ρ-混合隨機變量序列加權和的完全收斂性質

譚希麗,王 淼

(北華大學 數學與統計學院,吉林 吉林 132013)

ρ-混合隨機變量序列加權和的完全收斂性質

譚希麗,王 淼

(北華大學 數學與統計學院,吉林 吉林 132013)

應用ρ-混合隨機變量序列截斷法、 H?lder不等式、 Markov不等式、 Jensen不等式、 Cr不等式及ρ-混合隨機變量的Rosenthal型矩不等式,考察在沒有同分布假設條件下,ρ-混合隨機變量序列加權和的完全收斂性質,并利用Borel-Cantelli引理,給出ρ-混合隨機變量序列加權和的Marcinkiewicz-Zygmund型強大數定律.

ρ-混合隨機變量序列; 完全收斂性質; Marcinkiewicz-Zygmund型強大數定律

0 引 言

許多基于隨機樣本的線性統計量都是獨立同分布隨機變量的加權和,如最小二乘估計和非參數回歸函數估計等.目前,對這些加權和的強極限定理研究在概率論與數理統計中已取得了很大進展.本文進一步研究ρ-混合隨機變量序列加權和的完全收斂性質.

設{Xn,n≥1}是定義在概率空間(Ω,F,P)的一個隨機變量序列,記FS=σ(Xi,i∈S?).在F中給定σ域B,R.令

定義1[1]如果存在k∈,使得則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是混合隨機變量序列.

定義2[2]如果

ρ-(s)=sup{ρ-(S,T):S,T?,dist(S,T)≥s}→0 (s→∞),

其中

C為單調不減函數類.則稱{Xn,n≥1}是ρ-混合隨機變量序列.

1 主要結果

定義3若存在一個正常數C,使得對任意x≥0,且n≥1,有

P(|Xn|>x)≤CP(|X|>x),

則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}被隨機變量X隨機控制,記作{Xn}X.

定理1設{Xn,n≥1}是一個ρ-混合隨機變量序列,X是一個隨機變量,滿足{Xn}X,且{ani,i≥1,n≥1}是一個常數陣列.若滿足如下兩個條件:

則對任意ε>0,有

其中bn=n1/αlog1/γn,γ>0.

定理2設{Xn,n≥1}是一個ρ-混合隨機變量序列,X是一個隨機變量,滿足{Xn}X,且{ani,i≥1,n≥1}是一個常數陣列.假設存在0<α≤2,使得并進一步假設當1<α≤2時,EXn=0.若存在某個β>1+2α,使得E<∞.則對任意ε>0,有

其中bn=n1/αlog1/γn,γ>0.

定理3設{Xn,n≥1}是一個ρ-混合隨機變量序列,X是一個隨機變量,滿足{Xn}X,且{an,n≥1}是一個常數序列.假設存在0<α≤2,使得并進一步假設當1<α≤2時,EXn=0.若存在某個β>1+2α,使得E<∞.則對任意ε>0,有

及

引理1[10]設{Xn,n≥1}是一個隨機變量序列,X是一個隨機變量,{Xn}X,對任意的α>0,b>0,下列兩式成立:

引理3[11]設{Xn,n≥1}是ρ-混合隨機變量序列,f(x)為定義在不相交子集上單調遞增的函數,則{f(Xn),n≥1}仍為ρ-混合隨機變量序列,且混合系數不大于原來的混合系數.

下面證明定理1.設

易證對任意ε>0,有

?

從而可得

先證明

（6）

（7）

因此,當1<α≤2時,由EXn=0,得

EXnI(|Xn|≤bn)=-EXnI(|Xn|>bn).

由引理1、 式(7)中令k=1、 Markov不等式和定理1中條件(2),可得

因此當1<α≤2時,式(6)成立.當0<α≤1時,由引理1、 引理2、 Markov不等式以及定理1中條件(2)且0<δ<1,有

由此得當0<α≤1時,式(6)成立,進而結合式(8)和式(9)知當0<α≤2時,式(6)成立.從而當n無窮大時,

為了證明式(1),只需證

及

由隨機控制定義、 Markov不等式和定理1中條件(2),有

再由Cr不等式、 引理1、 引理2和Jensen不等式,類似于式(13)的證明,有

由式(12)～(14)可證明定理1成立.

定理2的證明類似于證明定理1的方法,故略.定理3的證明與文獻[13]中定理2.3的證明類似,故略.

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(責任編輯： 趙立芹)

StrongConvergenceResultsforWeightedSumsofρ--MixingRandomVariablesSequence

TAN Xili,WANG Miao
(CollegeofMathematicsandStatistics,BeihuaUniversity,Jilin132013,JilinProvince,China)

The authors studied the complete convergence for weighted sums ofρ--mixing random variables sequence without assumption of identical distribution via truncation method forρ--mixing random variables sequence,H?lder inequality,Markov inequality,Jensen inequality,Cr inequality,moment inequality and Rosenthal inequality.As an example of application,we further extended the Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers for weighted sums ofρ--mixing random variables sequence with the aid of Borel-Cantelli lemma.

ρ--mixing random variables sequence; complete convergence; Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers

2014-01-15.

譚希麗(1974—),女,漢族,博士,副教授,從事概率極限理論的研究,E-mail: tanxl0832@sina.com.

國家自然科學基金(批準號: 11171003).

O211.4

A

1671-5489(2014)05-0927-06