Belousov-Zhabotinsky化學反應中可逆Lotka-Volterra模型的多項式首次積分

邢 維,田 華

(吉林大學 數學學院,長春 130012)

Belousov-Zhabotinsky化學反應中可逆Lotka-Volterra模型的多項式首次積分

邢 維,田 華

(吉林大學 數學學院,長春 130012)

考慮一類描述閉等溫反應中振蕩化學動力學行為的可逆Lotka-Volterra模型的多項式首次積分,利用半擬齊次系統的可積性理論,找到Lotka-Volterra模型的一個多項式首次積分,并證明了它是Lotka-Volterra模型唯一的多項式首次積分.

Lotka-Volterra模型; 半擬齊次系統; 首次積分

0 引 言

Belousov-Zhabotinsky(BZ)反應[1-2]是一類化學振蕩反應,是非平衡熱力學的經典例子之一.研究表明,化學振蕩也出現在細胞相互作用要素的力學行為中.化學振蕩反應系統一般有兩類: 一類是開放系統,允許其周圍的物質和能量互相交換； 另一類是封閉系統,不允許有交換.開放系統中的化學振蕩[2-4]及相關動力學問題目前已得到廣泛研究,如極限環的存在性[5]、 混沌[6]、 波動[7-9]及倍周期分岔[10]等,但對封閉系統中化學振蕩的研究報道較少,文獻[11-13]通過可逆Lotka-Volterra(LV)反應研究了封閉化學反應中化學振蕩的動力學行為,結果表明,按照非平衡熱力學規律,該反應會達到一個平衡狀態并產生短暫的似穩定振蕩.

本文考慮如下包含4類化學物質X,Y,A,B的可逆LV反應[11-12]:

類似可得,物質Y,A,B的變化速率方程分別如下:

綜合上述結果,得到描述化學反應(1)的動力學方程組為

本文主要考慮系統(2)多項式首次積分的存在性與唯一性.

1 預備知識

下面簡要介紹半擬齊次系統的定義及相關結果[14-15].考慮解析系統

其中g(x)=(g1(x),g2(x),…,gn(x))在原點x=0的某鄰域內是光滑的.

定義1如果對任意η∈+,x=(x1,x2,…,xn),向量場g=(g1,g2,…,gn)的所有分量都滿足

gj(ηs1x1,ηs2x2,…,ηsnxn)=ηsj+m-1gj(x1,x2,…,xn),

則系統(3)稱為指數為s1,s2,…,sn(si∈,i=1,2,…,n)的m階擬齊次系統.其中:m∈,m>1;E是單位矩陣;S=diag(s1,s2,…,sn);ηE-S=diag(η1-s1,η1-s2,…,η1-sn).

稱為系統(3)的擬齊次截斷.

設系統(3)是半擬齊次的,則在變換

下,系統(3)變為

（6）

假設代數方程

Hc+gm(c)=0

有非平凡解c=ξ,則系統(4)有擬齊次射線形式的特解

x0(t)=t-Hξ,

其中H=αS.做變量變換

x=t-H(ξ+u),

則系統(4)變為

其中

稱為Kowalevski矩陣,而

由定理1可得如下推論.

證明： 設Φ(x)是系統(3)的多項式首次積分,其擬齊次階數為q.利用矩陣S,Φ(x)可重寫為如下形式:

Φ(x,η)=Φq(x)+η-1Φq-1(x)+…+η-qΦ0(x).

2 主要結果

系統(2)可寫成如下形式:

其中:x=(x1,x2,x3,x4);

因此系統(8)是指數為s1=1,s2=1,s3=1,s4=0的負半擬齊次系統,且m=2,α=1,H=αS.

考慮系統(8)的擬齊次截斷系統

（9）

計算得矩陣K的特征根為

φ(x)=x1h1(x4)+x2h2(x4)+x3h3(x4),

整理得

由x1,x2,x3,x4的任意性,有

解得h1(x4)=h2(x4)=h3(x4)=a(任意實數).不失一般性,取a=1,則φ(x)=x1+x2+x3是系統(9)的首次積分.

綜上,可得:

其次尋找系統(8)的首次積分.設Φ(x)是系統(8)的多項式首次積分,利用矩陣S,Φ(x)可重寫為如下形式:

Φ(x)=Φ0(x)+Φ1(x)+…+Φp(x),

其中

因為系統(8)是負半擬齊次系統,所以Φp(x)是系統(9)的非平凡擬齊次積分.由推論1和定理2知,p=1,且Φ1(x)=x1+x2+x3.由推論2知,Φ(x)的擬齊次階數是1.于是

Φ(x)=Φ0(x)+Φ1(x)=h(x4)+x1+x2+x3.

整理得

[h′(x4)k3-k3]x2+[k-3-h′(x4)k-3]x4=0.

由x2,x4的任意性,得

h′(x4)k3-k3=0,k-3-h′(x4)k-3=0,

于是

h′(x4)=1,h(x4)=x4+b,

其中b是任意實數.不失一般性,取b=0,則Φ(x)=x1+x2+x3+x4是系統(8)的首次積分.

綜上,可得:

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[2]Noyse R M,Field R J.Oscillatory Chemical Reactions [J].Ann Rev Phys Chem,1974,25: 95-119.

[3]Hastings S P,Murray J D.The Existence of Oscillatory Solutions in the Field-Noyes Model for the Belousov-Zhabotinsky Reaction [J].SIAM J Appl Math,1975,28(3): 678-688.

[4]JIANG Daquan,QIAN Min,QIAN Mingping.Mathematical Theory of Nonequilibrium Steady States: On the Frontier of Probability and Dynamical Systems [M].New York: Springer,2004.

[5]Field R J,Noyes R M.Oscillations in Chemical System.Ⅳ.Limit Cycle Behavior in a Model of a Real Chemical Reaction [J].J Chem Phys,1974,60: 1877-1884.

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[10]Marts B,Simpson D J W,Hagberg A,et al.Period Doubling in a Periodically Forced Belousov-Zhabotinsky Reaction [J].Phy Rev E,2007,76(3): 026213.

[11]LI Yongfeng,QIAN Hong,YI Yingfei.Oscillations and Multiscale Dynamics in a Closed Chemical Reaction System: Second Law of Thermodynamics and Temporal Complexity [J].J Chem Phys,2008,129(15): 154505.

[12]LI Yongfeng,QIAN Hong,YI Yingfei.Nonlinear Oscillations and Multiscale Dynamics in a Closed Chemical Reaction System [J].J Dyn Diff Equat,2010,22(3): 491-507.

[13]Qian H.Phosphorylation Energy Hypothesis: Open Chemical Systems and Their Biological Functions [J].Ann Rev Phys Chem,2007,58: 113-142.

[14]Kwek K H,LI Yong,SHI Shaoyun.Partial Integrability for General Nonlinear Systems [J].Z Angew Math Phys,2003,54(1): 26-47.

[15]Furta S D.On Non-integrability of General Systems of Differential Equations [J].Z Angew Math Phys,1996,47(1): 112-131.

(責任編輯： 趙立芹)

PolynomialFirstIntegralofReversibleLotka-VolterraModelinBelousov-ZhabotinskyReaction

XING Wei,TIAN Hua
(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

We considered the polynomial first integral for reversible Lotka-Volterra model which describes the oscillatory chemical dynamics in a closed isothermal reaction.Making use of integrability theories of semi-quasihomogeneous systems,we proved that the Lotka-Votterra model is a unique polynomial first integral.

Lotka-Volterra model; semi-quasihomogeneous system; first integral

2014-01-08.

邢 維(1988—),女,漢族,碩士研究生,從事常微分方程理論及應用的研究,E-mail: 1045233903@qq.com.通信作者: 田 華(1964—),女,漢族， 高級工程師,從事常微分方程理論及應用的研究,E-mail: thua@jlu.edu.cn.

吉林省科技發展計劃項目(批準號： 20140520053JH).

O175.12

A

1671-5489(2014)05-0906-05