Heisenberg Jordan-Lie代數(shù)的自同構(gòu)群

周 佳

(吉林農(nóng)業(yè)大學 信息技術(shù)學院,長春 130118)

HeisenbergJordan-Lie代數(shù)的自同構(gòu)群

周 佳

(吉林農(nóng)業(yè)大學 信息技術(shù)學院,長春 130118)

通過給出Heisenberg Jordan-Lie代數(shù)的定義,得到Heisenberg Jordan-Lie代數(shù)H的自同構(gòu)群Aut(H)的一些子群,并在H為低維的情形下,討論了自同構(gòu)群Aut(H)的基本結(jié)構(gòu).

Heisenberg Jordan-Lie代數(shù); 自同構(gòu)群; 子群

0 引 言

基于對Lie代數(shù)和Lie超代數(shù)的研究[1-5],Okubo等[6]提出了Jordan Lie超代數(shù)的概念,其與Lie代數(shù)密切相關(guān).目前,關(guān)于Heisenberg Lie代數(shù)的研究已有許多成果[7-8].本文在Heisenberg Lie代數(shù)自同構(gòu)群[9]的基礎(chǔ)上,得到了Heisenberg Jordan-Lie代數(shù)的自同構(gòu)群及其相關(guān)性質(zhì).

1) [a,b]∈Jα+β;

2) [a,b]=-δ(-1)αβ[b,a](階化反對稱);

3) [a,[b,c]]=[[a,b],c]+(-1)αβ[b,[a,c]](階化Jacobi等式).

定義3令

做運算：

易知H關(guān)于該運算構(gòu)成一個δ-Jordan超代數(shù),稱為δ-Jordan Heisenberg代數(shù).當δ=1時,H稱為Heisenberg超代數(shù).當δ=-1時,H稱為Heisenberg Jordan-Lie代數(shù).

本文僅討論δ=-1情形下的Heisenberg Jordan-Lie代數(shù)H.

1 主要結(jié)果

1.1H自同構(gòu)群Aut(H)的一些子群

1.1.1 內(nèi)自同構(gòu)群

定理1對h0∈H,d=diag(d1,d2,…,dn+2)可逆,取a=d+h0,定義φa(h)=aha-1,?h∈H,則φa是H的一個自同構(gòu).

而

從而φa[h,h′]=[φa(h),φa(h′)].則φa是H的一個自同構(gòu).

定理2令G1為H所有內(nèi)自同構(gòu)構(gòu)成的集合,則G1是Aut(H)的子群.

證明: 對?φa,φb∈G1,h∈H有φaφb(h)=φab(h).令a=d1+h1,b=d2+h2,則

ab=d1d2+(d1h2+h1d2+h1h2)=d3+h3,

從而φab∈G1.

定義5稱G1為H的內(nèi)自同構(gòu)群.

1.1.2 中心自同構(gòu)群

在競爭日趨激烈并且增速逐漸放緩的SUV市場，想要獲得消費者的青睞必須要有獨到之處。東風雷諾新科雷嘉在智能互聯(lián)和安全性上的優(yōu)勢還是值得稱贊的，考慮到它13.98萬元至19.48萬元的售價，對于它在市場上的表現(xiàn)還是值得一番期待的。

定理3對α=(a1,b1,a2,b2,…,an,bn)∈C2n,定義φα:H→H,使得

而

從而φα[h,h′]=[φα(h),φa(h′)].則φα是H的一個自同構(gòu).

定義6稱φa是H的中心自同構(gòu).

定理4令G2為H所有中心自同構(gòu)構(gòu)成的集合,則G2是Aut(H)的子群.

定義7稱G2為H的中心自同構(gòu)群.

1.1.3 對合自同構(gòu)群

定理5令r=(e1,n+2+e2,n+1+…+en+2,1),定義ω0:H→H,使得ω0(h)=-rhTr,?h∈H,則ω0是H的一個自同構(gòu).

所以ω0是映射.由r=rT,且r2=e(單位矩陣),易知ω0是雙射.

而

從而ω0[h,h′]=[ω0(h),ω0(h′)].則ω0是H的一個自同構(gòu).

定義8稱ω0是H的對合自同構(gòu).

定理6令G3={1,ω0},這里1為恒等變換,則G3是Aut(H)的子群.

定義9稱G3為H的對合自同構(gòu)群.

1.1.4 第一類外自同構(gòu)群

定理7令S是由{2,3,…,n+1}n個文字的置換生成的對稱群,

1.1.5 第二類外自同構(gòu)群

則ξk是H的一個自同構(gòu).

從而ξk[h,h′]=[ξk(h),ξk(h′)],則ξk是H的一個自同構(gòu).

則ηp是H的一個自同構(gòu).

從而ηp[h,h′]=[ηp(h),ηp(h′)],則ηp是H的一個自同構(gòu).

定理10對q∈C,定義φq:H→H,使得

φq(h)=h+qxie1,n+1-qyne2,n+2,

則φq是H的一個自同構(gòu).

從而φq[h,h′]=[φq(h),φq(h′)],則φq是H的一個自同構(gòu).

定理11對r∈C,定義ψr:H→H,使得

ψr(h)=h+rxne1,2-ry1en+1,n+2,

則ψr是H的一個自同構(gòu).

證明同前.

定義11ξk,ηp,φq,ψr統(tǒng)稱為H的第二外自同構(gòu),由所有ξk,ηp,φq,ψr生成的Aut(H)的子群G5稱為H的第二類外自同構(gòu)群.

注2易驗證： {ξk|k|∈C},{ηp|p|∈C},{φq|q|∈C},{ψr|r|∈C}全是Aut(H)的子群.

1.2低階Heisenberg-Jordan-Lie代數(shù)自同構(gòu)群的確定

1.2.1n=0時H的自同構(gòu)群

1.2.2n=1時H的自同構(gòu)群

證明: 對?φ∈Aut(H),令

從而φ是有限個內(nèi)自同構(gòu)、 中心自同構(gòu)、 對合自同構(gòu)和第一類外自同構(gòu)的乘積.

1.2.3n=2時H的自同構(gòu)群

引理1設(shè)φ是H的一個自同構(gòu),且

則

定理14當n=2時,Aut(H)中的每個元素都是有限個內(nèi)自同構(gòu)、 中心自同構(gòu)、 對合自同構(gòu)、 第一類外自同構(gòu)和第二類外自同構(gòu)的乘積.

證明: 因為φ∈Aut(H),且H的中心C(H)={ke1,4|k∈C}|,所以φ(e1,4)=ke1,4,k≠0.令

不妨設(shè)a1,a2中至少有一個非零,事實上,若a1=a2=0,則a3,a4至少有一個非零.若a3≠0,則用ωφ代替φ即可保證a2≠0.若a1≠0,則用ωφ代替φ即可保證a1≠0.進而不妨設(shè)a1≠0.事實上,若a1=0,則a2≠0,取0≠r∈C,得第二類外自同構(gòu)ψr,用ψφ代替φ可保證a1≠0.

于是,取a=diag(1,a1,1,1),可得內(nèi)自同構(gòu)φα,用φαφ代替φ,則有φe1,2=a1e1,2.令

由引理1易得

從而d3=0,c3=k,c4=0,d4=k.所以有

其中k≠0.取α=(0,-c0/k,0,-d0/k)∈C4,得到中心自同構(gòu)φα,用φαφ代替φ,則有

其中k≠0.

其中k≠0.取a=diag(1,1,1,k),得到內(nèi)自同構(gòu)φα,用φαφ代替φ,有

從而φ是有限個內(nèi)自同構(gòu)、 中心自同構(gòu)、 對合自同構(gòu)、 第一類外自同構(gòu)和第二類外自同構(gòu)的乘積.

[1]Jacobson N.Lie Algebras [M].New York: Wiley,1962: 23-24.

[2]Kac V G.Lie Superalgebras [J].Advances in Mathematics,1977,26(1): 8-96.

[3]孟道驥,朱林生,姜翠波.完備李代數(shù) [M].北京: 科學出版社,2001: 23-25.(MENG Daoji,ZHU Linsheng,JIANG Cuibo.Complete Lie Algebras [M].Beijing: Science Press,2001: 23-25.)

[4]蘇美,馬瑤,陳良云.第一類李擬代數(shù)的基本性質(zhì) [J].東北師大學報: 自然科學版,2011,43(1): 1-5.(SU Mei,MA Yao,CHEN Liangyun.Elementary Properties of Lie-Like Algebra1-st[J].Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition,2011,43(1): 1-5.)

[5]Scheunert M.The Theory of Lie Superalgebra [M].Berlin: Springer-Verlag,1979: 270.

[6]Okubo S,Kamiya N.Jordan-Lie Super Algebra and Jordan-Lie Triple System [J].Journal of Algebra,1997,198(2): 388-411.

[7]孟道驥,朱林生.完備Lie代數(shù)的若干進展 [J].數(shù)學進展,1998,27(3): 193-201.(MENG Daoji,ZHU Linsheng.Some Advances on Complete Lie Algebras [J].Advances in Mathematics,1998,27(3): 193-201.)

[8]白瑞蒲,張蒙,劉麗麗.一類特殊的Heisenberg 3-李代數(shù)的結(jié)構(gòu) [J].應(yīng)用數(shù)學,2011,24(2): 372-376.(BAI Ruipu,ZHANG Meng,LIU Lili.Structures of a Class of Heisenberg 3-Lie Algebra [J].Mathematica Applicata,2011,24(2): 372-376.)

[9]張海山,邵文武,盧才輝.Heisenberg李代數(shù)的自同構(gòu)群 [J].首都師范大學學報: 自然科學版,2007,28(1): 1-7.(ZHANG Haishan,SHAO Wenwu,LU Caihui.The Automorphism Group of Heisenberg Lie Algebra [J].Journal of Captial Normal University: Natural Science Edition,2007,28(1): 1-7.)

(責任編輯： 趙立芹)

AutomorphismGroupofHeisenbergJordan-LieAlgebra

ZHOU Jia
(SchoolofInformationTechnology,JilinAgriculturalUniversity,Changchun130118,China)

We introduced the notion of Heisenberg Jordan-Lie algebra so as to investigate some subgroups of the automorphism group Aut(H) of Heisenberg Jordan-Lie algebraH.Moreover,we discussed some basic structure of the automorphism group Aut(H) in the case ofHbeing low-dimensional.

Heisenberg Jordan-Lie algebra; automorphism group; subgroup

2013-12-17.

周 佳(1982—),女,漢族,碩士,講師,從事Lie代數(shù)的研究,E-mail: 1316023705@qq.com.

吉林省自然科學基金(批準號: 201215184)和吉林農(nóng)業(yè)大學青年科研基金(批準號: 201329).

O152.5

A

1671-5489(2014)05-0873-08