相對轉動系統的Hopf分岔分析及分岔控制

張中華,李鵬松,付景超,盛桂全

(東北電力大學 理學院,吉林 吉林 132012)

(λ11,λ12,λ13)=(5i,-5i,-3), (λ11,λ12,λ13)=(4.243i,-4.243i,-10),

相對轉動系統的Hopf分岔分析及分岔控制

張中華,李鵬松,付景超,盛桂全

(東北電力大學 理學院,吉林 吉林 132012)

考慮一類非線性摩擦阻尼力作用下相對轉動系統的Hopf分岔類型及分岔控制問題. 先運用中心流形理論將原系統降維,通過計算降維后系統的穩定性指標判定原系統的Hopf分岔類型； 再設計基于Washout濾波器的立方非線性項控制器對系統進行Hopf分岔控制,并討論控制參數對Hopf分岔類型及極限環幅值的影響. 結果表明,當控制參數滿足一定條件時,可將原系統具有潛在威脅的亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔,保證系統正常運行,并且運行幅值隨控制參數的減小而減小.

相對轉動； Hopf分岔； 分岔控制； 中心流形理論； Washout濾波器

非線性相對轉動系統具有復雜的動力學行為,研究表明,傳動系統中存在復雜的非線性因素,如間隙、 時變剛度和非線性阻尼等,這些因素都可能導致系統發生Hopf分岔,有時還會導致發生混沌現象,進而使系統發生非線性動力學行為,對傳動系統產生較大影響[1-2]. 因此,研究相對轉動系統Hopf分岔行為及控制具有重要意義. 分岔控制的主要任務是研究分岔產生的機理,提出分岔控制的有效方法[3-4],如通過改變控制器的線性部分提前、 延遲或消除Hopf分岔的發生,通過改變控制器的非線性部分控制分岔產生的周期解振幅大小等[5-7].

文獻[8]研究了一類具有同宿軌道、 異宿軌道的相對轉動非線性動力系統的混沌運動,但未對分岔行為進行研究; 文獻[9]研究了一類高維相對轉動非線性動力系統的降維與分岔特性,并采用Lyapunov-Schmidt(LS)約化方法,先對高維系統降維,再運用奇異性理論對降維后的等價分岔方程進行普適開折,分析了系統的分岔特性,但未對系統進行分岔控制的研究; 文獻[10]建立了一類含準周期參數激勵和時滯反饋的相對轉動非線性系統動力學方程,采用多尺度法分析了系統的穩定性,但未研究系統的分岔控制. 目前,針對相對轉動系統的研究主要集中在分岔行為和混沌運動上[11],對分岔控制的研究相對較少[12].

本文針對一類相對轉動系統,先尋找到系統的Hopf分岔點,再利用中心流形理論討論系統在Hopf分岔點附近的分岔類型； 然后設計基于Washout濾波器的立方非線性項控制器,在不改變原系統平衡點及Hopf分岔點的前提下,對系統進行分岔控制,主要通過對負載端的非線性摩擦阻尼力施加控制實現,將系統具有潛在威脅的亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔,保證系統的穩定運行； 最后,通過仿真分析驗證所設計控制器的實用性和有效性.

1 相對轉動系統模型

相對轉動系統是工程中廣泛存在的動力傳遞系統,對于兩質量相對轉動系統,系統的動能和勢能分別為

系統Lagrange函數L和耗散函數F分別為

廣義力矩為

（4）

將式(3)和式(4)代入式(5)得

針對廣泛存在的一類非線性滑動摩擦情形,本文主要研究兩質量相對轉動非線性系統的Hopf分岔類型. 令

式中α,b,γ為系數,將式(7)代入系統(6)得

令T1=0,T2=-α,此時系統(9)有平衡點O(0,0,0),M(x01,x02,x03),其中x02=x03.

2 平衡點的穩定性分析及Hopf分岔類型

下面分析平衡點O的穩定性. 系統(9)在平衡點O的線性化矩陣為

對應的特征方程為

其中:

a0=1;a1=2C-b;a2=2K-bC;a3=-bK.

令

根據Routh-Hurwitz判據知:

1) 若滿足Δ1>0,Δ2>0,a3>0,則平衡點O是穩定的.

2) 選擇b為分岔參數,若滿足條件

即

則平衡點O是不穩定的,系統(9)在平衡點O發生Hopf分岔. 將λ視為參數b的函數,將式(10)兩端同時對b求導得

取J1=1,J2=1,C=-1,K=15,γ=1,T1=0,T2=-α. 根據式(12),(13)可知,式(9)在b=b01=-5和b=b02=-12處發生Hopf分岔,此時,式(9)對應的分岔點為

H1： (x1,x2,x3,b)=(0,0,0,-5);H2： (x1,x2,x3,b)=(0,0,0,-12).

在分岔點處對應的特征值分別為

(λ11,λ12,λ13)=(5i,-5i,-3), (λ11,λ12,λ13)=(4.243i,-4.243i,-10),

并且有:

根據上述結果,由Hopf分岔理論知,當b>b01=-5或b

下面判斷分岔點H1處的分岔類型. 對系統(9)兩端做線性變換(x1,x2,x3)T=Ty,其中:y=(y1,y2,y3)T;T為分岔點H1處導算子特征值對應特征向量的實部和虛部所組成的變換矩陣,得如下方程組:

其中hi(y)(i=1,2,3)為包含y1,y2,y3的非線性部分. 根據中心流形定理,可設系統(14)的中心流形為如下形式：

c11=0.049 9,c12=-0.066 6,c15=0.106 9.

在Hopf分岔點H1處利用中心流形理論降維,得系統(9)的簡化形式為

其中U(y1,y2)和V(y1,y2)為含y1和y2的高階項. 舍去系統的高階項(只保留二階項),代入分岔穩定性指標[13]:

其中β的正負決定Hopf分岔發生時系統軌道的穩定性: 若β>0,則在臨界點附近,系統由Lyapunov意義下的漸近穩定躍變為軌道不穩的非線性振蕩,稱為亞臨界Hopf分岔； 若β<0,則在臨界點附近,系統由Lyapunov意義下的不穩定(增幅振蕩)躍變為軌道穩定的非線性振蕩(等幅振蕩),稱為超臨界Hopf分岔. 由文獻[14]知,式(16)與系統(9)有相同的非線性穩定性,因此研究式(16)在平衡點(0,0)的穩定性及分岔類型等價于研究系統(9)在相應平衡點(0,0,0)處的穩定性及分岔類型. 由式(16),(17)計算得β=0.001>0,所以,式(16)在(0,0)處的分岔周期解為軌道漸近不穩定,即極限環是不穩定的,發生的Hopf分岔為亞臨界分岔.

對于亞臨界Hopf分岔點H1存在兩個由初始條件決定的不同運動軌跡： 當參數b<-5且|b+5|?1時,若初值較小,則平衡點局部漸近穩定,如圖1(A)所示； 當初值較大時,響應跳變到幅值較大且不穩定的極限環上,導致系統失穩,如圖1(B)所示,圖1中b=-5.2. 當b>-5時,平衡點發散,系統失穩,產生增幅振蕩,如圖2所示.

圖1 系統(9)在不同條件下的相圖Fig.1 Phase chart of system (9) with diffrent conditions

利用類似方法可計算系統(9)在分岔點H2處的分岔穩定性指標β=-9.2×10-4<0,由Hopf分岔理論知,系統(9)在分岔點H2處的分岔周期解是軌道漸近穩定的,產生與初始條件無關的穩定極限環,發生的Hopf分岔為超臨界分岔. 當b>-12時,平衡點漸近穩定,如圖3所示； 當b<-12時,平衡點不穩定并在附近產生穩定的極限環,如圖4所示. 此外,利用Matcont軟件還可搜尋到系統(9)的另兩個非零平衡點處的Hopf分岔點:

H3： (x1,x2,x3,b)=(0,-5,-5,5);H4： (x1,x2,x3,b)=(0,-12,-12,12).

各分岔點位置如圖5所示.

圖2 b=-4.5時系統(9)的相圖Fig.2 Phase chart of system (9) when b=-4.5

圖3 b=-10.5時系統(9)的相圖Fig.3 Phase chart of system (9) when b=-10.5

圖4 b=-13.2時系統(9)的波形圖(A)和相圖(B)Fig.4 Waveform chart (A) and phase chart (B)of system (9) when b=-13.2

圖5 平衡點的分岔位置Fig.5 Bifurcation positionnear equilibrium

利用相同方法可判定系統(9)在非零平衡點M(0,-5,-5)和M(0,-12,-12)處的Hopf分岔類型.

3 系統的Hopf分岔控制

亞臨界Hopf分岔會使系統產生增幅振蕩,導致系統結構失穩,還會引起混沌的發生. 而相對轉動系統中存在的間隙、 時變剛度和非線性阻尼等非線性因素在一些條件下可能會導致系統發生亞臨界Hopf分岔,使系統發生非線性振動,從而對傳動產生影響. 為了避免這種情況發生,實現對系統穩定性的控制,本文設計基于Washout濾波器的非線性控制器,對亞臨界Hopf分岔點H1進行分岔控制,目的是改變系統(9)在分岔點H1處的Hopf分岔類型,使系統的增幅振蕩變為等幅振蕩,保持系統結構穩定. 這里只對非線性摩擦阻尼力T1實施控制,控制后的系統表達式如下：

其中u=k(x2-ξv)3. 顯然,非線性控制器沒有改變原系統的平衡點. 取J1=1,J2=1,C=-1,K=15,γ=1,T1=0,T2=-α,ξ=0.5,b=-5,則系統(18)在平衡點H1處Jacobi矩陣對應的特征值分別為λ1,2=±5i,λ3=-3,λ4=-0.5. 對系統(18)兩端做線性變換(x1,x2,x3,x4)T=Py,可得系統(18)的Poincare規范形:

其中:

Fi(y)(i=1,2,3,4)是包含y1,y2,y3,y4,k的非線性部分,

根據Poincaré規范形理論,計算式(19)的Hopf分岔穩定性指標[13]:

計算式(21)中各特征量為

根據上述計算結果及式(21)可得式(19)的Hopf分岔穩定性指標為

當k=0時,β>0,即未施加控制器前,系統發生的為亞臨界Hopf分岔,這與上述討論結果相符. 當參數b>b0=-5時,若滿足k<-0.053,則β<0,系統發生超臨界Hopf分岔,系統周期軌道穩定,出現穩定的極限環,表明在施加控制器后,當非線性控制參數滿足一定條件時,可使原系統Hopf分岔特性發生變化,在平衡點附近產生與初值條件無關的穩定極限環,且幅值大小可以被k控制,并且幅值隨控制參數k的減小而減小,如圖6和圖7所示.

圖6 當b=-4.5,k=-0.3時系統(18)的波形圖(A)和相圖(B)Fig.6 Waveform chart (A) and phase chart (B) of system (18) when b=-4.5,k=-0.3

圖7 當b=-4.5,k=-1.6時系統(18)的波形圖(A)和相圖(B)Fig.7 Waveform chart (A) and phase chart (B) of system (18) when b=-4.5,k=-1.6

綜上,本文主要研究了一類非線性摩擦阻尼力作用下相對轉動系統的Hopf分岔和分岔控制問題. 利用中心流形理論研究了系統的分岔類型為亞臨界Hopf分岔,設計了基于Washout濾波器的控制方法對影響系統穩定的亞臨界Hopf分岔進行控制,分岔控制主要通過對負載端的摩擦阻尼力施加控制實現. 理論分析和數值仿真結果表明,當控制參數滿足一定條件時,可將原系統的亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔,增幅振蕩變為等幅振蕩,從而保證系統的穩定運行. 本文研究方法適用于含單參數非線性動力系統的Hopf分岔分析和分岔控制.

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(責任編輯： 趙立芹)

HopfBifurcationAnalysisandBifurcationControlofaRelativeRotationSystem

ZHANG Zhonghua,LI Pengsong,FU Jingchao,SHENG Guiquan
(CollegeofScience,NortheastDianliUniversity,Jilin132012,JilinProvince,China)

Hopf bifurcation type and Hopf bifurcation control of a relative rotation dynamical system with nonlinear damping force were mainly studied. Firstly,the original system was changed to a two-dimensional system via center manifold theory,and the stability coefficient of the two-dimensional system was calculated to determine the Hopf bifurcation type of the original system. Then,the cubic nonlinear controller based on Washout filter theory was designed to control Hopf bifurcation,and the effects of control parameter on Hopf bifurcation type and periodic solution’s amplitude were discussed. The results show that when the control parameter satisfies certain condition,the potential threat subcritical Hopf bifurcation of original will be changed to supercritical Hopf bifurcation,thus the normal vibration of original system is guaranteed,and the amplitude of vibration will decrease with the reduction of the control parameter.

relatively rotation; Hopf bifurcation; bifurcation control; center manifold theory; Washout filter

2013-12-19.

張中華(1979—),女,漢族,博士,講師,從事非線性動力系統分岔分析與控制的研究,E-mail: zhangzhonghua1979@126.com.

吉林省科技發展計劃項目(批準號: 20130101065JC)和吉林省教育廳“十二五”科技研究項目(批準號: 吉教科合字[2013]第429號).

O193

A

1671-5489(2014)05-0961-08