de Sitter空間中的緊致極大類時子流形

胡有婧,紀(jì)永強(qiáng)

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)學(xué)院,銀川 750021； 2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

deSitter空間中的緊致極大類時子流形

胡有婧1,紀(jì)永強(qiáng)2

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)學(xué)院,銀川 750021； 2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

采用活動標(biāo)架法,得到de Sitter空間中類時子流形的Ricci恒等式和第二基本形式長度平方的Laplacian,并得到de Sitter空間中緊致極大類時子流形成為全測地子流形的一些充分條件.

de Sitter空間； Ricci恒等式； 類時； 全測地

1 主要結(jié)果

對于de Sitter空間中的緊致類空子流形,目前已有許多研究結(jié)果[1-4].文獻(xiàn)[5-6]將de Sitter空間中的子流形分類為類空、 類光和類時子流形.本文參考文獻(xiàn)[7-12],通過計算de Sitter空間中類時子流形的Ricci恒等式和第二基本形式長度平方的Laplacian,獲得了如下de Sitter空間中的緊致極大類時子流形成為全測地子流形的充分條件.

2 de Sitter空間中的類時子流形

約定各類指標(biāo)范圍如下:

1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p; 1≤A,B,C,…≤n+p.

將ω1,…,ωn+p限制到Mn上,由于ωα(e1)=…=ωα(en)=0,于是有

對式(6)外微分并利用Cartan引理[8]得

又由式(2),(3),(4),(6),(7),經(jīng)過計算可得[8]

在偽Riemann標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架下,有[5-8]

從而可得de Sitter空間中類時子流形的Ricci恒等式[9]:

設(shè)曲率張量場Kαijk的一階共變導(dǎo)數(shù)為Kαijk;l,類似式(8),則有

由式(5),(9),(11),得

經(jīng)過計算有

仿文獻(xiàn)[10-11]的技巧,對一切實數(shù)A,有

3 定理的證明

3.1定理1的證明

將式(13)代入式(12)得

將式(15)兩邊關(guān)于α求和,再由式(13)得

經(jīng)過計算易得

將式(17)兩邊關(guān)于α,β求和,有

此外,有如下Lincoln不等式[8]成立:

在式(14)中,令A(yù)≥1>0,又由式(16),(18),(19),得

從而

3.2定理2的證明

由文獻(xiàn)[7],有

在式(14)中,令A(yù)≥1>0,由式(16),(18)和(21),得

從而

當(dāng)σ=n(c-2Rmax)時,不等式(16),(18),(21)均為等式,從而有:

Rijij=Rmax,

[1] 許志才.de Sitter空間中具有常均曲率的類空超曲面(Ⅱ) [J].數(shù)學(xué)雜志,1998,18(4): 466-468.(XU Zhicai.Spacelike Hypersurfaces with Constant Mean Curvature in de Sitter Space(Ⅱ) [J].Journal of Mathematics,1998,18(4): 466-468.)

[2]舒世昌,劉三陽.de Sitter空間中具平行平均曲率向量的完備類空子流形(Ⅱ) [J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2002,15(3): 76-80.(SHU Shichang,LIU Sanyang.Complete Spacelike Submanifolds in a de Sitter Space with Parallel Mean Curvature Vector(Ⅱ) [J].Mathematica Applicata,2002,15(3): 76-80.)

[3]劉建成,方慧穎.de Sitter空間中具有平行平均曲率向量的完備類空子流形 [J].西北師范大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版,2009,45(4): 23-26.(LIU Jiancheng,FANG Huiying.Complete Space-Like Submanifolds with Parallel Mean Curvature Vector in de Sitter Spaces [J].Journal of Northwest Normal University: Natural Science,2009,45(4): 23-26.)

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[11]YAU Shingtung.Submanifolds with Constant Mean Curvature Ⅱ [J].American Journal of Mathmatics,1975,97(1): 76-100.

[12]Erbacher J.Reduction of the Codimension of an Isometric Immersion [J].Journal of Differential Geometry,1971,5(3/4): 333-340.

(責(zé)任編輯： 趙立芹)

TheCompactTimelikeSubmanifoldsinthedeSitterSpace

HU Youjing1,JI Yongqiang2
(1.CollegeofMathematicsandComputerScience,NingxiaUniversity,Yinchuan750021,China;
2.CollegeofScience,HuzhouTeachersCollege,Huzhou313000,ZhejiangProvince,China)

Based on the moving frams,the Ricci identity and the Laplacian about the squared norm of the second fundamental form for the timelike submanifolds in de Sitter space were calculated,and some necessary conditions for the compact maximal timelike submanifold in de Sitter space were given.

de Sitter space; Ricci identity; timelike; totally geodesic

2013-12-05.

胡有婧(1978—),女,漢族,碩士,講師,從事子流形幾何的研究,E-mail: hyq@nxu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金青年基金(批準(zhǔn)號： 11201253)和國家自然科學(xué)基金地區(qū)基金(批準(zhǔn)號： 11261042).

O186.12

A

1671-5489(2014)05-0895-06