一類可壓縮非牛頓流解的爆破準則

李華鵬,朱秀麗,李鵬松,袁洪君

(1. 東北電力大學 理學院,吉林 吉林 132012； 2. 吉林大學 數學學院,長春 130012)

一類可壓縮非牛頓流解的爆破準則

李華鵬1,朱秀麗1,李鵬松1,袁洪君2

(1. 東北電力大學 理學院,吉林 吉林 132012； 2. 吉林大學 數學學院,長春 130012)

利用反證法研究一類真空可壓縮非牛頓流體,給出了其強解的爆破準則. 即當時間t趨于臨界時間T*時,若速度的導數是有界的,則該局部強解關于時間可以延拓成整體解. 特別地,允許初始密度含有真空的情形.

爆破準則； 可壓縮非牛頓流體； 真空； 強解

考慮一類可壓縮非牛頓流體方程：

帶有初邊值條件

其中:p>2,μ0>0是給定的正常數;ΩT=I×(0,T),I=(0,1); (ρ0,u0)為已知函數,滿足

非牛頓流體應用廣泛,如石油、 泥漿、 油漆以及人體的血液、 淋巴液等都屬于非牛頓流體. 目前,關于可壓縮非牛頓流體方程解的研究已取得一些成果,例如： 文獻[1]研究了一類具線性阻尼和真空的可壓縮非牛頓流強解的存在唯一性； 文獻[2]研究了一類可壓縮剪切變稠流速度的有限傳播性質及其強解的存在唯一性； 文獻[3]研究了一類非牛頓流體小初值整體強解的存在唯一性. 關于爆破準則的研究可參見文獻[4-7]. 本文研究非牛頓流體數學模型強解的爆破準則問題.

先給出問題(1)-(2)強解的局部存在性[8]結論.

證明思路： 利用反證法,假設

（5）

在方程(1)1兩端同時乘pρp-1(p≥γ)并在I上積分,利用標準能量估計可得密度ρ的L∞估計.

將式(1)1代入式(1)2中,并對所得方程關于t求導,在兩端同時乘以ut后再積分,利用引理1和引理2及Gronwall’s不等式,易得:

利用方程組(1)及前述引理,易得如下二階估計.

[1]YUAN Hongjun,LI Huapeng. Existence and Uniqueness of Solutions for a Class of Non-Newtonian Fluids with Vacuum and Damping [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,391(1): 223-239.

[2]YUAN Hongjun,LI Huapeng. Finite Velocity of the Propagation of Perturbations for a Class of Non-Newtonian Fluids [J]. Acta Applicandae Mathematicae,2013,125: 49-77.

[3]WANG Changjia,YUAN Hongjun. Global Strong Solutions for a Class of Compressible Non-Newtonian Fluids with Vacuum [J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences,2011,34(4): 397-417.

[4]Cho Y G,Choe H J,Kim H. Unique Solvability of the Initial Boundary Value Problems for Compressible Viscous Fluids [J]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,2004,83(2): 243-275.

[5]HUANG Xiangdi,LI Jing,XIN Zhouping. Blowup Criterion for Viscous Baratropic Flows with Vacuum States [J]. Communications in Mathematical Physics,2011,301(1): 23-35.

[6]HUANG Xiangdi,XIN Zhouping. A Blow-up Criterion for Classical Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equations [J]. Science China Mathematics,2010,53(3): 671-686.

[7]SUN Yongzhong,WANG Chao,ZHANG Zhifei. A Beale-Kato-Majda Blow-up Criterion for the 3-D Compressible Navier-Stokes Equations [J]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,2011,95(1): 36-47.

[8]YAUN Hongjun,XU Xiaojing. Existence and Uniqueness of Solutions for a Class of Non-Newtonian Fluids with Singularity and Vacuum [J]. Journal of Differential Equations,2008,245(10): 2871-2916.

(責任編輯： 趙立芹)

Blow-upCriterionforaClassofCompressibleNon-NewtonianFluidswithVacuum

LI Huapeng1,ZHU Xiuli1,LI Pengsong1,YUAN Hongjun2
(1.CollegeofScience,NortheastDianliUniversity,Jilin132012,JilinProvince,China;
2.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

We obtained a blow-up criterion for strong solutions to a class of compressible non-Newtonian fluids just in terms of the derivative of the velocity using the proof of contradiction. In other words,if the derivative of the velocity remains bounded as timetapproaches to the critical time,a local strong solution can be continued globally in time. In addition,the initial vacuum states are allowed in our cases.

blow-up criterion; compressible non-Newtonian fluids; vacuum; strong solutions

2014-06-26.

李華鵬(1984—),男,漢族,博士,講師,從事偏微分方程的研究,E-mail: huapeng.li@163.com.

國家自然科學基金(批準號： 11271153)、 博士點基金(批準號： 20140101-20161231)、 吉林省科技發展計劃項目(批準號： 20130101065JC)和東北電力大學博士科研啟動基金(批準號： BSJXM-201331).

O175.2

A

1671-5489(2014)05-0969-02