邊界約束對梁抗爆動力響應的影響(Ⅰ)-理論研究及分析

宋春明， 王明洋， 劉 斌

(1.解放軍理工大學 爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，南京 210007; 2.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

除了材料性能和結構形式等影響因素外，邊界約束的差異同樣會直接影響到結構的抗爆動力響應及承載能力。例如鋼筋混凝土結構的支座截面水平位移受到阻礙時，則會產生側向推力，使結構內部出現“面力”，研究表明它極大地降低結構在塑性階段的變形性并提高結構的極限承載力，這種現象被稱為“面力效應”或者“薄膜效應”[1-2]。另外，柔性支承(軟土)上構件的撓度要比固定支承上相同構件的撓度值低20%甚至更多，說明不考慮邊界約束影響的計算理論已不再適用，需建立新的計算方法。另一方面分析并主動調節支承約束裝置，在提高防護結構的抗爆能力和發展有效的防護技術方面都具有重要的應用價值[3-4]。

在靜力荷載作用下，對邊界約束提高鋼筋混凝土構件的極限承載力已有較好的理論及試驗研究[5-7]，在動力荷載作用下，邊界約束對結構動力響應的研究主要集中在數值方法和試驗研究[8-9]，仍缺少直接描述邊界效應的理論計算公式。

文中建立了復雜約束條件下抗爆梁在彈性階段和塑性階段的理論解析方法，并分析了豎向彈性與阻尼約束、水平約束和抗彎約束對梁動力響應的影響，表明可以有效利用柔性邊界提高結構承載能力和降低變形性。

1 計算模型

圖1為一細長直梁，兩端具有柔性約束邊界條件，梁受承受爆炸荷載p(x,t)作用，表達式為p=p0(1-t/td)，其中td為作用時間。兩端柔性嵌固，綜合考慮了各類約束情況，包括：豎向彈性支承系數k，豎向粘性支承系數e，水平方向彈性支撐剛度c，兩端抗彎剛度系數為gk，端部有集中質量為m0。

圖1 復雜約束條件下梁的計算模型

模型邊界條件較多，需建立多個平衡方程，不利于得到結構動力響應的解析解，可將邊界約束分為二部分，一是豎向彈性與阻尼約束情況，二是水平約束與抗彎約束情況。

1.1 彈性階段

在彈性階段，梁端處的主要位移發生在豎直方向，而水平位移和截面轉動主要發生在塑性階段，彈性階段非常小，可忽略彈性階段水平位移和截面轉動對結構動力響應的影響。

僅豎向彈性和阻尼約束下，結構位移可表示為:

y(x,t)=u(t)+pF(x)T(t)

(1)

式中：F(x)為簡支梁的振型，T(t)是位移動力函數，它的最大值即為動力系數。

將式(1)代入到梁的振動方程式，有:

(2)

式中：ω為對應于振型函數F(x)的振動頻率，

彈性支座上集中質量的運動方程

(3)

式(2)、(3)組成求解方程組并無量綱化，有：

(4)

λ2=ω2ml/(2k)

在三角形爆炸荷載作用下，當滿足0

(5)

式中：Ai,Bi,Di,Ei為系數，均可由初始條件解得。

1.2 塑性階段

許多的結構靜力試驗已證明，在靜載作用下，端部水平和抗彎約束對結構受力的影響主要是在塑性階段，結構在爆炸等動荷載作用下，兩類約束對結構的影響亦是如此[10]。

進入塑性階段的時刻τ可由下式求得。

(6)

式中：T(τ)為動力函數，My,d為動力屈服彎矩，Mp為靜載p0作用下的跨中彎矩。

1.2.1 豎向彈性和阻尼約束

進入塑性階段，假定跨中出現一個塑性鉸，梁是由兩塊剛體通過塑性鉸連結而成的體系，轉角截面仍符合平截面假定。利用虛功原理，可推導出塑性階段梁的運動方程組。

(7)

式中:ms=0.5ml+m0，kM為屈服彎矩的動力系數，kM=My,d/Mp。

塑性階段開始時的初始條件為：

(8)

式中：

(9)

其中，

(10)

可求得方程式組(7)的解為:

(11)

1.2.2 水平和抗彎約束

梁形成塑性鉸后，邊界產生的推力作用會隨著結構的變形發展而不斷增加，首先假定該推力不會超過受壓混凝土破壞時的極限壓力值，即

pH,max

(12)

式中：pH,max、pHn分別為結構受到的極限推力和受壓區混凝土達到極限壓應變時的推力值。

計算時，豎直方向考慮慣性力，水平方面則忽略慣性力，只考慮水平推力，模型如圖2所示。

圖2 水平彈性約束與抗彎約束梁的計算模型

此時位移表達式:

w=φ(t)x, 0≤x≤l/2

(13)

利用虛位移原理，推得塑性階段梁的運動方程，考慮豎向慣性力及水平推力pH=2c·φ(t)z。

pHzcδφ-gkφδφ=0

簡化得：

(14)

式(14)也可簡化為

(15)

式(15)的初始條件為：當塑性階段開始時刻，忽略彈性階段兩端截面轉角，則t=τ時有：

(16)

根據式(15)，并結合初始條件(16)，可求得

(17)

(18)

2 計算結果及分析

假定一等效的鋼筋混凝土梁承受三角形爆炸荷載，沿梁均勻分布，截面尺寸為b×h=0.2 m×0.5 m，跨度l=5 m；理想彈塑性材料，等效彈性模量E=3×104MPa，密度2 500 kg/m3，屈服強度fy=17.2 MPa。

定義相對線剛度系數和相對抗彎剛度系數

(19)

式中：W為梁截面抗彎模量。

雖然彈性階段由于結構撓曲變形引起的水平推力和端截面轉動有限，但彈性階段的動力計算必不可少，目的是由連續性條件求得塑性階段初始條件。

假定Qc是梁的靜力屈服荷載，當爆炸荷載峰值p0>0.8Qc時，梁會進入塑性階段，計算時取p0=80 kN，td=0.05 s，并定義塑性位移動力函數為:

(20)

式中：yst為靜載p0作用下梁的最大彈性撓度。彈性階段內，則有kf=T(t)。

圖3是爆炸荷載作用下不同豎向彈性約束剛度λ=2、5、6、10時梁的中點位移時程曲線，該位移是指由梁彎曲變形引起的撓度，不包含支座引起的剛性位移。其中λ=2和λ=5時，結構未能進入塑性階段，最大位移函數值分別為0.2和0.3，且豎向剛度越小時，其位移越小。λ=6和λ=10時，結構均進入塑性階段，與彈性階段相比，位移較大，位移系數分別為3.1和3.6，且相對剛度越小，其值越小。引起結構動力系數減小的原因主要有：一是支座豎向位移引起結構附加慣性力，消耗一部分能量；二是豎向彈性約束本身變形存儲部分能量。豎向彈性約束可主動調節結構減小強動載下結構的動力響應，相對提高結構的抗力。提高的效果與彈性支承的剛度、載荷作用時間的長短以及振動衰減的程度相關[3]。

圖3 豎向彈性約束對位移的影響

分別計算水平剛度系數ξ=0(簡支)、0.1、0.2、0.5時梁的動力位移，如圖4所示，為不同水平約束剛度梁的豎向跨中位移時程曲線。可以看出，在塑性階段，水平約束剛度對結構位移的影響顯著。當水平支撐剛度ξ=0時，即簡支梁情況，塑性位移動力函數的峰值是1.55，當支承剛度分別增大到ξ=0.1、0.2和0.5時，峰值相應減小到1.29、1.1、0.9，說明隨著支撐剛度增大，結構的位移動力函數會相應減小。簡支情況，即兩端點可水平自由運動時，位移最大。以上表明：水平支撐約束的存在，降低了梁位移的變形和動力系數，結構抗力可相對程度地得到提高。還可看出，水平支承剛度越小，動力函數到達峰值的時間就越遲，說明彈性支承剛度的減小會增大結構的振動周期。

圖4 水平約束剛度對塑性位移函數的影響

對于梁承受均布平臺荷載p0情況，結構的動力響應可用三角形荷載作用的解令td→∞變換得到,圖5為平臺荷載和三角形荷載計算結果的對比圖。

兩類荷載的峰值相等，平臺荷載可認為作用時間非常長，td→∞。從圖6中可看出，相同水平約束剛度條件下，平臺荷載下結構的塑性位移動力函數均高于相同邊界條件的三角形荷載下結構的位移動力函數，表明荷載的作用時間越長，對結構承載越不利。

圖5 兩類動荷載下水平約束剛度的影響比較

圖6為水平剛度系數ξ=0.2保持不變，不同屈服彎矩強化系數δM對梁塑性位移系數的影響曲線。δM是由于結構受瞬時動力荷載作用，快速加載對材料強度起增強作用，導致屈服彎矩與靜載下屈服彎矩之比大于1。當δM=1.0時，即不考慮動力強化作用，從圖6中可以看出，梁的動力函數值最大；當考慮加載速率對材料強度的影響時，δM>1，且隨著δM的增大，結構的位移動力系數相應減小，說明考慮材料的動力增強作用可有效提高結構的抗爆潛力。

圖6 屈服彎矩動力強化系數的影響

圖7為不同抗彎約束剛度梁的跨中豎向位移時程曲線。在塑性階段，抗彎約束直接限制剛體轉動，對結構位移的影響顯著。當抗彎剛度系數η=0時，即兩端簡支情況，塑性位移動力函數的峰值是1.55，當抗彎剛度系數分別增大到η=0.1、0.2和0.5時，峰值相應減小到1.0、0.81、0.58，分別減小35%、48%、63%，表明抗彎剛度的增加，中點的位移動力系數會相應減小。通過調整抗彎約束剛度，也可相對提高梁的抗爆能力。

圖7 抗彎約束剛度對位移函數的影響

3 結 論

(1) 文中建立了復雜約束條件下抗爆梁在彈性階段和塑性階段的理論解析方法，可對復雜約束條件下的梁式結構進行彈塑性動力響應分析。

(2) 豎向彈性約束可調節結構，引起附加慣性力,消耗更多爆炸能量，減小強動載下結構的動力響應，相對提高結構的抗力。

(3) 在塑性階段，水平彈性約束和抗彎約束影響梁結構的動態響應顯著。水平支撐約束的存在，使梁截面在變形過程中產生橫向壓力，降低位移動力系數；抗彎剛度的增加，同樣會減小的結構位移動力系數，結構抗力可相對地得到提高，可通過調整水平約束或者抗彎剛度來提高梁式結構的抗爆承載潛力。

(4) 平臺荷載作用下結構的塑性位移動力函數均高于同等條件下的三角形荷載下的位移動力函數，說明平臺荷載對結構承載更不利。

(5) 當考慮加載速率對材料強度的影響時，即δM>1，隨著δM的增加，結構的位移動力系數相應減小，可有效提高結構的抗爆潛力。

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