距離之和. （填寫點B的坐標）

（2） 代數式+的最小值為______.

【分析】（1） 先把原式化為+的形式，再根據題中所給的例子即可得出結論；

（2） 先把原式化為+的形式，故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，再根據在坐標系內描出的各點，利用勾股定理得出結論即可.

解：（1） 過程略，答案為（2，3）；

（2） ∵原式化為+的形式，

∴所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，如圖2所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′.

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，

∵A（0，7），B（6，1），

∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，

∴A′B=10，故答案為：10.

【點評】此閱讀材料給同學們提供了構造幾何圖形解決代數問題的方法，試題考查了數形結合思想、建模思想，解答的關鍵是根據所給材料畫出圖形，再利用數形結合的方法求解.

二、 以數助形

以數助形是借助代數知識，對圖形中的數量關系進行研究的做法. 數量問題中，涉及關于圖形大小比較、圖像相交、雙曲線的性質等問題，以數助形是很好的解決手段.

例2 （2012·蘇州）如圖3，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1 cm/s速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD. 已知正方形ABCD的邊長為1 cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4 cm，3 cm，設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5.

（1） 試求出y關于x的函數關系式，并求當y=3時相應x的值.

（2） 記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2，試說明S1-S2是常數.

（3） 當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

解：（1） 根據題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應邊成比例可解出x的值. 故答案為：y=，x=2.5.

（2） 利用（1）得出的y與x的關系式表示出S1、S2，然后作差即可. S1-S2=，即為常數.

（3） 如圖4，延長PD交AC于點Q.

∵正方形ABCD中，AC為對角線，

∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°，∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，∴3-x=，化簡得：x2-5x+5=0. 解得：x=.

∵0≤x≤2.5，∴x=，

在Rt△DGP中，PD==（3-x）=.

【點評】此題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質及解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是結合代數中的函數知識和方程內容，這樣可以有效解決問題.

數形結合思想是基本的數學思想之一，對這方面進行思考、鉆研，有助于提高我們的解題水平，促使我們將數學中抽象思維與形象思維完美地統一起來.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

數和形是初中數學研究規律的主要對象，數形結合思想是我們數學學習中最基本的數學思想之一. 初中數學中的數與式問題可以通過圖形來揭示，圖形問題又可以借助數字規律解決. 數形結合在具體問題中的應用主要針對數與形在問題中的重要性分為以形助數、以數助形和數形互助三類.

一、 以形助數

顧名思義，以形助數即是以形象的圖形來幫助抽象的“數”的問題的解決，通過形象的圖形可以使抽象問題具體化，幫助同學們解決問題.

例1 （2012·十堰）閱讀材料：

例：說明代數式+的幾何意義，并求它的最小值.

解：+=+.

如圖1，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度. 為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值為3.

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

（1） 代數式+的值可以看成平面直角坐標系中的點P（x，0）與點A（1，1）、點B______的距離之和. （填寫點B的坐標）

（2） 代數式+的最小值為______.

【分析】（1） 先把原式化為+的形式，再根據題中所給的例子即可得出結論；

（2） 先把原式化為+的形式，故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，再根據在坐標系內描出的各點，利用勾股定理得出結論即可.

解：（1） 過程略，答案為（2，3）；

（2） ∵原式化為+的形式，

∴所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，如圖2所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′.

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，

∵A（0，7），B（6，1），

∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，

∴A′B=10，故答案為：10.

【點評】此閱讀材料給同學們提供了構造幾何圖形解決代數問題的方法，試題考查了數形結合思想、建模思想，解答的關鍵是根據所給材料畫出圖形，再利用數形結合的方法求解.

二、 以數助形

以數助形是借助代數知識，對圖形中的數量關系進行研究的做法. 數量問題中，涉及關于圖形大小比較、圖像相交、雙曲線的性質等問題，以數助形是很好的解決手段.

例2 （2012·蘇州）如圖3，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1 cm/s速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD. 已知正方形ABCD的邊長為1 cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4 cm，3 cm，設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5.

（1） 試求出y關于x的函數關系式，并求當y=3時相應x的值.

（2） 記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2，試說明S1-S2是常數.

（3） 當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.

解：（1） 根據題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應邊成比例可解出x的值. 故答案為：y=，x=2.5.

（2） 利用（1）得出的y與x的關系式表示出S1、S2，然后作差即可. S1-S2=，即為常數.

（3） 如圖4，延長PD交AC于點Q.

∵正方形ABCD中，AC為對角線，

∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°，∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，∴3-x=，化簡得：x2-5x+5=0. 解得：x=.

∵0≤x≤2.5，∴x=，

在Rt△DGP中，PD==（3-x）=.

【點評】此題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質及解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是結合代數中的函數知識和方程內容，這樣可以有效解決問題.

數形結合思想是基本的數學思想之一，對這方面進行思考、鉆研，有助于提高我們的解題水平，促使我們將數學中抽象思維與形象思維完美地統一起來.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）