飽和橫觀各向同性分數導數黏彈性土中半封閉襯砌振動響應

陳學麗, 聞敏杰， 高華喜

(1. 嘉興職業技術學院 生物與環境分院，浙江 嘉興 314036；2. 浙江海洋學院 船舶與建筑工程學院，浙江 舟山 316004)

以往對于飽和土中隧道動力響應研究主要存在以下兩方面不足：一方面，將飽和土體視為各向均勻同性體。但土體在長期沉積和固結過程中存在各向異性，故橫觀各向同性地基模型較符合實際工程；另一方面，將土體等價為飽和多孔彈性介質或利用經典黏彈性模型來描述土骨架的黏性。孫海忠和張衛[1]已證明該模型在描述黏彈性行為時不能與實驗數據很好吻合，而分數導數本構模型更精確地反映土體蠕變的全過程。分數導數模型自Gernent[2]提出來后，Bagley等[3-4]進行了完善，之后不少學者將其用于研究黏彈性材料[5-7]，最近在地基、樁基等工程中得到應用[8,9]。然而，在描述橫觀各向同性土體的動力學行為方面，筆者未見報道。

近年來，Lu等[10-12]將土體視為飽和均勻彈性介質，分別研究了簡諧荷載、沖擊荷載和單級荷載作用下圓形隧道的穩態或瞬態響應；將土體視為均勻黏彈性介質，Xie等[13-15]根據Voigt[16]提出并被其它學者[17-19]所用的經典黏彈性模型描述土骨架的黏性，研究了飽和黏彈性土—隧道殼體襯砌耦合振動特性；將土體視為飽和橫觀各向彈性體，劉干斌等[20]對圓形隧道開挖引起的應力和位移進行了分析，而忽略了土體慣性和襯砌厚度的影響。將土體視為單相橫觀各向黏彈性體，阿查亞等[21]討論了高階黏彈性、黏彈性參數的非均質性對徑向位移和應力的影響。

在現有研究基礎上，本文首先假設橫觀各向同性面和垂直于該面的土體黏性相同，將土骨架視為具有分數導數本構關系的橫觀各向同性粘彈性體，采用飽和多孔介質理論，得到了簡諧荷載作用下飽和橫觀各向同性黏彈性土的位移、應力和孔隙水壓力解析表達式；再次，將襯砌視為均勻彈性體，求得了彈性襯砌的應力和位移表達式；然后，利用襯砌內邊界應力協調以及土體和襯砌界面處應力和位移連續，得到了相關待定系數的具體表達式。最后，考察了飽和經典彈性土、飽和分數導數性黏彈性土和飽和經典黏彈性土三種條件下飽和黏彈性土和襯砌各物性和幾何參數對系統動力響應的影響。

1 數學模型

圖1 橫觀各向同性土—隧洞襯砌動力相互作用

如圖1所示，無限飽和橫觀各向同性黏彈性土中一深埋圓形襯砌隧道。襯砌內外半徑分別為R1和R2，其厚度為d=R2-R1；橫觀各向同性面內的彈性模量和泊松比分別表示為E1和μ1；垂直于橫觀各向同性面內的彈性模量和泊松比分別為E2和μ2；若土顆粒和孔隙流體的體積分數分別為nS和nF，記土顆粒和孔隙流體的真實密度為ρSR和ρFR，則表觀密度為ρS=nSρSR和ρF=nFρFR；襯砌密度和泊松比分別為ρL和vL，而其彈性模量為EL。現襯砌內邊界作用徑向均布簡諧荷載q0eiωt(i2=-1)，ω為角頻率。另外，假設襯砌中水頭為P1=0；土體中水頭為P2=p。設襯砌和土體完全接觸且襯砌不產生變形，又忽略襯砌中孔隙水的影響。根據Li[22]結合實際工程模型，建立的隧道部分透水邊界條件，可令襯砌和土體界面處無積水，即襯砌中流體速度與土體中流體速度在界面處相等。

2 土體控制方程

忽略土骨架和孔隙流體的壓縮性，根據飽和多孔介質理論[23-24]，得到土體的固相動量方程、孔隙流體動量方程及體積分數守恒引起的質量平衡方程分別為[25,26]

(1)

σS=-nSpI+σSE

σF=-nFpI

pF=-pS=pgradnF+pFE

}

(2)

式中，p和σSE為孔隙水壓力和有效應力張量；pFE表示有效孔壓。根據體積分數概念和不可壓縮條件，體積分數滿足如下平衡方程

nS+nF=1

(3)

因此，總應力張量可表示為

σT=σF+σS=-pI+σSE

(4)

有效孔隙水壓力pEF滿足下列式

(5)

式中，Sv=(nF)2γFR/kF為表征流固兩相的相互作用系數，而γFR=ρFRg為流相重度，kF為Darcy滲流系數。

假設橫觀各向同性面內土骨架的黏性和垂直于橫觀各向同性面內土骨架黏性相同，利用分數導數黏彈性模型描述土骨架的應力—位移本構關系[9]:

(6)

(7)

對于穩態振動，記

(8)

(9)

(10)

利用式(8)-(10)，可易解得徑向位移為:

(11)

式中，

(12)

其中，C1,C2為待定系數，K1(·)為1階第二變形Bessel函數。

又利用式(10)和式(11)，解得:

(13)

于是，由式(9)、式(11)和式(13)，解得孔隙水壓力為:

(14)

由式(14)可見，lnr是發散函數。為滿足r→∞,p→0，引入大數K，使p=0(K=0)

(15)

由此可得，

(16)

楊驍和聞敏杰[27]已證明當大數K=60時該發散函數對響應幅值無任何影響。

式中，

(17)

利用本構關系式(6)，可得土骨架有效應力為:

(18)

再由式(18)和有效應力原理式(4)，可得土體總應力為:

(19)

3 襯砌控制方程

(20)

式中，

(21)

由式(20)易解得

(22)

式中，C5,C6為待定系數。

于是，襯砌徑向應力為:

(23)

式中，

(24)

4 連續性邊界條件

假設襯砌和土體完全緊密接觸，無相對滑移，則在界面處(r=R2)滿足

(25)

襯砌內邊界(r=R1)作用均布軸對稱簡諧荷載，則滿足:

(26)

根據Li[22]采用Darcy滲透定律，解決的實際隧道工程中邊界滲透性問題，則襯砌中的流體流量為:

(27)

式中，kL為襯砌的Darcy滲透系數。

而土體中流體流量為:

(28)

顯然，上述兩者流體流量在襯砌和土體界面處(r=R2)相等，則:

(29)

式中，κ=kL/kFR2(lnR2-lnR1)為襯砌和土體相對滲透系數，由襯砌的幾何尺寸決定。當kL?kF時，κ→0，邊界不滲透，襯砌處于封閉狀態；當kL?kF時，κ→∞，邊界為自由滲透，襯砌為不封閉狀態。

至此，利用邊界條件式(25)-(29)，即得到待定系數C1,C2,C5,C6的具體表達式，從而得到飽和橫觀各向同性分數導數黏彈性土中深埋圓形半封閉襯砌隧道穩態動力響應解析解。

5 計算結果分析

考察土體和襯砌各參數對徑向位移幅值的影響。圖2～圖4分別表示橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)條件下彈性模量E1對襯砌和土體界面處(r=3.25)徑向位移幅值的影響。圖2～圖4綜合可見，系統產生明顯的共振效應且隨著彈性模量E1的增加，共振效應逐漸減弱，徑向位移幅值的峰值減小，而基頻卻逐漸增大。這是由于橫觀各向同性面的彈性模量E1增大，土體的阻抗越大所引起的。另外，從該三圖我們發現，橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)時位移幅值的峰值小于橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時位移幅值的峰值，卻大于橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)時位移幅值的峰值。而橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)時系統產生共振的基頻大于橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時的基頻，卻小于橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)時的基頻。這充分說明將土體視為彈性土(α=0)時高估了彈性模量E1對位移幅值的影響，將土體視為經典黏彈性土(α=1)時卻低估了彈性模量E1對位移幅值的影響。而且，可以通過改變階數取值來改變彈性模型E1對位移幅值的影響。圖5～圖7分別表示在r=4處橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)條件下襯砌厚度d對徑向位移幅值的影響。圖5～圖7可見，襯砌厚度對位移幅值的影響與土骨架的黏性有明顯關系。隨著分數導數階數的增加，襯砌厚度變化對位移幅值的峰值影響逐漸減小，這是由于階數增加時，土體的阻抗逐漸增大所造成的。另外，隨著襯砌厚度的增加，共振效應減小，而相應的基頻逐漸增大，是因為襯砌厚度增加時，襯砌的剛度增大所引起的。圖8表示在r=4處襯砌和土體的相對滲透系數對徑向位移幅值的影響。可見，滲透系數更好地反映了隧道邊界的滲透特性。滲透系數越小，界面處越接近不透水狀態，則在穩態振動時，共振效應越明顯。而當滲透系數分別為κ=100和κ=1 000時，位移幅值幾乎無任何變化，此時說明邊界已經達到自由滲透狀態。圖9～圖11分別表示橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)條件下彈性模量E1對襯砌和土體界面處(r=3.25)的孔隙水壓力幅值影響。由圖9～圖11比較看出，橫觀各向同性面的彈性模量E1對孔隙水壓力幅值的影響與土骨架黏性也有密切關系，當橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時，隨著彈性模量E1的增加，孔壓幅值的峰值呈增大趨勢，橫觀各向同性飽和分數導數黏彈性土(α=0.5)時，當彈性模量E1增加時，孔壓幅值峰值明顯減小，而橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)時，當彈性模量E1增加時，孔壓幅值峰值呈減小趨勢，但影響不大。這也充分說明彈性模量E1對孔壓幅值的影響與分數導數階數有明顯關系。圖12～圖14分別為在r=4處橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)條件下襯砌厚度d對孔壓幅值的影響。圖12～圖14比較分析得襯砌厚度在橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時對孔壓幅值的峰值影響明顯，而在橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)和橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)條件下對孔壓幅值峰值影響較小。圖15為相對滲透系數對孔壓幅值的影響。可見，滲透系數對孔壓幅值的影響與對位移幅值的影響有類似之處，隨著滲透系數的增加，共振效應越不明顯。

圖2 橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時彈性模量E1對徑向位移幅值影響

圖6 橫觀各向同性飽和分數導數黏彈性土(α=0.5)時襯砌厚度d對徑向位移幅值影響

圖10 橫觀各向同性飽和分數導數黏彈性土(α=0.5)時彈性模量E1對孔壓幅值影響

圖14 橫觀各向同性飽和經典黏彈彈性土(α=1)時襯砌厚度d對孔壓幅值影響

圖15 相對滲透系數κ對孔壓幅值影響

6 討 論

土體是典型的黏彈性材料，其黏性在高溫或加載時間影響下表現極為突出。與以往的經典Maxwall、Kelvin和廣義Maxwall等黏彈性模型[29-30]相比，分數導數本構關系可更好地反映土體在整個加載和卸載過程中的變形特性。但由于利用分數導數本構關系建立的動力方程為具有奇異性的積分—偏微分方程，它們的定性分析和數值計算較困難[31]。目前，國內外還處于起步階段，特別是在參數取值方面，雖然何利軍等[32]通過固結試驗給出了不同圍壓下分數導數模型相關參數取值，但只推導了軟黏土的蠕變模型，未考慮土體的動力學行為，故在模型參數確定上仍需做大量工作。

7 結 論

本文將土骨架視為橫觀各向同性黏彈性體，利用分數導數模型描述飽和橫觀各向同性黏彈性土的力學行為，研究了飽和橫觀各向同性分數導數黏彈性土體中深埋圓形隧道半封閉襯砌穩態振動響應，得到如下結論：

(1) 穩態振動時，橫觀各向同性面的彈性模量E1對系統動力響應的影響與土體的黏性有密切關系。當橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)時，彈性模量E1對系統共振的基頻最大，而對橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)、橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)時基頻影響相對較小。

(2) 襯砌厚度對系統動力響應影響也與土體的黏性有關。在橫觀各向同性飽和彈性土(α=0)時，隨著襯砌厚度增加系統動力響應明顯減小，而橫觀各向同性飽和經典黏彈性土(α=1)和橫觀各向同性飽和分數導數型黏彈性土(α=0.5)時襯砌對系統動力響應影響較小。

(3) 滲透系數更好地描述界面的滲透特性，邊界不透水時系統產生明顯的共振現象，而隨著滲透系數的增加，共振效應減弱。

參 考 文 獻

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