懸臂式SGCMG的高速轉子的徑向振動特性研究

羅睿智， 虎 剛， 王全武

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190；3.中國長城工業總公司，北京 100195)

小型懸臂式SGCMG(主要由高速轉子、連接支架和低速伺服系統構成)具有結構緊湊，輸出力矩大，效率高等眾多優點，而且在理論上還能輸出大范圍精細的控制力矩，因此它是敏捷衛星等航天器實現快速姿態機動的理想執行機構，但是在SGCMG運行的過程中伴隨輸出的微幅高頻振動難以抑制，振動惡化了星上環境，降低了精密儀器(如高分辨率相機)的性能[1-4]。迄今為止，對這種單端固定支撐的高速轉子的振動特性認識尚不充分。其實，在結構上與之類似的動量輪也面臨著同樣的問題亟待解決。

高速轉子的外形如圖1的左圖所示，右圖為其內部結構簡圖。其主要由輪體、軸承組件、電機和殼體等構成；在轉子轉動的過程中，輪體、電機轉子和軸承安裝殼及軸承外圈等零部件構成一個整體并高速旋轉——旋轉體，支撐在懸臂主式軸上。可見，高速轉子中的旋轉體的結構本質是懸臂式非對稱支撐，從而使得主軸在A、B點對旋轉體的支撐剛度不等。

圖1 高速轉子系統的結構示意圖

高速轉子是懸臂式SGCMG中儲存角動量的核心部件，同時也是影響衛星姿態穩定性和指向精度的最大干擾源之一[1-5]，因此有必要摸清其振動特性。文獻[3-6]都是將高速轉子簡化為等剛度對稱支撐的Jeffcott轉子，因而他們所建立的動力學模型中的徑向位移振動和轉角振動解耦。這與懸臂式SGCMG中高速轉子的結構本質不符，因此不能直接借用他們所建立的模型。文獻[5-6]都忽略了預緊軸承所激發的振動，并且未對測試瀑布圖中非工頻成分進行解釋。

針對高速轉子徑向振動特性的認識尚不準確不全面的問題，本文首先分析了懸臂式SGCMG中的高速轉子在高速旋轉過程中的激振源——動靜不平衡量所產生的離心力和力偶、處于預緊狀態的軸承的各活動部件工作面的幾何誤差所導致的預緊力的波動；然后在結構的基礎上建立了高速轉子的徑向動力學模型；最后利用結構參數對模型進行仿真，并與試驗結果進行對比，從而驗證了模型的有效性。

1 建立坐標系

本體坐標系Fb：oxyz。其原點o位于旋轉體的質心處，以旋轉體的離心力方向為x軸正方向，以旋轉體的最大慣量軸為y軸，且方向向右，z軸由右手法則確定。

參考坐標系Fr：OXYZ。其原點O位于旋轉體的質心處，以主軸根部平面的法線向右為Y軸，以垂直于Y且向上為Z軸正向，X軸由右手法則確定。

兩坐標系如圖1所示。因Fb的三坐標軸為旋轉體的慣量主軸，故其慣量積矩陣為J=diag(Id,Ip,Id)。

2 旋轉體受力分析

高速轉子系統的復雜結構決定了引起它振動的因素也比較復雜，主要包括：在高速轉子運行的過程中，旋轉體的靜動不平衡量所產生的離心力和力偶和預緊軸承幾何誤差所產生的預緊力波動，還有軸承的摩擦、殼體的耦合振動、電機的紋波力矩和轉子熱變形等。因此高速轉子系統的振動是一個復雜的動態過程。但是結合SGCMG的特點并經過初步的對比分析，結果表明前兩項是主要的振源。

2.1 預緊軸承的零件的幾何誤差激勵

預緊軸承中的眾多活動部件的工作面不可避免地存在幾何誤差，如檢測的某一批軸承溝道的外形示意圖如圖2所示情形。顯然，軸承溝道存在明顯低次諧波及其組合趨勢。在內外圈相對旋轉時軸承零件滾動表面的幾何誤差隨之旋轉，成為以2π為周期的周期函數。因此可以將這些幾何誤差展開成Fourier級數。根據軸承理論和Hertz接觸理論可得到預緊力波動量，該波動量最終傳遞到高速轉子上，激發高速轉子的振動。

圖2 軸承溝道的幾何誤差示意圖

按逆時針方向(與軸承外圈旋轉方向相同)依次對軸承中的滾動體進行編號：k，其中k∈{1,2,…,z}，z為單個軸承中的滾動體數。則對于非理想軸承，在任意t時刻，位于第k個滾動體處，外圈溝道在接觸點沿接觸角方向的幾何誤差記為δerk；內圈溝道在接觸點沿接觸角方向的幾何誤差記為δirk。第k個滾動體在接觸點處沿接觸角方向的幾何誤差記為δeibk，其中，與外圈接觸點的幾何誤差記為δebk；與內圈接觸點的幾何誤差記為δibk。它們都是展開成Fourier級數形式。

軸承的徑向(X和Z方向)預緊力波動量為：

(1)

(2)

其中，Dw為滾動體直徑(mm)；α為接觸角(°)；δα為彈性趨近量(在非理想軸承中，其中包含滾動面的幾何誤差)；Kωa和Kωr分別為軸向和徑向預緊力波動量的修正系數；ψk(t)為在任意t時刻第k個滾動體球心的相位。ωn為單個滾動體的固有頻率。通過(1,2)即可計算出處于預緊狀態的軸承在運行過程中，軸承滾動面的幾何誤差所導致的預緊力的波動量。

將A、B兩軸承的參數代入到(1,2)式中即可得到兩軸承各自滾動面的幾何誤差產生的預緊力的波動量，它們分別為ΔQArx,ΔQArz,ΔQBrx,ΔQBrz。從而可以進一步得到軸承組件的預緊力的波動量的徑向力和力矩。則對于該線性系統來說，A、B軸承的幾何誤差所產生的徑向激振力可表示為：

fec(t)=i(ΔQArx+ΔQBrx)+k(ΔQArz+ΔQBrz)

(3)

同理，激勵力矩可以表示為：

gec(t)=i(aΔQArx+bΔQBrx)+k(aΔQArz+bΔQBrz)

(4)

由此得到了軸承組件中的軸承的滾動面的幾何誤差在旋轉過程中產生的預緊力的波動量。其中，間距a,b,c如圖1所示。

2.2 旋轉體的不平衡量激勵

在高速轉子運行的過程中，旋轉體的靜不平衡量ust和動不平衡量udy將分別產生一個離心力fac和一個不平力矩gac直接作用于轉子上[4-6]，引起高速轉子的振動。該力和力偶分別為：

(5)

(6)

其中，ωy為高速轉子的旋轉角頻率；βf和βm為不平衡力和力矩的初始相位。

2.3 高速轉子的總激勵

盡管高速轉子還將受到重力等常值力，但是它們只引起主軸等零部件的靜變形，故在振動分析中不予體現。則對旋轉體的總的激勵力為：

f(t)=fx(t)i+fz(t)k=fac+fec

(7)

對旋轉體的總的激勵力矩為：

g(t)=gx(t)i+gz(t)k=gac+gec

(8)

3 高速轉子的動力學建模

高速轉子運行的零初始時刻，Fb與Fr三軸對應平行，其通過2-1-3旋轉:θoy,θox,θoz，其中θox和θoz都是非常小的角度，因此其對應的三角函數可以近似線性化。則Fb相對于Fr的角速度，即旋轉體的轉速在參考坐標系中可以表示為：

(9)

其中，R1(θox),R2(θoy),R3(θoz)為Euler旋轉矩陣。則高速轉子的徑向轉動動能為：

(10)

高速轉子質心的徑向平動動能為：

(11)

則高速轉子總的動能：

(12)

選取x1=υox,x2=υoz；x3=θox,x4=θoz作為廣義坐標：則Lagrange方程為：

(13)

(14)

式中各個剛度系數的物理意義為：Kfrx,Kfrz分別為轉子中心在x,z方向有單位位移時需要加在o點的沿x,z方向的力；Kfθx,Kfθz分別為轉子繞ox，oz軸有單位轉角時所需加于o點的沿z,x方向的力；Kmθx,Kmθz分別為轉子繞ox,oz軸有單位轉角時需要加的對ox,oz軸的力矩；Kfυx,Kfυz分別為轉子在z,x方向產生單位位移時，所需對ox,oz軸的力矩。Id和Ip分別為高速轉子的徑向和軸向轉動慣量。

在高速轉子運行過程中，各零部件的相對變形量都很小，不妨假設其中所有零部件的變形量都處于選用材料的線彈性范圍內，即式14,式15中的剛度參數為常量；同時假設其中的阻尼參數也都為常量。即，高速轉子系統是一個線性系統。

根據兩坐標系的關系可得到高速轉子基座上的振動力和力矩與質心處振動力和力矩之間的關系：

(16)

其中，兩坐標間距：L=b+c，如圖1所示。

4 模型求解

由于動力學方程(14～16)是耦合的二階線性常微分非齊次方程組，其非齊次項也較為復雜，不便于求得解析解，故采用龍格庫塔法進行數值仿真。

根據高速轉子的結構特征可以計算出模型所需參數如下：旋轉體的質量為：m=5 kg；徑向轉動慣量為：Id=0.021 kg·m2；極慣量為：Ip=0.04 kg·m2；高速主軸的彈性模量為：E=2.10×1011Pa；a=22.5 mm，b=38 mm，c=14 mm。根據靜變形可確定懸臂梁的徑向等效剛度：Kmυx=Kmυz=1.2×106N·m/m;Kfαx=Kfαz=7.9×105N/rad;Kfrx=Kfrz=2.6×107N/m;Kmθx=Kmθz=3.6×104N·m/rad。

在不平衡量和軸承的幾何誤差激勵下，仿真得到高速轉子系統的基座上輸出的振動力和力矩的瀑布圖及其對應轉速下的系統特征值分布情況——固有頻率曲線如圖3、圖4所示。

圖3,4中間的兩條V字形曲線代表系統的正特征頻率隨轉子轉速變化的曲線。圖5表示轉子質心沿X方向振動位移和轉角瀑布圖；而Z方向振動位移和轉角瀑布圖與X方向類似，在此不再單獨列出。

圖3 徑向(X,Z)振動力瀑布圖及其固有頻率曲線

5 試驗驗證

利用Kistler的9256CQ多分量測力臺、電荷放大器和OROS的8通道數據采集設備在精密隔振光學平臺上對某型號的SGCMG的高速轉子進行微振動測試。測得系統徑向振動的瀑布圖如圖6,圖7所示。

圖6 徑向(X,Z)振動力瀑布圖

圖7 徑向(X,Z)振動力矩瀑布圖

6 仿真和實測結果對比分析

(1) 從圖5可見，高速轉子各零部件的振動位移和轉角分別在1μm或者10μrad左右，各零部件的相對變形量都很小，都處于所用材料的線彈性范圍內，故高速轉子的徑向振動整體上表現為線性占主導。

(2) 仿真圖中的頻率成分覆蓋了測試圖中表現出來的幾乎所有的頻率成分，從而驗證了“徑向激振的頻率成分主要來源于高速旋轉體的靜動不平衡量和預緊軸承工作面的幾何誤差”的分析的合理性。

(3) 圖3～7都表明許多倍頻響應大于基頻振動。這主要是因為預緊軸承在運行的過程中，其滾動面的幾何誤差產生了較大的預緊力波動，同時頻率成分與系統的模態頻率曲線相交，致使系統諧振。

(4) 圖3～7都存在兩個V形諧振頻率線。這是由于懸臂式SGCMG中的高速轉子是不等剛度非對稱支撐，導致轉子的徑向平動和轉動動力學方程耦合，系統存在四個正虛部的特征根，它們都是高速轉子轉速的函數，當外部的激勵穿越這些模態頻率曲線時，將導致高速轉子系統徑向諧振。

(5) 在瀑布圖中，倍頻放射線穿越“V”字形固有頻率曲線時，①放射線與固有頻率曲線在穿越點的夾角越小，該放射線穿越諧振帶的速度越慢，即需要在較寬的轉速范圍內才能穿過諧振帶。因而在轉子變速時，該倍頻放射線對系統的平穩性影響越大；②放射線與固有頻率曲線的夾角越大，其穿越諧振帶的速度越快。因而該倍頻放射線對系統轉速升降的平穩性影響越小。圖3～7都表現為每對V形曲線的右曲線比左曲線的響應要大。因此在變速SGCMG和動量輪的結構設計中，應通過結構參數優化來盡量避免較大的激勵以較小的角度穿越諧振帶。

(6) 仿真和實測結果表明：在某些轉速范圍振動較小，因此根據微振動的測試結果選擇高速轉子/動量輪的工作轉速(范圍)成為減小振動的有效方法。

仿真圖和實測圖在幅值以及模態頻率的大小上還存在一定的差異，這可能是因為仿真中的參數取得與實際情況存在一定差別，尤其是預緊軸承滾動表面的幾何誤差所產生的預緊力的波動量的幅值和相位難以準確得到，這還需要后續的參數辨識。

7 結 論

通過對SGCMG中的高速轉子徑向振動特性的分析和試驗驗證，可得到如下一些結論：

(1) 由高速轉子的靜動不平衡量所產生的離心力和力偶以及預緊軸承滾動面的幾何誤差所導致的預緊力的波動等是激勵高速轉子振動主導因素。

(2) 懸臂式高速轉子的徑向平動和轉動動力學方程耦合，使得系統的振動輸出呈現雙V字形形式。所建立的動力學模型(二階線性非齊次微分方程組)基本反映了高速轉子這一徑向低頻振動特性。

參 考 文 獻

[1]龐世偉,楊 雷,曲廣吉. 高精度航天器微振動建模與評估技術最近進展[J]. 強度與環境，2007，34(6)：1-9.

PANG Shi-wei, YANG lei, QU Guang-ji. New development of micro-vibration integrated modeling and assessment technology for high performance spacecraft[J]. Structure & Enviroment Engineering，2007，34(6)：1-9.

[2]劉天雄,范本堯,楊 慧. 衛星飛輪擾振控制技術研究[J]. 航天器工程，2009， 18(1)：53-60.

LIU Tian-xiong, FAN Ben-yao, YANG hui. Research on vibration disturbance control of momentum wheel[J]. Spacecraft Engineering,2009, 18(1)：53-60

[3]Masterson R A, Miller D W, Grogan R L. Development and validation of reaction wheel disturbance models: empirical model [J]. Journal of Sound and Vibration, 2002,249 (2):575-598.

[4]Masterson R A, Miller R A, Grogan D W, et al. Development of empirical and analytical reaction wheel disturbance models [R]. AIAA 99-1204.

[5]李連軍,戴金海. 反作用輪系統內干擾建模與仿真分析[J]. 系統仿真學報， 2005，17(8).

LI Lian-jun, DAI Jin-hai. Inner disturbance modeling and simulation analysis of reaction wheel system[J]. Journal of System Simulation,2005，17(8).

[6]鄧瑞清,虎 剛,王全武. 飛輪和控制力矩陀螺高速轉子的渦動特性研究[J]. 空間控制技術與應用， 2009， 35(1)56-60.

DENG Rui-qing，HU Gang，WANG Quan-wu. Whirling characteristics of high speed rotors in flywheel and CMG[J]. Aerospace Control and Application, 2009， 35(1)56-60.

[7]Bialke B. High fidelity mathematical modeling of reaction wheel performance [R]. AAS 98-063.