基于Hammerstein模型的柴油機隔振非線性系統振動分析

肖 斌， 高 超， 李 勇

(東北電力大學 能源與動力工程學院，吉林 132012)

近些年，振動主動控制在理論、技術和方法上均得到長足發展，已在航空航天、船舶、車輛工程等領域得到廣泛應用[1]，并在動力裝置[2]、設備和結構[3]等減振降噪方面發揮了愈來愈重要的作用。然而，在動力系統中，因主動控制加強耦合作用及打破小振動狀況等[4]而產生系統非線性，抑或因設計、選擇非線性吸振器、隔振器等[3]而引入系統非線性，使得主動控制誤差通道及初級通道的振動傳遞、響應環節均具有非線性[4-5]。系統非線性，會掩蓋系統線性環節結構動力特征，終將影響動力系統的建模、振動分析、控制策略設計的合理和有效性。考慮系統非線性特征進行系統振動分析，對于振動主動控制非線性系統是一個不可回避的問題。

針對系統中存在的非線性，利用神經網絡模型[6]、非線性控制模型[7-9]等，通過建立非線性系統預測模型及其優化控制，能夠獲取系統非線性特征；利用模塊化結構非線性模型，例如Hammerstein模型、Wiener模型、Hammerstein-Wiener模型和Wiener-Hammerstein模型[10]，通過非線性系統辨識，能夠深入、直接研究系統非線性特征。其中，神經網絡模型[6]，具有逼近任意非線性映射的能力，通過預測模型估計系統非線性特征；其它模型的非線性控制，例如狀態反饋[7]、魯棒控制[8]和自適應控制[9]等，在非線性系統線性化過程能夠獲取系統非線性特征；而Hammerstein模型，其模型結構清晰、參數辨識方法多樣，例如過參數化法、子空間法、分離最小二乘法、盲識別法和迭代法等[11]，應用領域廣泛，例如非線性系統辨識[12]、信號處理[13]、自適應控制[9]等，能夠深刻地描述非線性系統特征[10]。因而，對于純輸入型非線性系統，基于Hammerstein模型的系統辨識是合適的。于是，在獲得非線性特征基礎上，針對動力系統線性環節，利用試驗模態分析方法，借助曲線擬合的模態參數辨識頻域方法[14-18]，基于系統頻響函數參數估計，獲得包括模態頻率、振型、阻尼比和參與因子等結構動力特征[14]。這既可準確獲取初級通道及誤差通道的系統模態參數、振動傳遞及響應特征，又為振動主動控制優化作動器的位置和確定誤差傳感器的類型、數量、最佳布置以及最大限度地實現控制策略提供基礎。

本文針對在振動主動控制中建立的柴油機隔振非線性系統，考慮誤差通道非線性，基于Hammerstein模型建立廣義頻響函數，以掃頻試驗數據為基礎分析非線性對其振動特性的影響，并獲得線性頻響函數，最終基于曲線擬合的試驗模態分析方法，獲取系統結構動力特征，為分析柴油機雙層隔振臺架的結構動力特征、振動傳遞特征和響應特征以及實現其有效的振動主動控制奠定基礎。

1 柴油機隔振非線性系統

利用實際柴油機作為初級振源，建立柴油機隔振雙層隔振系統，進行振動主動控制研究[1]。由于隔振系統存在耦合非線性振動，加之作動器為液壓伺服系統，如圖1所示，導致振動主動控制誤差通道存在嚴重的純輸入型非線性[4]，構成Hammerstein型非線性系統。

圖1 柴油機主動隔振非線性系統結構簡圖

在圖1中，柴油機主動隔振非線性系統，主要由柴油機、測功器和聯軸器等組成的柴油機上層質量子系統以及公共支架、隔振器-液壓作動器、中間質量、下層質量和基礎梁等子系統構成，其主動控制誤差通道具有耦合作用，而通過采用四個中間質量塊、四個作動器和獨立控制通道等措施進行硬件去耦，形成誤差通道四個去耦通道[1,4]。

2 Hammerstein模型及曲線擬合技術

2.1 基頻諧振廣義頻響函數

考慮柴油機隔振系統主動控制誤差通道為純輸入型非線性系統，其系統模型描述基于Hammerstein模型由多項式微分方程給出，即[8]:

(1)

式中，t為時間，dp為p階微分算子，ap為p階輸出系數，cn,p1,…,pn為系統非線性輸入系數。

利用Volterra級數逼近式(1)，振動分析忽略直流偏移量，通過階次截斷獲得非線性系統N階模型[19]:

yN(t)=

(2)

式中，yN(·)為N階截斷模型時域輸出，hn(·)為n階廣義脈沖響應函數,其n維Fourier變換Hn(·)稱為n階廣義頻響函數。

對式(2)進行Fourier變換得到系統頻域表達:

(3)

在式(3)中，當受單頻ω={ω1=,…,=ωn}激勵時，系統在激勵頻率上振動響應將受到高階次廣義頻響函數作用。于是，對于k=2,3,…，將對基頻響應存在作用的n(=2k-1)階廣義頻響函數定義為n階基頻諧振廣義頻響函數，即:

(4)

若單頻激勵

u(t)=Aicos(ωit+φi)

(5)

式中，Ai、φi、ωi分別為激勵幅值、初相位和圓頻率。

那么，在單頻激勵下，非線性系統Hammerstein模型的頻域響應為:

(6)

2.2 曲線擬合方法

(7)

針對式(7)，為克服LS估計在低頻區間誤差缺乏敏感度缺點，Sanathanan和Koerner[15]提出一種多項式參數估計的SK算法，該算法的誤差準則和誤差向量為:

(8)

WSK算法誤差準則和誤差向量為[16]:

(9)

基于式(7)，Gauss-Newton算法(GN算法)是一種非線性LS參數估計法，WGN算法的誤差準則和誤差向量為[16]:

(10)

針對誤差向量e，定義Jacobi陣J(i)=?e(i)/?θ(i)，給出二次型誤差準則，即:

(11)

則對應的參數估計迭代公式為:

J(i)θ(i+1)=J(i)θ(i)-e(i)

(12)

在迭代過程中，例如Mannetje和Whitfield[16]，通過適當選擇權函數和松弛因子，能夠改善算法收斂性和收斂速度。

根據WSK、WGN算法的誤差準則式(11)，需要利用迭代公式(12)估計參數向量θ。對此，Bayard[17]提出LS-TLS算法，在進行估計參數向量θ時，回避了迭代過程。LS-TLS算法利用矩陣QR分解、SVD分解和稀疏矩陣計算等方法，直接實現參數向量的估計，發展了WSK、WGN算法[18]。

在誤差準則式(11)中，LS-TLS算法的Jacobi矩陣具有稀疏矩陣結構，即：

(13)

在式(13)中，對其分塊矩陣進行QR分解:

Γk=[Qk,Γ1Qk,Γ2][Rk,Γ0]T

(14)

(15)

對矩陣Λ進行QR分解，得

Λ=[QΛ1QΛ2][RΛ0]T

(16)

對矩陣RΛ進行奇異值分解，得

RΛ=U∑VH

(17)

式中，∑=diag(σ1,…,σn+1)，V=[v1,…,vn+1]。

頻響函數分母多項式參數向量β，為最小奇異值所對應的特征向量，即

(18)

而頻響函數分子多項式參數向量α，能夠通過下式給出，即

(19)

式中，y=[…R(Hm)F(Hm)…]T。

綜上，式(18)和(19)共同實現式(7)的參數辨識，即:

2.3 系統結構動力參數估計

為辨識系統線性結構動力參數，令s=jω，并忽略剩余模態，(1階廣義)頻響函數改寫成部分分式格式，即[14]

(20)

式中，pk、φk、Lk分別為第k個極點、模態振型、模態參與因子。

根據式(20)，系統模態頻率ωk和阻尼比ζk為[14]

pk=R(pk)+jF(pk)

(21)

ωk=|pk|

(22)

ζk=-R(pk)/ωk

(23)

3 方法的實現

3.1 曲線擬合

針對式(7)，利用曲線擬合技術，通過WSK、WGN和LS-TLS算法進行參數估計，其參數估計過程如圖2所示。其中，WSK算法得到線性LS估計解，而WGN算法在WSK算法LS估計的基礎上進一步得到全局最優估計，即：

(1) WSK算法迭代過程

為了改善參數估計過程中矩陣計算條件數，利用ωs=(ωmax-ωmin)作為因子對頻率軸ω進行無量綱化處理，并通過下式對參數向量進行賦初值，即

θ(0)=[βT,αT]=[1 0 … 0]T

(24)

通過LS-TLS算法對WSK算法求解，迭代過程直至收斂。

(2) WGN算法迭代過程

采用WSK算法迭代結果作為初始值，通過LS-TLS算法對WGN算法求解，迭代過程收斂，算法結束，獲得頻響函數全局最優的參數辨識結果。

圖2 曲線擬合法對(基頻諧振廣義)頻響函數參數估計框圖

3.2 基于Hammerstein模型的振動分析

根據式(6)，在單頻激勵下，Hammerstein模型的基頻(激勵頻率)響應，不僅包含因(1階廣義)頻響函數作用產生的響應成分，還包含因基頻諧振廣義頻響函數作用而產生的響應成分。基于單頻激勵-響應試驗數據進行(1階廣義)頻響函數參數辨識，需要在基頻響應R1(ωi)中剔除掉因基頻諧振廣義頻響函數作用而產生的響應成分。因此基于Hammerstein模型曲線擬合的非線性系統振動分析過程如下：

(2) 計算頻域輸入Un。

(3) 根據式(6)，在基頻響應R1(ωi)中剔除基頻諧振廣義頻響函數的作用，得到系統線性響應。

(4) 基于單頻激勵-線性響應頻響關系，利用曲線擬合技術進行(1階廣義)頻響函數參數辨識。

(5) 基于頻響函數參數辨識結果，利用式(20)～(23)完成非線性系統的結構振動分析。

4 試驗結果及數據分析

在0～100 Hz頻段內以間隔2 Hz對柴油機主動隔振系統的誤差通道進行掃頻試驗，獲得該非線性系統的模態試驗數據。在此基礎上，基于Hammerstein模型曲線擬合方法，對柴油機主動隔振非線性系統去耦誤差通道的2#通道，進行非線性系統振動分析。

柴油機主動隔振系統誤差通道為純輸入型非線性系統，且前5階非線性為系統包含的主要非線性[4]。因而本文在誤差通道2#通道的非線性系統振動分析中采用了5階非線性Hammerstein模型。

根據式(6)，5階非線性Hammerstein模型的非線性系統分析，需要第3、5階基頻諧振廣義頻響函數。因此，利用Hammerstein模型曲線擬合方法，在無量綱頻率軸[0 1]上獲得第3、5階基頻諧振廣義頻響函數，其幅頻曲線如圖3和圖4所示。

圖3 誤差通道2#通道第3階基頻諧振廣義頻響函數幅頻曲線

由圖3和圖4可知，在約10 Hz(f*=0.1)及以上頻段內，系統的第3、5階基頻諧振廣義頻響函數均具有很大的(≥40 dB)增益值，可見系統第3、5階非線性是不可忽略的，其存在必然影響系統基頻響應。

圖5和圖6分別給出了(1階廣義)頻響函數的幅頻和相頻曲線。在圖5和圖6中，H∑,1為忽略系統非線性而直接通過激勵-響應試驗數據辨識出的頻響函數；H1,1為在激勵-響應試驗數據中剔除第3、5階基頻諧振廣義頻響函數作用而辨識出的頻響函數。

圖4 誤差通道2#通道第5階基頻諧振廣義頻響函數幅頻曲線

H∑,1—harmonic generalized FRFs;H1,1—Linear FRF

H∑,1—harmonic generalized FRFs;H1,1—Linear FRF

在圖5中，在15 Hz(f*=0.15)以下及在30 Hz(f*=0.3)以上的頻率范圍，H1,1和H∑,1幅頻曲線存在一定的差異，而其差異則反映第3、5階基頻諧振廣義頻響函數對系統振動響應的作用。在圖6中，在15 Hz(f*=0.15)以下及在30 Hz(f*=0.3)以上的頻率范圍，H1,1和H∑,1相頻曲線存在明顯差異且其相位曲線穿過φ=±90°，這反映第3、5階基頻諧振廣義頻響函數的作用不僅影響系統振動響應還可能改變系統結構動力特征。可見，第3、5階非線性的存在不僅影響了振動系統響應還會改變系統的結構動力特征；當系統非線性不可忽略時，利用H1,1較之H∑,1能夠獲得更可靠的結構動力特征。

在獲得(1階廣義)頻響函數H1,1基礎上，利用曲線擬合技術通過式(21)～(23)估計系統模態參數，然而因中間節點缺失而未能根據式(20)給出模態振型。于是，針對誤差通道2#通道，借助模態參數估計穩定圖如圖7所示，辨識動力系統的固有頻率、模態阻尼等結構動力特征(見表1)。

°—unstable poles;+—stable poles;-—HL FRF curve;OP—the order of characteristic polynomial

表1 誤差通道2#通道的模態參數估計結果

a阻尼適當，可靠模態參數

b阻尼過大，過擬合現象

c阻尼過小，過擬合現象

綜上所述，利用Hammerstein模型曲線擬合方法，能夠消除系統非線性的影響，獲得誤差通道2#通道可靠的線性結構動力特征，實現了柴油機主動隔振非線性系統的結構振動分析。

5 結 論

在柴油機隔振系統主動控制誤差通道2#通道振動分析過程，考慮誤差通道純輸入型非線性特征，利用Hammerstein模型曲線擬合方法實現其線性動力系統辨識及模態參數估計，并得到如下一些結論：

(1) 系統非線性存在不僅影響振動系統響應還會改變系統的結構動力特征，而基于Hammerstein模型曲線擬合方法能夠消除其在動力系統振動分析的影響。

(2) 曲線擬合技術是一種頻域模態參數辨識方法，能夠辨識出動力系統可靠的模態參數。

(3) 通過考慮系統非線性，基于Hammerstein模型曲線擬合方法能夠獲得柴油機主動隔振非線性系統2#通道可靠的線性結構動力特征。

然而，本文提出的非線性系統振動分析方法，僅適用于Hammerstein模型系統，而對于Wiener模型或Hammerstein-Wiener模型的非線性系統的振動分析，仍需進一步開展研究工作。

參 考 文 獻

[1]楊鐵軍.柴油機裝置有源隔振技術研究[D]. 哈爾濱:哈爾濱工程大學,2001.

[2]李維嘉,曹青松.船舶振動主動控制的研究進展與評述[J].中國造船. 2007,48(2): 68-79.

LI Wei-jia, CAO Qing-song. Advances and review on the research of the active control of ship vibration[J]. Shipbuilding of China. 2007,48(2): 68-79.

[3]王 軍,楊亞東,張家應,等.面向結構振動控制的壓電作動器優化配置研究[J].航空學報,2012,33(3): 494-500.

WANG Jun, YANG Ya-dong, ZHANG Jia-ying., et al. Investigation of piezoelectric actuator optimal configuration for structural vibration control[J]. Acta Aeronautica et Astronau-tica Sinica, 2012, 33(3): 494-500.

[4]肖 斌,劉學廣,劉志剛,等.柴油機隔振系統液壓作動器線性化控制試驗研究[J].中國機械工程.2007, 16 (24): 2933-2938.

XIAO Bin, LIU Xue-guang, LIU Zhi-gang, et al. Experimental investigation on linearization control for hydraulic-servo actuator of diesel vibration isolation system[J].China Mechanical Engineering, 2007,16 (24): 2933-2938.

[5]聶永紅,程軍圣.有源噪聲控制次級聲源的非線性建模[J].振動工程學報, 2011, 24(5): 562-567.

NIE Yong-hong, CHENG Jun-sheng. Nonlinearity modeling of secondary sound source in active noise control[J]. Journal of Vibration Engineering, 2011,24(5):562-567.

[6]薛福珍,柏 潔.基于先驗知識和神經網絡的非線性建模與預測控制[J].系統仿真學報, 2004, 16(5):1057-1063.

XUE Fu-zhen, BAI Jie. Nonlinear modeling and predictive control based on prior knowledge and neural networks[J]. Journal of System Simulation, 2004, 16(5):1057-1063.

[7]羅曉曙,陳關榮,汪秉宏,等. 狀態反饋和參數調整控制離散非線性系統的倍周期分岔和混沌[J].物理學報, 2003, 52(4): 790-794.

LUO Xiao-shu, CHEN Guan-rong, WANG Bing-hong, et al. Control of period-doubling bifurcation and chaos in a discrete nonlinear system by the feedback of states and parameter adjustment[J]. Acta Physica Sinica, 2003, 52(4): 790-794.

[8]曹建福,韓崇昭,方洋旺.非線性系統理論及應用[M].西安:西安交通大學出版社,2001

[9]Ding F, Chen T, Iwai Z. Adaptive digital control of Hammerstein nonlinear systems with limited output sampling, SIAM J. Control Optim, 2006, 45 (6): 2257-2276.

[10]王 峰,邢科義,徐小平.辨識Hammerstein模型方法研究[J].系統仿真學報, 2011, 23(6): 1090-1092,1136.

WANG Feng, XING Ke-yi, XU Xiao-ping. Study on method for identification of Hammerstein model[J]. Journal of System Simulation, 2011, 23(6): 1090-1092,1136.

[11]Ding F, Liu X P, Liu G J. Identification methods for Hammerstein nonlinear systems[J]. Digital Signal Processing, 2011, 21: 215-238.

[12]劉 棟,陶 濤,梅雪松.伺服系統Hammerstein非線性模型及參數辨識方法研究[J].西安交通大學學報, 2010, 44(3): 42-44.

LIU Dong, TAO Tao, MEI Xue-song. Nonlinear Hammerstein model and parameter identification for servo drive system[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2010, 44(3): 42-44.

[13]Khosrow L. A Modified Volterra-Wiener-Hammerstein model for loudspeaker precompensation[J]. Signals, Systems and Computers, 2005: 344-348.

[14]傅志方.振動模態分析與參數辨識[M].北京:機械工業出版社,1990年.

[15]Sanathanan C K, Koerner J. Transfer function synthesis as the ratio of two complex polynomials[J]. IEEE Transactions on Automatic Control.1963, 9 (1): 56-58.

[16]Pintelon R, Guillaume P, Rolain Y, et al. Parametric identification of transfer function in the frequency domain, a survey[J].Proceedings of the 32nd conference on Decision and Control,1993: 557-566.

[17]Bayard S D. High-order multivariable transfer function curve fitting: algorithms, sparse matrix methods and experimental results[J]. Automatica, 1994, 30 (9): 1439-1444.

[18]Verboven P, Cauberghe B, Guillaume P. Improved total least squares estimators for modal analysis[J]. Computers & Structures .2005, 83: 2077-2085.

[19]Kerschen G, Worden K, Vakakis A F, et al. Past, present and future of nonlinear system identification in structural dynamics[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 20: 505-592.

[20]Ruotolo R, Storer M D. A global smoothing technique for FRF data fitting[J]. Journal of Sound and Vibration. 2001, 239: 41-56.