含間隙高速多連桿傳動機構動力學特性研究

張增磊，巫世晶，趙文強,2，王曉筍

(1.武漢大學 動力與機械學院，武漢 430072；2.河南平高電氣股份有限公司，河南 平頂山 467001)

間隙作為機械系統典型特征對高速重載傳動機構運動學及動力學響應會產生深度影響，使傳動機構呈現強烈非線性振動特性。對含轉動副間隙機構進行動態特性研究前提為對其建立準確、高效動力學模型[1-2]。通過大量理論與實驗研究探索轉動副間隙對傳動機構動態特性影響，并按不同假設形成不同的建模理論與方法，主要有三種，即基于接觸-分離的二狀態模型[3-5]、基于接觸-分離-碰撞的三狀態模型[6-9]及基于連續接觸的連續接觸模型[10-15]。連續接觸模型較簡單，較難反映副元素間動力學特性；三狀態模型較復雜，且不能求解接觸碰撞力；二狀態模型在模型精確性或求解難度均符合實際需要，在二狀態模型基礎上逐漸發展成為碰撞鉸模型[16]。

本文基于間隙矢量模型，考慮構件制造、裝配誤差建立高速多連桿傳動機構含間隙轉動副的碰撞鉸模型，并用非線性彈簧阻尼模型描述運動副元素法向接觸力與位移關系，用修正的庫倫摩擦模型描述運動副元素切向摩擦力與位移關系，建立該傳動機構動力學模型，并嵌入ADAMS軟件，分析轉動副間隙對該傳動機構動力學特性影響。

1 動力學建模

1.1 間隙矢量模型

將轉動副間隙嵌入系統動力學模型為含間隙機構動力學建模關鍵。本文用間隙矢量模型能合理描述轉動副間隙并能將其引入系統動力學模型，即在含間隙轉動副中引入間隙矢量，并通過間隙矢量描述含間隙轉動副元素間相對運動關系，相鄰構件間精確相對位置變化用間隙矢量表示，可有效處理因構件制造誤差所致連接點相對位置變化。

圖1 間隙矢量模型

間隙矢量定義在浮動局部笛卡爾坐標系中，起點為軸套中心，終點為軸頸中心，方向為軸頸與軸套在機構運行中可能發生碰撞的點，間隙矢量大小限制在以軸承中心為圓心的間隙圓內，間隙圓半徑為軸與軸承半徑之差，因此構件的相對運動狀態可由間隙矢量大小變化反映，且亦能反映間隙運動副元素是否接觸，見圖1。

1.2 含間隙轉動副模型

因制造誤差、裝配要求及磨損等因素，間隙不可避免存在于實際機械系統轉動副中。間隙的存在使軸頸與軸套并非同心，會產生半徑方向的偏心距eij；因磨損、擠壓變形等，間隙變化呈隨機性，軸頸與軸套相對位置不會隨時確定，從而影響間隙轉動副運動學、動力學行為，使分析變得復雜。為描述間隙動態變化及不確定性所致動力學影響，基于間隙矢量模型對間隙轉動副建模。設相鄰構件間只通過轉動副連接，則間隙被定義為軸頸與軸套在配合位置的半徑差；認為間隙轉動副元素間存在分離、接觸及穿透三種狀態。含間隙轉動副模型見圖2。

圖2 含間隙轉動副模型

在圖2模型中，ei表示軸頸相對軸套偏心距，計算式為

(1)

徑向間隙為常量，定義為

c=ri-ri+1

(2)

式中：ri，ri+1分別為構成轉動副的軸套、軸頸半徑。

因碰撞產生的接觸變形可表示為

δi=ei-c

(3)

可據接觸變形大小確定轉動副元素處于分離、接觸或穿透狀態。圖2 (a)為分離狀態，此時軸頸與軸套并未接觸，軸頸可在軸套邊界內自由運動；圖2(b)為接觸狀態，此時軸頸與軸套恰好接觸，為分離狀態結束或穿透狀態開始時刻；圖2(c)位穿透狀態，此時軸頸與軸套間產生彈性變形，兩者時刻保持接觸。接觸碰撞法向力Fn與切向力Ft計算式為

(4)

式中：K為接觸剛度系數；δn為接觸時軸頸與軸套相對穿透深度；m為非線性彈性接觸力指數，與材料特性密切相關；Cn，Ct分別為法向、切向粘滯阻尼系數；f為摩擦系數；Vt為副元素間相對滑移速度；sign(Vt)為滑移速度符號函數，用于判斷摩擦力方向。

接觸剛度系數與接觸面形狀及物理屬性密切相關，計算式為

(5)

(6)

式中：hk為與材料屬性相關系數；μk，Ek分別為副元素所在構件泊松比及彈性模量；ri，ri+1分別為接觸處副元素曲率半徑。

1.3 實際機構動力學建模

用間隙矢量模型建立轉動副間隙動力學模型后便可將其用于實際機械系統。本文研究某高壓斷路器中用于分合閘動作的連桿驅動機構，結構簡圖見圖3。驅動力作用于接頭連桿1使其在水平滑槽內運動，經中間桿件運動及傳遞力，通過動觸頭連桿9與靜觸頭接觸碰撞，推動靜觸頭運動至合閘位置，實現斷路器合閘動作。

圖3 多桿傳動機構簡圖

該機構為具有1個自由度的平面10桿機構，包括兩定軸轉動構件連桿3、連桿7及3個只能平動構件連桿1、5、9，其余4構件作平面運動。該機構亦可分解為4個類似曲柄-滑塊機構的子機構，分別為機構A、B、C、D。分別對每個子機構建立動力學模型，通過公用參數將其聯合即可。

以機構A為例，其局部放大帶轉動副間隙模型見圖4。考慮3個轉動副均存在間隙最復雜情況、不計移動副與機架間摩擦建立動力學方程。考慮單個或兩個間隙時，只需在改組方程基礎上適當簡化即可。3桿件長度分別為li(i=1,2,3)，對應質量分別為mi(i=1,2,3)，質心位置分別為Si(i=1,2,3)；軸頸半徑分別為Ri(i=1,2,3)，軸頸與軸套中心距分別為ei(i=1,2,3)，即所建間隙矢量。將間隙矢量ei(i=1,2,3)分別向x，y軸投影，其分量可表示為

(7)

式中：ls1為連桿1質心與點O1間距；ls2為連桿2質心與其軸頸圓心之距；ls3為連桿3質心與其軸頸圓心之距；θi(i=1,2,3)分別為3分桿件相對x軸傾角。

間隙矢量與x軸夾角計算式為

(8)

接觸點處作用力分解到x，y軸的分力為

(9)

式中：Fin，Fit分別為接觸點處法向碰撞力及切向摩擦力。

圖4 含多間隙轉動副機構A模型

建立機構A的運動微分方程為

(10)

式中：各參數物理含義均同上。將上述各式聯立化簡得

(11)

2 模型求解及結果分析

將所建機構碰撞接觸模型通過GFORCE用戶分析子程序嵌入ADAMS中用Gear法進行求解，時間步長0.001 s，可得該傳動機構動態特性。連桿1作為機構運動驅動桿，在輸入力作用下將按一定規律運動。設其運動特性已知，并按規律進行：

(12)

式中：x為連桿1位移，變化范圍0～-0.23 m；T為運動時間，變化范圍0～0.085 s。初值xs1為已知,各桿件初始轉角θi按圖3測得，其它參數待求。xs1的變化曲線見圖5，速度特性為先加速后減速，保證動觸頭以較小速度與靜觸頭碰撞。

考慮所有轉動副處均存在間隙，共10個間隙轉動副，間隙大小均為0.1 mm。各連桿長度、慣性參數見表1，動力學仿真參數見表2。

圖5 輸入位移及速度特性曲線

表1 機構各連桿特征參數

表2 仿真計算參數

仿真所得輸出端運動特性曲線見圖6。由圖6看出，考慮間隙時動觸頭輸出位移特性曲線與理想模型基本重合；動觸頭輸出速度特性曲線與理想模型基本相同；但存在兩個階段，理想模型與轉動副間隙模型特性不一致，即間隙存在時速度有一定滯后性及波動性，分別發生在機構開始運動階段、機構減速階段；加速度特性與動觸頭轉動副處反力呈較大不同，即瞬時沖擊效應伴隨一定波動性，最大瞬時加速度高達11 000 m/s2，對應的沖擊力超過50 000 N，對機構正常穩定運行影響較大。需研究影響該機構運行因素，以提高機構運行可靠性。

圖6 動觸頭輸出運動特性曲線

3 動態特性影響參數分析

影響多連桿傳動機構(圖3)動態特性因素較多，包括材料屬性、零件加工精度、潤滑及磨損變形等。考慮由多種因素引起的不同間隙大小對機構動態特性影響。由含間隙機構與理想機構運動特性對比結果看出，間隙對位移特性影響較小，可忽略；而對速度、加速度均有不同程度影響，亦可從加速度特性中發現轉動副反力的變化規律。由于機構整個運動過程中考慮間隙時速度特性曲線與加速度特性曲線與理想模型基本相同，僅在運動起始階段與減速階段含間隙機構動態特性會有明顯不同，在運動起始階段對比效果最明顯。因此取動觸頭運動開始0.01 s內的動態特性進行對比分析。通過設定不同因構件制造、裝配誤差所致間隙值分析間隙大小對動觸頭在合閘過程時速度、加速度特性影響。考慮間隙尺寸分別為0.01 mm、0.03 mm、0.05 mm及0.1 mm時將機構動態特性與理想模型進行對比。

不同間隙大小時速度特性對比見圖7。由圖7看出，運動起始階段理想速度特性曲線為規則光滑上升曲線，而含間隙機構速度特性則出現較大差異，主要在時間上的滯后效應，并隨間隙變化而變化。隨間隙的增大，速度在時間上的滯后效果愈加明顯，且波動效應更強烈，導致與理想速度特性曲線趨于一致的時間變長。尤其間隙為0.1 mm時，動觸頭開始運動速度滯后時間近0.004 s，趨于穩定時間為0.008 s。雖時間較短，但相對特高壓斷路器連桿驅動機構的高速重載特性而言，會造成約9.4%的運行誤差，產生巨大負面作用，甚至造成嚴重事故。

不同間隙大小時加速度特性對比見圖8。由圖8看出，加速度特性存在隨間隙增大而增強的滯后效果；加速度在運動起始階段會呈現強烈的沖擊效應，具有較高的瞬時峰值，且隨間隙增大沖擊效應越明顯，與理想加速度特性曲線趨于一致的時間亦增長。尤其間隙為0.1 mm時，動觸頭瞬時沖擊加速度高達11 000 m/s2，表明動觸頭轉動副元素間存在劇烈接觸碰撞，產生巨大碰撞沖擊力，使機構在實際運行中產生強烈振動，甚至使機構零部件斷裂失效，導致嚴重事故。

圖7 不同間隙大小時速度特性對比

通常在含單個間隙轉動副機構(如曲柄滑塊機構或曲柄搖桿機構)中，較難發現明顯的速度特性與加速度特性滯后效應。由分析知此兩種效應由多個間隙轉動副對機構動態特性影響疊加形成。在一個間隙轉動副中，間隙尺寸相對副元素尺寸較小，較難對機構動態特性產生較大影響，但當間隙轉動副數量增加時，由間隙造成的機構整體傳遞誤差會變明顯。尤其在高速重載傳動機構中，機構完成傳動任務所需時間很短，故由多處間隙共同作用造成運動時間差異不能忽略。

軸頸與軸套運動副元素相對運動關系見圖9。由圖9看出，運動開始前軸頸相對軸套位置并不確定，設其初始位置在A點，而軸頸與軸套在特定驅動下的潛在接觸位置在B點，則軸頸需一段時間由A運動到B。間隙增大時，在相同時間內軸頸獲得速度增大；設碰撞時間相同，碰撞瞬間加速度、碰撞力均會增大(圖6、圖8)。對本文研究的平面10桿機構，考慮同時存在十個間隙轉動副，由該副元素初始位置與潛在接觸位置不重合所致誤差會增加，因而會出現機構運動特性(圖6～圖8)。

針對由多間隙轉動副共同作用導致多連桿傳動機構運行不穩定性，可用的減小振動、提高傳動精度方法有兩種，即適當提高機構加工精度以減小間隙尺寸及在轉動副元素尺寸較大處(連桿3、7與機架連接位置)，用滾動軸承連接連桿與機架以減少含間隙轉動副數量。

4 結 論

(1) 研究轉動副間隙建模方法基礎上，基于間隙矢量模型，建立間隙轉動副的碰撞鉸模型，利用非線性彈簧-阻尼模型計算接觸法向力，利用修正的庫倫摩擦模型計算接觸切向力。

(2) 針對高壓斷路器中高速多連桿傳動機構，將碰撞鉸模型引入機構動力學模型，在特定工況下仿真獲得機構運動特性，發現間隙對速度、加速度有重要影響。

(3) 分析間隙在不同尺寸時的機構動態特性，發現隨間隙的增大機構速度、加速度特性中滯后及加速度特性中沖擊效應增強，該現象在低速簡單機構中較難發現，此原因為多間隙轉動副共同作用及該機構高速特點所致。

(4) 對高速多連桿傳動機構，可適當減小初始設計間隙值，亦可通過用滾動軸承代替部分含間隙轉動副方法降低機構運行的沖擊及振動，有利于提高系統可靠性。

[1] Dubowsky S, Freudenstein F.Dynamic analysis of mechanical systems with clearance, part 1:formation of dynamic model[J].ASME Journal of Engineering for Industry, 1971,93(1):305-309.

[2] Dubowsky S, Freudenstein F.Dynamic analysis of mechanical systems with clearances, part 2: dynamic response[J].ASME Journal of Engineering for Industry, 1971,93(1):310-316.

[3] Dubowsky S, Gardner T N.Dynamic interactions of link elasticity and c1earnce connections in planar mechanical systems[J].Journal of Manufacturing Science and Engineering,1975,97(2): 652-661.

[4] Dubowsky S, Gardner T N.Design and analysis of multilink flexible mechanisms with multiple clearance connections[J].Journal of Manufacturing Science and Engineering,1977,99(1):88-96.

[5] Dubowsky S, Norris M, Aloni E, et al.An analytical and experimental study of the prediction of impacts in planar mechanical systems with clearances[J].Journal of Mechanical Design,1984, 106(4):444-451.

[6] Funabashi H,Ogawa K,Horie M, et al.A dynamic analysis of the plane crank and rocker mechanisms with clearances[J].Bulletin of the JSME,1980,23(177):446-452.

[7] 余躍慶,李哲.現代機械動力學[M].北京：北京工業大學出版社,1998.

[8] 李哲.考慮運動副間隙和構件彈性的平面連桿機構動力學研究[D].北京：北京工業大學,1991.

[9] 唐錫寬,金德聞.機械動力學[M].北京：高等教育出版社,1984.

[10] Miedema B, Mansour W M.Mechanical joints with clearance: a three-mode model[J].Journal of Engineering for Industry,1976,98:1319-1323.

[11] Mansour W M, Townsend M A.Impact spectra and intensities for high-speed mechanisms[J].Journal of Engineering for Industry,1975,97(1):347-353.

[12] Soong K, Thompson B S.A theoretical and experimental investigation of the dynamic response of a slider-crank mechanism with radial clearance in the gudgeon-pin joint[J].Journal of Mechanical Design,1990,112(2):183-189.

[13] 張策.含間隙曲柄搖桿機構階段運動模型的建立[C].//第五屆機械傳動年會論文集,上海,1992.

[14] Earles S W E,Wu C L S.Motion analysis of a rigid-link mechanism with clearance at a bearing, using lagrangian mechanism and digital computation[C].Conference on Mechanisms, IME, London, England,1972:83-89.

[15] Furuhashi T, Morita N, Matsuura M.Research on dynamics of four-bar linkage with clearances at turning pairs(including four reports)[J].Bulletin of the FSME, 1978, 21:518-523.

[16] 王國慶.考慮碰撞、非線性阻尼和構件彈性的機構動力學理論與應用研究[D].西安：西安理工大學,2002.