一個聯系Riemann Zeta函數的Hilbert型積分不等式

楊必成,陳 強

(1.廣東第二師范學院 數學系,廣州 510303; 2.廣東第二師范學院 計算機科學系,廣州 510303)

一個聯系RiemannZeta函數的Hilbert型積分不等式

楊必成1,陳 強2

(1.廣東第二師范學院 數學系,廣州 510303; 2.廣東第二師范學院 計算機科學系,廣州 510303)

通過引入獨立參量,應用實分析技巧及權函數方法,建立一個最佳常數因子聯系Riemann zeta函數的核為余割函數的Hilbert型積分不等式,并導出了其等價式與特殊參數下的齊次形式.

權函數; Riemann zeta函數; Hilbert型積分不等式; 等價式

這里,常數因子π為最佳值.式(1)的推廣、 改進及應用可參考文獻[2-4].文獻[5]綜述了參量化Hilbert型不等式的研究成果; 文獻[6-11]研究了非齊次核的Hilbert型不等式; 文獻[12]得到了如下具有最佳常數因子的非齊次核Hilbert型積分不等式:

本文應用實分析技巧及權函數的方法,建立如下非齊次核Hilbert型積分不等式:

并證明其常數因子π2/4為最佳值.本文的目的是導出其最佳常數因子聯系Riemann zeta函數的多參數推廣式、 等價式與特殊參數下的齊次核形式.

如無特別說明,本文下面均設參數p>1,1/p+1/q=1,λ,β>0,α>1,δ∈{-1,1}.

引理1顯然有

這里Γ(·)和ζ(·)分別為Gamma函數及Riemann zeta函數,它們有如下表達式[14]:

證明: 因為當α>1時,有

故式(6)成立.證畢.

引理2若f(x)≥0在(0,∞)上可測,則有

證明: 由H?lder不等式[15]及式(4),可得

由引理1、 式(9)及交換積分次序的Fubini定理[16],有

再由引理1可導出式(8).證畢.

證明: 若存在y>0,使式(9)取到等號,則有不全為0的常數C,D,使得[15]

若D=0,則必有C=0,這與C,D不全為0的假設矛盾.故可設D≠0,則可得

由H?lder不等式[15],又有

再由式(11),有式(10).反之,設式(10)成立,置函數

故式(11)成立.因而式(11)與式(10)為等價不等式.

任給0<ε

則對δ=±1,經計算可得

由交換積分次序的Fubini定理[16],可得

由交換積分與極限次序的Fatou引理[16]、 式(15)及極限的保號性,易得

矛盾,表明k=k(α)必為式(10)的最佳值.

可斷言式(11)的常數因子kp(α)也必為最佳值.否則,由式(12)必導出式(10)的常數因子也不為最佳值的矛盾.證畢.

注1若δ=1,p=q=2,α=2,β=λ=1,則式(10)可導出式(3); 式(11)可導出如下式(3)的具有最佳常數因子的等價形式:

注2若δ=-1,則由式(10)與式(11),可導出如下具有最佳常數因子的齊次核等價形式:

[1]Hardy G H,Littlewood J E,Pólya G.Inequalities [M].2nd ed.Cambridge: Cambridge University Press,1952.

[2]Mitrinovic D S,Pecaric J E,Fink A M.Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives [M].Boston: Kluwer Academic Publishers,1991.

[3]楊必成.算子范數與Hilbert型不等式 [M].北京: 科學出版社,2009.(YANG Bicheng.The Norm of Operator and Hilbert-Type Inequalities [M].Beijing: Science Press,2009.)

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[5]楊必成.參量化的Hilbert型不等式研究綜述 [J].數學進展,2009,38(3): 257-268.(YANG Bicheng.A Survey of the Study of Hilbert-Type Inequalities with Parameters [J].Advances in Mathematics,2009,38(3): 257-268.)

[6]YANG Bicheng.A New Hilbert-Type Inequality [J].Bull Belg Math Soc,2006,13(3): 479-487.

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[10]劉瓊.一個多參數的Hilbert型積分不等式 [J].吉林大學學報: 理學版,2009,47(5): 903-908.(LIU Qiong.A Hilbert-Type Integral Inequality with Several Parameters [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2009,47(5): 903-908.)

[11]楊必成.一個零齊次核的Hilbert型積分不等式 [J].山東大學學報: 理學版,2010,45(2): 103-106.(YANG Bicheng.A Hilbert-Type Integral Inequality with the Homogeneous Kernel of Degree Zero [J].Journal of Shandong University: Natural Science,2010,45(2): 103-106.)

[12]楊必成.一個含參數且非齊次核的Hilbert型積分不等式 [J].華南師范大學學報: 自然科學版,2010(4): 31-33.(YANG Bicheng.A Hilbert-Type Integral Inequality with Parameters and a Non-homogeneous Kernel [J].Journal of South China Normal University: Natural Science Edition,2010(4): 31-33.)

[13]鐘玉泉.復變函數論 [M].北京: 高等教育出版社,2003.(ZHONG Yuquan.On Complex Functions [M].Beijing: Higher Education Press,2003.)

[14]潘承洞,潘承彪.解析數論基礎 [M].北京: 科學出版社,1990.(PAN Chengdong,PAN Chengbiao.Basic on Analysis Numbers Theory [M].Beijing: Science Press,1990.)

[15]匡繼昌.常用不等式 [M].濟南: 山東科技出版社,2004.(KUANG Jichang.Applied Inequalities [M].Jinan: Shandong Science and Technology Press,2004.)

[16]匡繼昌.實分析引論 [M].長沙： 湖南教育出版社,1996.(KUANG Jichang.Introduction to Real Analysis [M].Changsha: Hunan Education Press,1996.)

(責任編輯： 趙立芹)

AHilbert-TypeIntegralInequalityRelatedtotheRiemannZetaFunction

YANG Bicheng1,CHEN Qiang2
(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China;
2.DepartmentofComputerScience,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China)

Introducing independent parameters,applying the techniques of real analysis and the way of weight functions,the authors presented a new Hilbert-type integral inequality with the kernel of cosecant function and a best constant factor related to the Riemann zeta function and deduced the equivalent form and some homogeneous forms for a particular parameter.

weight coefficient; Riemann zeta function; Hilbert-type integral inequality; equivalent form

2014-02-20.

楊必成(1947—),男,漢族,教授,從事算子理論與解析不等式的研究,E-mail: bcyang@gdei.edu.cn.

國家自然科學基金(批準號： 61370186).

O178

A

1671-5489(2014)05-0869-04