基于H∞的銑削加工振動主動控制

鄭平旭, 江 浩, 龍新華, 孟 光

(上海交通大學 機械與動力工程學院振動、沖擊、噪聲研究所，上海 200240)

振動是金屬切削加工過程中廣泛存在的現象。振動不僅會降低刀具使用壽命，工件加工質量，嚴重時甚至會引起顫振和整個加工系統的不穩定。再生顫振是引起振動的主要因素，在實際中最常見，對其研究也比較成熟。Tobias[1-2]在20世紀50年代對再生顫振的理論展開了研究并且都提出切削加工穩定性的解析解。Altitas[3]基于系統傳遞函數提出了預測系統穩定性圖的頻域方法。在切削振動控制方面，目前主要有主、被動兩種控制方法。被動方法主要通過調節切削參數來避免系統不穩定，這樣并不能真正提高加工效率[4]。主動方法通過改變被控對象在固有頻率處的阻尼或者使用作動器直接抵消刀具或者工件的位移來提高系統的穩定性。隨著作動器技術的發展，體積小，輸出力大的的作動器被廣泛應用，切削振動的主動控制有了更進一步的發展。Rashid等[5]設計了一個托盤裝夾系統，利用壓電作動器對動態切削力進行控制，從而實現了對切削加工中的振動控制。Rojas[6]利用磁致伸縮作動器和電流變高彈體阻尼器將主動和被動控制結合實現了對工件振動位移的控制。Claesson等[7]利用基于小波算法自適應控制器有效控制了振動，但是控制方法只是針對車削提出的。江浩等[8]利用魯棒干擾抑制方法設計控制器驅動作動器實現了對銑削振動的抑制，但是該方法需要預先知道干擾頻率特性，有一定局限性。銑削時由于刀具高速旋轉且伴隨進給運動使得振動位移信號采集十分困難，目前的主動控制要么針對刀具振動，要不就針對工件的振動?；诖?，本文提出了針對刀具和工件相對振動的控制方法，并結合基于再生顫振建立的銑削模型，對其控制效果進行了數值仿真驗證。

1 銑削模型建立

1.1 動態切削力模型

圖1為圓柱螺旋立銑刀示意圖,圖中ba為刀具的軸向切削深度，η為刀具的螺旋角。把刀具的每一條切削刃看作是很多微元的組合，圖1中右圖表示左圖中某條切削刃上微元Δz的切削受力圖，對應的徑向力、垂直于切削刃的力和摩擦力分別用ΔFr、ΔFτ和ΔFμ表示。

圖1 圓柱螺旋立銑刀及其微元

通常情況下螺旋角不會為零，因此不能以正交切削的模型來定義切削力。然而根據Kronenberg[9]對非正交切削的研究，可以得到下列簡化的切削力公式。

(1)

式中：Kt為切削系數(與材料有關)，φn為法向前角，μ為摩擦系數，c為切削力比例系數。h(t,i,z)為切屑厚度，可以表示為：

h(t,i,z)=Δxsinθi+Δycosθi+hsc

(2)

(3)

式中：f為進給率，θi為第i個齒轉過的角度，Nt為刀齒數。Ω為刀具的徑向切入角，可以表示為：

(4)

式中：d為徑向切削厚度，R為刀具半徑。

第i條切削刃微元Δz與其轉角Δθi存在下列關系：

(5)

將微元力分解到刀具的徑向(ΔFr)，切向(ΔFt)，和軸向方向(ΔFz)，得到：

(6)

由于我們只關心x與y方向的受力情況，將式(6)做如下分解，得到：

(7)

只要對式(7)進行在切削厚度方向上積分就可以得到整條切削刃在x和y方向所受到的力：

(8)

式中:θs和θe分別為第i條切削刃開始和結束切削的角度位置，對于逆銑和順銑兩種不同情況，可以分別表示為[10]：

逆銑

(9)

順銑

(10)

式中:ω為主軸轉速，Nt為刀具的齒數，φ為軸向切入角度，可以表示為：

(11)

將所有切削刃所受的力進行疊加就可以得到刀具在x和y方向上受到的力：

(12)

1.2 銑削系統的Simulink實現

圖2 銑削系統動力學框圖

2 主動控制器設計

考慮到銑削系統參數的不確定性，本文采用一種基于H∞的魯棒混合靈敏度方法[12]來控制銑削加工過程中刀具和工件的相對振動。如圖3所示，標準的H∞控制問題[12]就是求解控制器K(S)，使得閉環系統穩定，并使得傳遞函數的H∞范數最小。H∞控制不需對不同類型的不確定性進行區別對待以及在頻域內加權處理，對非參數化不確定系統具有良好的控制效果，且控制器維數較小。由于切削振動主要由刀齒切入頻率(TPF)的諧波成分組成。為了簡化控制器維數，控制器設計時僅考慮TPF成分。被控對象為裝有工件的主動減振平臺，該主動控制平臺的相關細節請參考文獻[8]。

圖3 標準H∞控制問題框圖

這里以Y方向的振動控制為例，簡要說明基于H∞的魯棒混合靈敏度方法。該方法控制器設計流程如圖4所示。

圖4 控制器設計流程圖

首先，測量被控對象Y方向的頻響函數[11],使用Matlab系統辨識工具箱將其分別轉化為名義參數模型。由于銑削過程是一個有時滯的動態過程，在建立主動平臺Y向的名義模型時，需要使用Matlab控制系統工具箱中的pade函數來逼近真實的模型，其實質是一個時滯系統傳遞函數P(s)與擬合的傳遞函數Gy(s)(不含時滯特性)相乘來得到名義模型的傳遞函數G(s)。P(s)、Gy(s)和G(s)表達式如式(13)所示。圖5中的虛線為主動減振平臺Y向名義頻響曲線，實線為實測頻響曲線，通過對比，可以發現這兩者很接近，可以利用名義模型來表示其傳遞函數。

(13)

圖5 主動平臺Y向實測及名義模型頻響函數

如圖3所示， 基于H∞的魯棒混合靈敏度方法的核心是選擇合適的權重函數W1，W2，W3構造增強名義模型(augmented plant)。其中，G(s)為被控對象名義模型，u1為擾動輸入，u2為控制輸入，y1為評價輸出，y2為量測輸出。

受限于主動減振平臺[8]中的作動器的輸出力，文中所設計的控制方法只能有效控制TPF<200 Hz的銑削振動，因此將W1設計為低通濾波器的形式；W2為名義模型輸入u的權重函數，將其設計為全波段衰減的形式；考慮到系統模型的不確定性，將W3設計為高通濾波器的形式。為降低控制器的階數(名義模型階數與權重函數階數之和)，將W1，W2和W3采用式(14)所示表達式，其相應的伯德圖見圖6。

(14)

圖6 加權函數伯德圖

控制器K(s)通過Matlab魯棒控制工具箱中hinfsyn函數計算獲得?？刂破鱇(s)表達式如式(15),伯德圖如圖7所示。

(15)

圖7 反饋控制器K(s)伯德圖

控制器及被控對象的閉環傳遞函數伯德圖如圖8。從圖8可以看到，上述設計的閉環系統可以有效的實現低頻階段的魯棒干擾抑制和高頻段的魯棒穩定性。

圖8 閉環系統伯德圖

3 主動控制仿真結果及分析

為驗證控制器控制效果，結合第1節中的銑削系統動力學模型，采用Simulink進行了數值仿真。本仿真中銑削加工參數見表1中的第一組參數，其中刀具螺旋角30°，工件材料為淬硬鋼。

圖9 振動控制仿真實驗1

表1 銑削加工參數表

視刀具和工件的相對振動為擾動輸入，仿真結果如圖9所示。仿真結果表明，設計的控制器能夠將軸向銑削深度較大的不穩定切削控制在穩定銑削區域，說明該控制器能夠有效控制銑削振動。為了說明該控制方法對銑削顫振的抑制效果，對主軸在不同轉速時的切削穩定性圖進行了仿真計算，仿真參數為表1中第二組參數，只是軸向切削深度(ADOC)與主軸轉速(Spindle Speed)為變量，結果如圖10所示。對比圖10中的兩條曲線，可以發現沒有施加控制的穩定性曲線整體低于施加控制后的穩定性曲線，說明基于H∞的主動控制方法可以有效控制銑削顫振的發生，擴大銑削的穩定性區域。

圖10 主動控制穩定性圖

圖11 不同控制對象控制效果比較

為了說明以刀具和工件的相對振動為控制對象的控制效果優于僅以刀具或者工件振動為控制對象的控制效果，以表1中的第二組參數進行銑削控制仿真，此時軸向切削深度為穩定切削深度，結果如圖11 所示。

從圖11可以看出，以刀具和工件的相對振動為控制對象的控制效果是優于僅以刀具或者工件振動為控制對象的。

4 實驗論證

為了驗證文中提出的控制方法的有效性以及第三節主動控制數值仿真的正確性，在DMU 70 V立式銑床上進行了多組銑削實驗。銑削參數如表2 所示，實驗中刀具螺旋角30°，工件材料為淬硬鋼。

表2 銑削實驗參數表

實驗中使用NI PCI-6251數據采集卡，將采集到的刀具與工件的相對振動作為反饋信號，通過控制器，計算出控制信號，控制減振平臺中的作動器產生主動力來抵消刀具與工件的相對振動。銑削主動控制結果如圖12-13。

圖12 振動控制銑削實驗1

圖13 振動控制銑削實驗2

對比圖11(c-d)(注：文中所有功率譜圖中的箭頭所指位置為其后文字所標情況下的峰值。)與圖12(c-d)，可以發現實際銑削過程中相對振動的頻譜成分要比仿真中復雜，比如主軸旋轉頻率(SF)成分。這是因為在實際銑削中，刀具在安裝時偏心總會存在，這樣便會引入SF成分；仿真模型中的傳遞函數是在系統靜止時測量的，實際銑削時傳遞函數會有所不同；同時設計控制器時引入了權函數W1，W2，W3，實際系統并不存在，這些因素導致了頻譜成分的不一致。

從圖12(a-b)與圖13(a-b)，可以發現文中提出的控制方法可以有效抑制銑削振動，提高銑削的質量。對比圖12與圖13 還可以發現，對于不同的銑削參數(見表2)的銑削實驗，施加控制后振動幅值為未施加控制的40-60%，說明該控制方法具有一定的魯棒性。

5 結 論

本文對銑削加工過程中的振動控制進行了討論。視刀具和工件的相對振動為擾動，提出了基于H∞的主動控制方法，并進行了仿真與實驗驗證，證明了該控制方法能夠有效抑制銑削顫振的發生，提高軸向銑削深度，擴大銑削的穩定性區域，并且具有一定的魯棒性。仿真實驗同時還說明視刀具和工件的相對振動為控制對象的控制效果優于僅以刀具或者工件振動為控制對象的控制效果。

參 考 文 獻

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