三角代數(shù)上的一類非線性可交換映射

余維燕,張建華

(1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,海口 571158; 2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

(f1(0)+f2(m)+f3(0)+P1λP1)m=m(g1(0)+g2(m)+g3(0)+P2λP2).

(f1(a)-af1(1)-aτ-1(g1(1)))m-mg1(a)=(f1(a)m-mg1(a))-a(f1(1)m-mg1(1))=0,

(f3(b))⊕(g3(b)-b(τ(f1(1))-g1(1)))∈Z(U), P1λP1⊕P2λP2∈Z(U).

(f1(0)⊕g1(0)) +(f3(0)⊕g3(0))+(P1λP1⊕P2λP2)∈Z(U),

三角代數(shù)上的一類非線性可交換映射

余維燕1,張建華2

(1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,海口 571158; 2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

運用矩陣分塊方法研究三角代數(shù)上的一類非線性可交換映射: 模線性可交換映射.刻畫了此類映射的具體形式,給出了三角代數(shù)上模線性可交換映射是真可交換映射的充分條件,并證明了套代數(shù)上的每個模線性可交換映射都是真可交換映射.

三角代數(shù); 可交換映射; 模線性映射

0 引 言

設(shè)A是可交換環(huán)R上的一個代數(shù),Z(A )為其中心.設(shè)f: A→A是一個映射.若對任意的α,β∈R及x,y∈A,有f(αx+βy)-αf(x)-βf(y)∈Z(A ),則稱f為A上的模中心線性映射(簡稱模線性映射).若對任意的x∈A有[f(x),x]=0,則稱f為A上的可交換映射,這里[x,y]=xy-yx為x與y的Lie積.若存在a∈Z(A )和映射μ: A→Z(A ),使得對任意的x∈A有f(x)=ax+μ(x),則稱f為A上的真可交換映射.

設(shè)A和B是可交換環(huán)R上的具有單位元1的代數(shù).如果M既是A的左模又是B的右模,則稱M是(A,B)-雙邊模.如果a∈A,b∈B,且對任意的m∈M有am=mb=0蘊含a=b=0,則稱M是(A,B)-忠實雙邊模.設(shè)M是(A,B)-忠實雙邊模,則稱

為三角代數(shù)[13].其加法和乘法按通常矩陣的運算進行.

1 模線性可交換映射的結(jié)構(gòu)

引理1[13]三角代數(shù)U=Tri(A,M,B)的中心是Z(U)={a⊕b:am=mb,對任意的m∈M},且P1Z(U)P1?Z(A ),P2Z(U)P2?Z(B).從而存在唯一的代數(shù)同構(gòu)τ:P1Z(U)P1→P2Z(U)P2,使得對任意的m∈M,有am=mτ(a).

命題1三角代數(shù)U=Tri(A,M,B)上的模線性可交換映射L具有形式:

其中:λ是依賴于a,m,b的Z(U)中的元素;f1: A→A,g3: B→B是模線性可交換映射;g1: A→Z(B),f2: M→Z(A ),g2: M→Z(B),f3: B→Z(A )是映射,且滿足如下條件：

1) 對任意的a∈A和m∈M,有f1(a)m-mg1(a)=a(f1(1)m-mg1(1));

2) 對任意的b∈B和m∈M,有f3(b)m-mg3(b)=(f1(1)m-mg1(1))b;

3) 對任意的m∈M,有f2(m)m=mg2(m).

性質(zhì)1設(shè)

則

1)L(0)∈Z(U);

2)P1L(0)P2=0,P1λP2=0;

3)fi(0)∈Z(A ),gi(0)∈Z(B)(i=1,2,3);

4)fi(0)⊕gi(0)∈Z(U)(i=1,2,3).

下面證明命題1.先證明f1∈LZ(A ),g3∈LZ(B)(這里L(fēng)Z(A )和LZ(B)分別表示代數(shù)A和B上的模中心Z(A )和Z(B)的模線性映射).

設(shè)對任意的x,y∈A,θ1∈Z(U)及α,β∈,因為L是模線性映射,從而有

又由于P1θ1P1∈Z(A ),從而f1∈LZ(A ). 類似地,可證明g3∈LZ(B).

設(shè)

則

用x+y替換[L(x),x]=0中的x可得[L(x),y]=[x,L(y)],從而

故h1(a)+h3(b)=0.另一方面,

故h1(a)-h3(b)=0,從而h1=0,h3=0.類似地,由

可知,

g1(a)+g2(0)+g3(0)+P2λP2∈Z(B),f1(0)+f2(0)+f3(b)+P1λP1∈Z(A ),

從而由性質(zhì)1中3)得g1(a)∈Z(B),f3(b)∈Z(A ).

由上述結(jié)論及性質(zhì)1中3),有

比較元素得,[f1(a),a]=0,[g3(b),b]=0.從而f1,g3都是可交換映射.

從而

(f1(0)+f2(m)+f3(0)+P1λP1)m=m(g1(0)+g2(m)+g3(0)+P2λP2).

又由性質(zhì)1中4)可知,fi(0A)⊕gi(0A)∈Z(U)(i=1,3),顯然P1λP1⊕P2λP2∈Z(U),于是f2(m)m=mg2(m).從而證明了命題1的條件3).

由性質(zhì)1中4)可知,

故h2(m)=f1(1)m-mg1(1).而

比較元素得[a,f1(0)+f2(m)+f3(0)+P1λP1]=0,故

f1(0)+f2(m)+f3(0)+P1λP1∈Z(A ).

又由性質(zhì)1中3)可知f1(0)+f3(0)+P1λP1∈Z(A ),則f2(m)∈Z(A )且

f1(a)m-mg1(a)=ah2(m)=a(f1(1)m-mg1(1)).

從而證明了命題1的條件1).類似地,由于

從而g2(m)∈Z(B),且f3(b)m-mg3(b)=(f1(1)m-mg1(1))b.證畢.

引理2設(shè)L是三角代數(shù)U=Tri(A,M,B)上的模線性可交換映射,記

證明: 只證明與A有關(guān)的部分,與B有關(guān)的部分類似.

式(1)-式(2)得

另一方面,

式(4)-式(5)得

因為f1是模線性映射,從而存在θ1,θ2∈Z(U)且由式(3)～(6)可知

因此

m(g1[a′,a]+P2θ2P2)=(a[a′,f1(1)]+f1[a′,a]-P1θ1P1-[a′,f1(a)])m,

于是g1[a′,a]∈P2Z(U)P2,即[a′,a]∈I.

設(shè)a∈I,由式(3)和引理1可知

另一方面,由式(6)可知

mg1(aa′)=(-a[a′,f1(1)]+f1(aa′)-f1(a)a′+a′τ-1g1(a))m,

則g1(a′a),g1(aa′)∈P2Z(U)P2.從而a′a,aa′∈I,即I是包含換位子[A,A ]的A的一個理想.證畢.

2 主要結(jié)果

引理3設(shè)L是三角代數(shù)U=Tri(A,M,B)上的模線性可交換映射,記

則如下條件等價:

(i)L是真可交換映射,即對任意的c∈U,x∈Z(U),有L(c)=cx+h(c),其中h是一個從U到其中心Z(U)內(nèi)的映射；

(ii)g1(A )?P2Z(U)P2,f3(B)?P1Z(U)P1,且對任意的m∈M,有f2(m)⊕g2(m)∈Z(U);

(iii)f1(1)∈P1Z(U)P1,g1(1)∈P2Z(U)P2,且對任意的m∈M,有f2(m)⊕g2(m)∈Z(U).

證明: 1) (ii)?(iii).g1(1)∈g1(A )∈P2Z(U)P2.設(shè)b=1,由命題1中2)可知f3(1)m-mg3(1)=f1(1)m-mg1(1),又由引理1可知,

f1(1)m=m(g1(1)-g3(1)+τ(f3(1))),

從而f1(1)∈P1Z(U)P1.

f3(b)m=m(g3(b)+τ(f1(1))b-g1(1)b),

所以f3(B)?P1Z(U)P1.

3) (iii)?(i).設(shè)h(c)=L(c)-cx,其中:

由已知

及命題1中1)可知,

(f1(a)-af1(1)-aτ-1(g1(1)))m-mg1(a)=(f1(a)m-mg1(a))-a(f1(1)m-mg1(1))=0,

則

f1(a)-a(f1(1)-τ-1(g1(1))⊕g1(a)∈Z(U).

同理,由命題1中2)和性質(zhì)1中4)可知,

(f3(b))⊕(g3(b)-b(τ(f1(1))-g1(1)))∈Z(U),P1λP1⊕P2λP2∈Z(U).

比較元素可得

xAm=mτ(xA)=f1(1)m-mg1(1),

從而

mg1(1)=(f1(1)-xA)m,f1(1)m=m(τ(xA)+g1(1)).

于是

f1(1)∈P1Z(U)P1,g1(1)∈P2Z(U)P2,

由性質(zhì)4)可知,

(f1(0)⊕g1(0)) +(f3(0)⊕g3(0))+(P1λP1⊕P2λP2)∈Z(U),

從而f2(m)⊕g2(m)∈Z(U).證畢.

定理1若三角代數(shù)U=Tri(A,M,B)滿足下列條件:

1)Z(B)=P2Z(U)P2或A=[A,A ];

2)Z(A )=P1Z(U)P1或B=[B,B];

3) 存在m0∈M,使得Z(U)={a⊕b:a∈Z(A ),b∈Z(B),am0=m0b}.則U上的每個模線性可交換映射是真可交換映射.

證明: 由命題1可知,g1(A )?Z(B).由條件1)可知,Z(B)=P2Z(U)P2,則g1(A )?P2Z(U)P2,且由引理2,有

即g1(A)?P2Z(U)P2.從而條件1)可推出g1(A )?P2Z(U)P2.同理,條件2)可推出f3(B)?P1Z(U)P1.又由引理3中(ii)可知,只要能證明3)可推出f2(m)⊕g2(m)∈Z(U),即可證明結(jié)論.

由命題1中3)可知f2(m)∈Z(A ),g2(m)∈Z(B),且f2(m)m=mg2(m),從而f2(m0)m0=m0g2(m0),于是由3)可得f2(m0)⊕g2(m0)∈Z(U).從而對任意的m∈M,有f2(m0)m=mg2(m0),因為

另一方面,

比較式(7),(8)得:f2(m)m0=m0g2(m),故由條件3)可得f2(m)⊕g2(m)∈Z(U).證畢.

推論1設(shè)U=Tri(A,M,B)是三角代數(shù),若Z(A )=R1,Z(B)=R1,則U上的每個模線性可交換映射是真可交換映射.

證明: 由定理1,因為Z(A )=P1Z(U)P1,Z(B)=P2Z(U)P2,定理1條件3)對任何非零的m∈M都成立.

推論2設(shè)τ(N )是與套N有關(guān)的套代數(shù),則τ(N )上的每個模線性可交換映射是真可交換映射.

設(shè)F(u,v)=θ(u,v),G(u,v)=[u,v],則式(9)變?yōu)?/p>

由文獻[18]中引理2.2可知,存在λ∈I,使得F(u,v)=λG(u,v),從而由式(9)可得

λ[u,v]B(H)[x,y]=[u,v]B(H)θ(x,y),

即[u,v]B(H)(λ[x,y]-θ(x,y))=0,因為B(H)是一個因子,故λ[x,y]-θ(x,y)=0.由θ的定義可知[f(x),y]=λ[x,y],即[f(x)-λx,y]=0.從而存在從τ(N )到Z(τ(N ))的映射μ,使得f(x)=μ(x)+λx是真可交換映射.

若N是一個非平凡套,則由文獻[19]可知Z(τ(N ))=I,并且

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

AClassofNonlinearCommutingMapsonTriangularAlgebras

YU Weiyan1,ZHANG Jianhua2
(1.CollegeofMathematicsandStatistics,HainanNormalUniversity,Haikou571158,China;
2.CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

The authors studied a class of nonlinear commuting maps (namely,modulo linear commuting map) on triangular algebras,described the forms of such maps,and gave such a sufficient condition that every modulo linear commuting map on triangular algebras is proper.As an application,it is proved that every modulo linear commuting map on nest algebras is proper.

triangular algebra; commuting map; modulo linear map

2013-11-25.

余維燕(1969—),女,漢族,博士,副教授,從事算子理論與算子代數(shù)的研究,E-mail: wyyume65@163.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號: 10971123)、 教育部博士學(xué)科點重點建設(shè)項目(批準(zhǔn)號: 20110202110002)、 海南省自然科學(xué)研究計劃項目(批準(zhǔn)號: 113004; 113007)和海南省教育廳高校科研重點項目(批準(zhǔn)號: HNKY2014-34).

O177.1

A

1671-5489(2014)05-0881-07