Cartesian點集Lagrange投影算子的誤差公式

李 喆,孫 艷

(長春理工大學 理學院,長春 130022)

Cartesian點集Lagrange投影算子的誤差公式

李 喆,孫 艷

(長春理工大學 理學院,長春 130022)

考慮多元插值問題的插值余項估計問題.針對好誤差公式的概念,給出了推廣好誤差公式的概念,并以三維Cartesian點集為例,利用B樣條與差商的關系給出Cartesian點集Lagrange插值誤差公式的積分形式.該結果可以推廣到d維空間中.

Cartesian點集; Lagrange投影算子; 誤差公式

0 引 言

令F表示特征為零的數域,F[x]∶=F[x1,…,xd]表示數域F上的d元多項式環.理想投影算子為定義在F[x]上,核為理想的線性冪零算子[1-3].該理想由所有滿足齊次插值條件的多項式集合構成,理想插值包含了Lagrange和Hermite插值.Lagrange插值對應的算子稱為Lagrange投影算子.當理想投影算子的核空間為某一有限互異點集Ξ?Fd上的消逝理想時,該理想投影算子為Lagrange投影算子.Lagrange投影算子對應的插值問題是Lagrange插值.Hermite投影算子定義為一列Lagrange投影算子的逐點極限形式[4],其對應的插值問題是Hermite插值.特別地,插值條件僅與方向導數有關的插值問題屬于Hermite插值.

在多元情形中,人們期望理想投影算子也具有與一元情形結構相同的誤差公式.為此,Boor[2]提出了理想投影算子好誤差公式的概念,并證明了張量積節點和滿足GC條件節點的Lagrange投影算子具有好誤差公式[10].但Shekhtman[11]證明了一個非常簡單的二元理想投影算子不具有好誤差公式.所以,Shekhtman相信大多數理想投影算子不具有好誤差公式.Cartesian點集是一類具有特殊幾何結構的點集,其消逝理想具有唯一的單項商環基底[12].本文推廣了好誤差公式的概念,利用B樣條與差商的關系給出三維Cartesian點集的Lagrange投影算子Newton型插值公式及誤差公式的形式,該結果可推廣到d維Cartesian點集.

1 預備知識

設P為d元多項式環F[x]上的理想投影算子,則P的像空間和核空間分別為

其中: ranP構成F[x]的一個有限維子空間; KerP構成F[x]的一個理想.

定義1[2]設P為理想投影算子,{h1,…,hm}為核空間KerP的理想基.若存在齊次多項式Hj和線性算子Cj: F[x]→F[x](j=1,2,…,m),使得對任何f∈F[x],都有

Hj(D)hk=δj,k, ?j,k=1,2,…,m,

且

則稱理想基{h1,…,hm}支撐好誤差公式.

定義2[13-14]有限互異節點集合Ξ?Fd稱為Cartesian點集當且僅當存在lower集A?d和單射函數yi:→F(i=1,2,…,d),使得Ξ可以表示為

其中對固定的i及其所有可能的αi,ξi,αi是互不相同的.Ξ也稱為A-Cartesian點集.

2 主要結果

設Ξ?F3為A-Cartesian點集,其中

定義mk∶=nk(mk-1,…,m1),其中k=2,3.不失一般性,假設ξj,0≤…≤ξj,vj,其中0≤v1≤m1,0≤v2≤m2,0≤v3≤m3.定義多項式

定義F[x1,x2,x3]上的線性算子:

式中被積函數為F[x1,x2,x3]上的多項式,故C1,C2,v1,C3,v1,v2是從F[x1,x2,x3]到F[x1,x2,x3]上的線性算子.對于函數f(x1,x2,x3),視x2,x3為固定值,可得關于變量x1的一元差商:

再視上述差商中的x3為固定,可得關于變量x1,x2的二元差商:

最后可得關于變量x1,x2,x3的三元差商:

命題1[13]設P為三維A-Cartesian點集Ξ上的Lagrange投影算子,其中A由式(2)定義.則

構成KerP的理想基.

命題2

證明: 任取0≤i1≤v1,將f(x1,x2,x3)在ξ1,i1處關于變量x1進行Taylor展開,有

由于

故

因此

而

由式(3)可證式(7)成立.任取0≤i2≤v2,將f(ξ1,i1,x2,x3)在ξ2,i2處關于變量x2進行Taylor展開,有

將式(13)代入式(10)可得

由式(4),(12),可證式(8)成立.任取0≤i3≤v3,將f(ξ1,i1,ξ2,i2,x3)在ξ3,i3處關于變量x3進行Taylor展開,有

將式(15),(13)代入式(10)可得

由式(5),(12),可證式(9)成立.證畢.

定理1設P為三維A-Cartesian點集Ξ上的Lagrange投影算子,則理想基H,齊次多項式H1,H2,v1,H3,v1,v2和線性算子C1,C2,v1,C3,v1,v2滿足條件:

且對任何f∈F[x1,x2,x3],有

其中: 0≤v1≤m1; 0≤v2≤n2(v1).

證明: 式(17)可直接驗證.根據一元Newton插值公式有

并且

綜上,A-Cartesian點集Ξ上的Lagrange投影算子,其Newton型插值公式為

誤差公式為

由命題2可證式(18)成立.證畢.

注1定理1中構造誤差公式的方法是形式化的,與維數無關,所以定理1的結果可直接推廣到d維空間.

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(責任編輯： 趙立芹)

ErrorFormulasofLagrangeProjectorsforCartesianPointSets

LI Zhe,SUN Yan
(CollegeofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China)

This paper generalized good error formulas and considered Lagrange interpolation for Cartesian point sets.Taking 3-dimension Cartesian point sets for example,we provided the integral form of error formulas for this class of interpolation problem using the relationship between the B-spline and finite difference quotient.The results can be generalized in thed-dimensional Cartesian point sets.

Cartesian point sets; Lagrange projectors; error formulas

2014-01-24.

李 喆(1981—),女,漢族,博士,講師,從事符號計算及符號數值混合計算的研究,E-mail: zheli200809@163.com.通信作者: 孫 艷(1964—),女,漢族,副教授,從事常微分方程及其數值計算的研究,E-mail: sunyancust@163.com.

國家自然科學基金(批準號: 11171133)和數學天元基金(批準號: 11326209).

O241.3

A

1671-5489(2014)05-0911-05