粗糙核Littlewood-Paley算子在加權(quán)Morrey空間上的弱估計(jì)

戴惠萍,陶雙平,茍銀霞

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,蘭州 730070)

粗糙核Littlewood-Paley算子在加權(quán)Morrey空間上的弱估計(jì)

戴惠萍,陶雙平,茍銀霞

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,蘭州 730070)

Littlewood-Paley算子; 弱Morrey空間;Ap權(quán)

0 引言與預(yù)備知識

設(shè)Sn-1表示n中的單位球面,其上的Lebesgue測度為dσ=dσ(x′).設(shè)Ω∈Lq(Sn-1)(1

其中:x′=x/|x|;x∈n,x≠0.Littlewood-Paley面積積分μΩ,s定義為

其中

對β>0,

|x-y|<βt},

相應(yīng)的面積積分定義為

本文中權(quán)函數(shù)ω(x)是指n上一個(gè)局部可積的非負(fù)函數(shù).Muckenhoupt[12]在研究Hardy-Littlewood極大函數(shù)的加權(quán)Lp有界性時(shí)引進(jìn)了經(jīng)典的Ap權(quán).用B=B(x0,rB)表示n中以x0為中心、rB為半徑的開球. 設(shè)λ>0,λB表示與B中心相同、 半徑是λrB的球.表示E的關(guān)于權(quán)ω的測度.+=1.

定義1設(shè)ω(x)為一個(gè)權(quán)函數(shù),10,使得對每個(gè)球B?n,都成立

則稱ω(x)為一個(gè)Ap權(quán),記為ω∈Ap.

定義2設(shè)r>1,若存在常數(shù)C>0,使得對每個(gè)球B?n,成立

則稱ω(x)滿足反向H?lder不等式,記為ω∈RHr.

設(shè)1

定義3[7]設(shè)1

其中

定義4[7]設(shè)1

其中

1 主要結(jié)果

引理1[13]設(shè)10,使得

ω(2B)≤Cω(B).

一般地,對任意的λ>0,有ω(λB)≤Cλnpω(B),其中C與B及λ無關(guān).

引理2[14]設(shè)ω∈RHr,r>1,則存在常數(shù)C>0,使得對任意可測集E?B,有

引理3[15]設(shè)零階齊次函數(shù)Ω∈Lq(Sn-1)滿足式(1),若p,q,ω滿足下列條件之一:

1) max{q′,2}=η

2) 2

3) 2≤p<∞,且ωq′∈Ap/2.

本文主要結(jié)果如下.

定理1設(shè)零階齊次函數(shù)Ω∈Lq(Sn-1)滿足式(1),μΩ,s由式(2)定義,0<κ<1,若p,q,ω滿足引理3 的3個(gè)條件之一,則存在與f無關(guān)的常數(shù)C>0,使得對任意的f∈Lp,κ(ω),成立‖μΩ,s(f)‖WLp,κ(ω)≤C‖f‖Lp,κ(ω).

證明: 只給出引理3中條件1)下的證明,條件2),3)的證明類似.設(shè)f∈Lp,κ(ω),對任意固定的球B,記f=f1+f2,其中f1=fχ2B,χ2B表示2B上的特征函數(shù).對任意給定的λ>0,有

由Chebyshev不等式及引理3和引理1,易得

（6）

下面估計(jì)I2.

不妨設(shè)B=B(y,rB),對任意的x∈B,(y,t)∈Γ(x),z∈(2j+1B2jB)∩B(y,t),存在y0∈B(x,t)∩B(z,t),使得

2t≥|x-y0|+|y0-z|≥|x-z|≥|z-y|-|x-y|≥2jrB-rB≥2j-1rB.

所以,由式(7)可知

若Ω∈L∞(sn-1),則

將式(9)代入式(8),得

由H?lder不等式及ω∈Ap(1

若Ω∈Lq(sn-1)(1

將式(11)代入式(8),得

由H?lder不等式得

將式(14)代入式(13),有

將式(15)代入式(12),有

由式(10)和式(16)知,

由引理2可得

所以

（18）

于是,由式(6),(18)得‖μΩ,s(f)‖WLp,κ(ω)≤C‖f‖Lp,κ(ω).證畢.

注1定理1的結(jié)果對式(3)所定義的μΩ,s,β也成立.

證明: 只給出引理3中條件1下的證明.設(shè)f∈Lp,κ(ω),同定理1,對任意固定的球B,記f=f1+f2,其中f1=fχ2B.對任意的λ>0,有

類似定理1的證明,由引理3和引理1,可得

J1≤C‖f‖Lp,κ(ω).(20)

下面估計(jì)J2.

因此,

由定理1的證明得

不妨設(shè)B=B(y,rB),對任意的x∈B,(y,t)∈Γ2j(x),z∈(2m+1B2mB)∩B(y,t),存在y0∈B(x,2jt)∩B(z,t),使得

t+2jt≥|z-y0|+|y0-x|≥|x-z|≥|z-y|-|x-y|≥2mrB-rB≥2m-1rB.

所以2j+1t≥2m-1rB,從而有

若Ω∈L∞(sn-1),由式(9)、 H?lder不等式及Ap條件,有

若Ω∈Lq(sn-1),1

由式(22),(23)知

|μΩ,s,2j(f2)(x)|≤C23jn/2‖

若

注意到λ>3,由式(24)得

由引理2可得

因此,

（25）

注2定理1和定理2的結(jié)果是文獻(xiàn)[4]中相應(yīng)強(qiáng)有界性結(jié)果的推廣.

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

WeakEstimatesforLittlewood-PaleyOperatorswithRoughKernelsontheWeightedMorreySpaces

DAI Huiping,TAO Shuangping,GOU Yinxia
(CollegeofMathematicsandStatisticsScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)

Littlewood-Paley operators; weak Morrey spaces;Apweights

2013-10-29.

戴惠萍(1987—),女,漢族,碩士研究生,從事調(diào)和分析的研究,E-mail: daihuiping123@126.com.通信作者: 陶雙平(1964—),男,漢族,博士,教授,博士生導(dǎo)師,從事調(diào)和分析及其在色散方程中應(yīng)用的研究,E-mail: taosp@nwnu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號: 11161042; 11071250).

O174.2

A

1671-5489(2014)05-0888-07