約束阻尼板結構振動聲輻射優化

鄭 玲, 祝喬飛

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

盡管主動振動噪聲控制能有效抑制結構的低頻噪聲，但低噪聲設計以其優異的性能和可靠性而備受關注。Kikuchi[1]首先將拓撲優化方法應用于結構低噪聲設計，通過材料布局優化，實現了結構低噪聲設計。Luo等[2]采用拓撲優化方法，通過對封閉結構的優化，大大降低了封閉結構內部的聲輻射。Baz等[3]采用有限元法，建立了板-聲腔耦合動力學模型，以聲腔模態頻率峰值聲壓最小化為目標函數，對板的材料布局進行了拓撲優化設計，實驗驗證了理論分析結果的正確性。對結構表面進行阻尼處理，能有效降低結構的振動與聲輻射，廣泛應用于航空、航天、汽車及船舶等領域。阻尼結構可分為自由阻尼和約束層阻尼，相比自由阻尼，約束層阻尼消耗的能量更多，減振作用更大。

如何根據結構的動力學特性要求，確定阻尼材料的最優布局，是阻尼結構設計的一個關鍵問題。郭中澤等[4]采用漸進結構拓撲優化方法，以結構模態損耗因子最大化為目標，研究了阻尼結構設計中阻尼材料的最優分布問題。楊德慶等[5]采用均勻化拓撲優化方法，以薄板模態頻率最大化為目標，研究了薄板的最優材料布局問題。李以農等[6]采用漸進結構拓撲優化算法，以結構模態阻尼比最大化為目標函數，研究了約束層阻尼梁的阻尼材料最優分布問題。鄭玲等[7]建立了約束阻尼板的有限元模型，推導了模態阻尼比對單元胞位置的靈敏度，提出了一種基于進化方式的約束阻尼優化布局方法。李超等[8]研究了圓柱殼體上阻尼材料的最優分布問題。王明旭等[9]將變密度法引入阻尼材料的布局設計，推導了靈敏度表達式，提出了模態振型的跟蹤方法。呂毅寧等[10]給出了附加自由阻尼復雜結構的有限元建模方法，以結構的動態柔度最小化為目標函數，計算了薄板和車身地板附加自由阻尼的拓撲優化布局。以上文獻均以結構振動損耗因子、固有頻率或動柔度為目標函數，采用拓撲優化方法，研究了阻尼材料的最優布局。

在某些特殊環境下，結構振動導致的聲輻射更為人們所關注，如潛艇的結構靜音設計、飛機或汽車艙內噪聲的控制等。目前，以聲壓或聲功率等聲學性能為目標函數，采用拓撲優化方法，對結構進行優化已有大量研究。Sigmund等[11]將拓撲優化方法應用于室內聲學設計和噪聲屏蔽墻設計，對比了優化前后的材料布局與聲壓均方值變化。Sun等[12]建立了蜂窩夾層梁的有限元模型，以特定頻率輻射聲功率最小化為目標函數，對蜂窩的形狀及尺寸進行了優化。但是，采用拓撲優化方法，以輻射聲功率最小化為目標，對約束阻尼材料布局進行優化的研究尚不多見。

本文首先建立四邊簡支約束層阻尼板有限元模型，用Rayleigh積分推導結構輻射聲功率，并進行靈敏度分析，以聲功率最小化為目標函數，采用漸進優化算法，對約束阻尼材料布局進行優化。

1 約束層阻尼板振動和聲輻射計算

1.1 約束層阻尼板有限元模型

圖1 約束層阻尼板單元

約束阻尼單元模型如圖1所示。每個單元均由基板層、粘彈性(VEM)層和約束層組成，下標分別用p、v、c表示。每個節點有7個自由度，分別為約束層中性面內x方向的位移uci、約束層中性面內y方向的位移vci、基板層中性面內x方向的位移upi、基板層中性面內y方向的位移vpi、單元中性面的橫向位移wi以及繞x軸方向的轉角θxi和y軸方向的轉角θyi。

節點位移向量為：

Δi={ucivciupivpiwiθxiθyi}T

(i=1,2,3,4)

(1)

單元位移向量為：

(2)

根據單元位移模式，可得約束層阻尼單元的形函數[13]：

N={[Nuc];[Nvc];[Nup];

[Nvp];[Nw];[Nwx];[Nwy]}

(3)

其中，Nuc、Nvc、Nup、Nvp、Nw、Nwx、Nwy分別為對應單元節點自由度uc、vc、up、vp、w、θx、θy的形函數。

約束阻尼單元各層的動能和應變勢能如下[14]：

(4)

(5)

(Nvc)TNvc+(Nw)TNw]dxdyΔ(e)=

(6)

(7)

(Nvv)TNvv+(Nw)TNw]dxdyΔ(e)=

(8)

(9)

(10)

其中，T和P分別表示結構單元的動能和應變勢能。運用Hamilton原理，可導出約束層阻尼單元的質量矩陣和剛度矩陣：

m=mp+mc+mv

(11)

k=kp+kc+kv+kβv

(12)

其中，mp、mc、mv分別為基板、約束層以及粘彈性層的質量矩陣，kp、kc、kv、kβv分別為基板、約束層、粘彈性層位移及橫向剪切變形的剛度矩陣。將單元質量矩陣和剛度矩陣進行組集，獲得約束層阻尼板結構的總體質量矩陣和剛度矩陣：

(13)

(14)

因此，約束層阻尼板的有限元動力學模型為：

(15)

這里，粘彈性層的剪切模量為G=Gv(1+ηi)，η為損耗因子，[K]為復剛度矩陣。

1.2 約束層阻尼板的振動模型

假設約束層阻尼板的外激勵為簡諧激勵f(t)=Fejωt，位移響應滿足x(t)=Xejωt。將以上兩式代入(15)式，消去ejωt，得：

(-ω2[M]+[K]){X}={F}

(16)

因此，約束層阻尼板節點位移響應為：

{X}=[H(ω)]{F}

(17)

節點速度響應為：

{V}=iω{X}=iω[H(ω)]{F}

(18)

其中：H(ω)=(-ω2[M]+[K])-1為位移傳遞函數。

1.3 約束層阻尼板聲輻射計算

將約束層阻尼板鑲嵌于無限大剛性障板上，運用簡化后的Helmholtz公式，即Rayleigh積分計算其聲輻射。振動輻射聲功率可由表面聲壓p(P)和表面法向速度vn(P)表示：

(19)

(20)

將(20)式代入(19)式：

(21)

考慮到格林函數的對稱性，式(21)可表示為：

(22)

將式(22)寫成矩陣形式，其中{V}為各單元上法向速度構成的向量。

W(ω)={V}T[R]{V}

(23)

在結構均勻離散情況下，矩陣R的形式為[15]：

(24)

在一個頻帶內的平均聲功率表示為：

(25)

離散后得：

(26)

其中，Wave表示頻帶內的平均輻射聲功率，N表示頻帶內激勵力頻率的總數，ωi表示第i個激勵力頻率。

2 優化模型

以簡諧激勵作用下約束阻尼板輻射的聲功率最小化為目標函數，約束阻尼材料體積分數為約束條件，建立拓撲優化模型：

(27)

其中，X={β1β2…βn}T為設計變量，表示約束阻尼單元的存在狀態。當βi=1時，表明第i個單元位置有約束阻尼單元，當βi=0時，表明第i個單元位置無約束阻尼單元，n為約束阻尼單元總數，W為約束阻尼板輻射聲功率，V為約束阻尼材料體積，V*是體積約束。

3 靈敏度分析

約束阻尼板的速度響應為：

V=iωX

(28)

速度對設計變量β的偏導數為：

(29)

將式(15)兩端對設計變量h求偏導數：

(30)

將上式整理并代入式(29)，可得速度對設計變量的靈敏度[16]：

(31)

結合式(23)，可求出約束阻尼板輻射聲功率對設計變量的靈敏度：

(32)

這里的設計變量β是約束阻尼單元的存在狀態，根據式(31)，結合設計變量的定義，速度對設計變量的靈敏度可用約束阻尼單元刪除前后的速度變化量來表示。同樣，根據式(32)，聲功率對設計變量的靈敏度也可以用約束單元刪除前后的聲功率變化值來表示。因此，速度對設計變量的靈敏度改寫為：

ΔV=-iω(K-ω2M)-1(ΔK-ω2ΔM)X

(33)

聲功率對設計變量的靈敏度改寫為：

ΔW=ΔVHRV+VHRΔV

(34)

4 獨立網格濾波

在連續結構拓撲優化過程中，常出現棋盤格式和網格依賴性等數值不穩定現象。采用獨立網格濾波技術，以有效抑制棋盤格式和網格依賴性。獨立網格濾波技術屬于靈敏度過濾法，是一種局部意義上的約束方法，它以過濾半徑范圍內單元的靈敏度的加權平均值代替原來的靈敏度值。獨立網格濾波方程為:

(35)

采用獨立網格濾波技術，最重要的是選擇合適的濾波半徑，對阻尼單元的靈敏度信息進行濾波操作，它不僅能抑制棋盤格式，而且能消除網格依賴性。

5 優化流程

本文采用漸進優化算法，求解優化模型。漸進優化算法的基本思想是通過逐步刪除設計域中的無效或低效單元，搜尋最佳的材料布局，使目標函數最小化或最大化?；诩s束阻尼板輻射聲功率的拓撲優化模型，可設計使約束層阻尼板輻射聲功率最小化的拓撲優化計算流程，見圖2所示。

圖2 約束阻尼板聲功率優化設計流程圖

優化步驟如下：

① 建立約束阻尼板的有限元模型和邊界元模型；

② 給定約束阻尼材料的體積約束量以及初始刪除量RR0和其進化量ER；

③ 對激勵力作用下的結構進行聲輻射分析，獲得輻射聲功率；

④ 按式(34)計算各阻尼單元的聲功率靈敏度；

⑤ 設定適當的濾波半徑，采用獨立網格濾波技術對各單元的聲功率靈敏度進行濾波；

⑥ 對濾波后的單元聲功率靈敏度進行排序；

⑦ 刪除RR0個單元的聲功率靈敏度值最小的單元；

⑧ 判定是否達到約束條件。如果不滿足約束條件，更新RR0=RR0+ER，并重復步驟③-⑧；如果滿足約束條件，則結束迭代，輸出結果。

6 算例分析

將四邊簡支的約束阻尼板鑲嵌于無限大剛性障板上，計算約束層阻尼板的振動聲輻射。約束層阻尼板的參數如下：

約束阻尼板長L=0.4 m，寬B=0.3 m?；鶎樱篍p=7.0e10 Pa，ρp=2 800 kg/m3，μp=0.3，hp=0.000 8 m；粘彈性層：Ev=1.2e7 Pa，ρv=1 200 kg/m3，μv=0.495，hv=0.000 05 m，η=0.5；約束層：Ec=7.0e10 Pa，ρc=2 700 kg/m3，μc=0.3，hc=0.000 13 m。有限元網格單元數16×12，邊界元網格單元數16×12，在(0.20,0.15,0)處即中心點受到正弦激勵力：F=sinωt=sin(2πft)。空氣密度ρ0=1.225 kg/m3，空氣中聲速c0=343 m/s。

6.1 一階峰值聲功率的拓撲優化

隨著阻尼材料的刪除，約束層阻尼板結構的聲功率曲線會發生頻移，因此，針對約束層阻尼板一階峰值聲功率的拓撲優化，必須在每次刪除單元后，計算輻射聲功率時，重新計算固有頻率，進行頻率跟蹤。

優化過程中，每次刪除4個單元，濾波半徑取為4.5，將192個單元全部刪除須進行48次迭代。圖3是輻射聲功率隨刪除率變化的迭代過程圖。

圖3 聲功率隨阻尼材料刪除率的變化圖

由圖3可知，在阻尼材料刪除過程中，約束阻尼板的輻射聲功率有一定程度波動，因為在刪除過程中被刪除的單元靈敏度可能為正也可能為負，從而導致刪除后約束阻尼結構的輻射聲功率有波動。其中，約束層阻尼板的聲功率有幾個低點，當刪除率為12.5%和35.4%時，輻射聲功率均為112.1 dB，刪除率為62.5%時，輻射聲功率為112.2 dB，刪除率為81.2%時，輻射聲功率為113.3 dB。選取刪除率為35.4%、62.5%和81.2%，分析一階峰值聲功率，并計算最優的拓撲構型圖。

約束阻尼最優拓撲構型如圖4～圖6，黑色表示約束阻尼材料，白色為無約束阻尼材料，從動力學特性的角度來分析，粘貼約束阻尼材料的區域均是一階模態應變能較大的區域，表明這些單元均是有效單元。基板、全覆蓋板及不同阻尼材料用量下的輻射聲功率對比見圖7～圖8所示，可以看出，隨著約束阻尼材料用量的增加，聲功率曲線向后發生頻移，此外，在第一階峰值處，35.4%、62.5%和81.2%刪除率時，其輻射聲功率均比基板和全覆蓋板有所下降，由于拓撲優化保留了有效阻尼單元，刪除了無效阻尼單元，在阻尼材料用量減小的情況下，獲得了比全覆蓋更低的輻射聲功率。

圖4 35.4%刪除率下阻尼材料的最優拓撲圖

圖7 一階峰值優化的輻射聲功率對比圖

圖10 頻帶優化的輻射聲功率對比圖

圖11 頻段內輻射聲功率對比圖

6.2 頻帶輻射聲功率的拓撲優化

選取頻率區間10 Hz-60 Hz，這是基板第一階峰值所在的頻率范圍。阻尼材料刪除率取為50%，步長為1 Hz，每次刪除4個單元，濾波半徑取為4.5。圖9是約束阻尼材料最優拓撲構型，圖10是基板、全覆蓋以及最優拓撲構型下的聲功率對比圖。

圖11表明，優化后的約束阻尼板，其輻射平均聲功率比基板和全覆蓋板更低；在目標頻率區間，優化結構的平均聲功率為99.7 dB，基板為111.4 dB，全覆蓋為102.1 dB，優化后的約束阻尼板，其平均聲功率分別下降11.7 dB和2.4 dB。

7 結 論

本文建立了約束層阻尼板的有限元模型，用Rayleigh積分推導了約束層阻尼板的輻射聲功率及其靈敏度表達式，以輻射聲功率最小化為目標，采用漸進優化算法對約束阻尼材料布局進行了拓撲優化。研究結果表明：本文提出的理論模型和拓撲優化算法是正確和有效的，無論是針對一階峰值或是某一頻帶，它均能以較少的約束阻尼材料，實現結構振動聲輻射最小化的目標。約束層阻尼板振動聲輻射的優化為結構低噪聲設計提供了重要的理論參考和技術手段。

參 考 文 獻

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