用變分迭代法解分數階微分方程組

代 群,王長佳,李輝來

(1.長春理工大學 理學院,長春130022; 2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

用變分迭代法解分數階微分方程組

代 群1,王長佳1,李輝來2

(1.長春理工大學 理學院,長春130022; 2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

用變分迭代法求解一類分數階微分方程組,并改進了校正函數.數值結果表明,運用變分迭代法求解分數階微分方程組的近似解有效且準確.

分數階導數; 方程組; 變分迭代法； 校正函數

0 引 言

分數階微積分廣泛應用于自然科學和工程技術等領域,但絕大多數分數階微分方程的準確解很難找到,因此研究分數階微積分的數值和解析算法十分必要.目前,同倫分析法已成功應用于許多非線性問題中,如非線性Vakhnenko方程[1]和分數階KdV-Burger-Kuramoto方程[2]等.文獻[3-4]將Adomian分解法應用于求解線性和非線性分數階微分方程中； Odibat等[5]提出了修正的同倫攝動法,并將其應用于求解分數階Riccati微分方程中.Momani等[6]將變分迭代法應用于求解一類分數階微分方程中.

本文對變分迭代法進行推廣,采用新的校正函數形式,將其應用到下列分數階微分方程組中:

其中Dai是Caputo分數階導算子,0

設Cμ={f(x)|f(x)|=xpg(x),g∈C[0,+∞),p>μ},對于f∈Cμ,定義α階的Riemann-Liouville分數階積分算子[7]Jα如下：

其中J0f(x)=f(x).

Caputo分數階導算子Dα定義[7]如下：

其中:m-1<α≤m,m∈;x>

1 變分迭代法

變分迭代法不需要線性化和離散化,它能提供分析解顯而易見的符號項和數值近似解,可以應用到線性和非線性問題中.

非線性分數階微分方程可寫成下列形式：

Nu+Lu=g(t),

其中:L為線性算子;N為非線性算子.

根據變分迭代法[6],可建立n+1階校正函數:

不妨設方程組(1)的第i個分數階微分方程可寫成下列形式：

Dαixi=Nxi+Lxi+g(t).

（3）

建立方程(3)的n+1階校正函數:

(4)

2 數值實驗

例1考慮如下線性分數階微分方程組：

初始條件：

當α=β=1時,方程組的準確解為

由變分迭代法(4),建立方程組(5)-(6)的n+1階校正函數為:

由變分理論和式(7),有

從而

解得λ1(τ)=-et-τ.同理由式(8)可得λ2(τ)=-et-τ.結合廣義Taylor展式[8]可分別得方程組解的迭代公式:

從而可得近似解:

表1列出了用變分迭代法求解方程組(5)(取α=β=1)的第3階近似解和精確解的值.由表1可見,當α=β=1時,方程組(5)的近似解與準確解高度一致.本文僅計算了第3階的近似解,如果想提高近似度,可以利用變分迭代法計算更高階的近似解.

表1 方程組(5)中當α=β=1時第3階近似解和精確解的值Table 1 Third-order approximate and exact solutions for system (5) obtained at the values of α=β=1

例2考慮如下線性分數階微分方程組：

初始條件：

當α=β=1時,方程組的準確解為

由變分迭代法(4),建立方程組(9)-(10)的n+1階校正函數為:

由變分理論和式(11),有

解得λ1(τ)=-e(t-τ)/2.同理由式(12)可得λ2(τ)=-et-τ.結合廣義Taylor展式分別可得方程組解的迭代公式:

從而可得近似解:

表2列出了用變分迭代法求解方程組(9)(取α=β=1)的第2階近似解和精確解的值.由表2可見,當α=β=1時,方程組(9)的近似解與準確解高度一致,比例1的近似度更高,且更穩定.本文只計算了第2階的近似解,如果想提高近似度,可以利用變分迭代法計算更高階的近似解.

表2 方程組(9)中當α=β=1時第2階近似解和精確解的值Table 2 Second-order approximate and exact solutions for system (9) obtained at the values of α=β=1

綜上,本文改進了校正函數,擴大了運用變分迭代法求解分數階微分方程組的范圍.在例1和例2中,只用變分迭代法計算了方程組的第2階或第3階近似解,數值結果表明,當α=β=1時,方程組的近似解與準確解高度一致,且穩定性較高,因此運用變分迭代法求解分數階方程組有效、 準確.

[1]WU Yongyan,WANG Chun,LIAO Shijun.Solving the One-Loop Soliton Solution of the Vakhnenko Equation by Means of the Homotopy Analysis Method [J].Chaos,Solitons & Fractals,2004,23(5): 1733-1740.

[2]SONG Lina,ZHANG Hongqing.Application of Homotopy Analysis Method to Fractional KdV-Burgers-Kuramoto Equation [J].Phys Lett A,2007,367(1/2): 88-94.

[3]Lesnic D.The Decomposition Method for Initial Value Problems [J].Appl Math Comput,2006,181(1): 206-213.

[4]Jafari H,Daftardar-Gejji V.Solving a System of Nonlinear Fractional Differential Equations Using Adomain Decomposition [J].J Comput Appl Math,2006,196(2): 644-651.

[5]Odibat Z,Momani S.Modified Homotopy Perturbation Method: Application to Quadratic Riccati Differential Equation of Fractional Order [J].Chaos,Solitons & Fractals,2008,36(1): 167-174.

[6]Momani S,Odibat Z.Numerical Comparison of Methods for Solving Linear Differential Equations of Fractional Order [J].Chaos,Solitons & Fractals,2007,31(5): 1248-1255.

[7]代群,李輝來.一類非線性分數階微分方程組的爆破解 [J].吉林大學學報: 理學版,2012,50(1): 1-5.(DAI Qun,LI Huilai.Blowing-up Solutions of a Type of Nonlinear System of Fractional Differential Equations [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2012,50(1): 1-5.)

[8]Odibat Z M,Shawagfeh N T.Generalized Taylor’s Formula [J].Appli Math Comput,2007,186(1): 286-293.

(責任編輯： 趙立芹)

SolvingSystemsofFractionalDifferentialEquationsbyVariationalIterationMethod

DAI Qun1,WANG Changjia1,LI Huilai2
(1.CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China;
2.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

The authors described approximate solutions for systems of fractional differential equations by the variational iteration method,and modified the correction function.Numerical results reveal that variational iteration method is very effective and accurate for obtaining approximate solutions of systems of fractional differential equations.

fractional derivative; system of equation; variational iteration method; correction function

2014-02-27.

代 群(1981—),女,漢族,博士,講師,從事微分方程的研究,E-mail: daiqun1130@163.com.通信作者： 李輝來(1962—),男,漢族,博士,教授,博士生導師,從事微分方程的研究,E-mail: lihuilai@mail.jlu.edu.cn.

國家自然科學基金(批準號: 11326078).

O175.1

A

1671-5489(2014)05-0901-05