非理想界面功能梯度壓電/壓磁雙材料中的SH界面波

趙 星, 劉響林, 劉 賽, 劉金喜

(1．石家莊鐵道大學 工程力學系，石家莊 050043;2．石家莊鐵道大學 數理系，石家莊 050043)

壓電/壓磁復合材料是由壓電材料和壓磁材料按照一定的方式復合而成的新型多功能材料，與傳統的壓電或壓磁材料相比，它除了具有力-電和力-磁耦合效應，還具有一種新的乘積效應稱為磁-電耦合效應，該效應來源于壓電相和壓磁相之間的相互作用，且比單相磁電材料高出幾百倍[1]。利用該效應，壓電/壓磁復合材料可以用于制作磁電傳感器、電場可調濾波器、延遲線、換能器等元器件，在信號處理、微波通信等領域顯示出誘人的應用前景[2]。隨著科技的發展及材料制備工藝的進步，人們將功能梯度材料的概念引入到壓電/壓磁復合材料中，發現利用材料的梯度變化不僅可以緩解應力集中，提高材料的斷裂韌性[3]，還可以實現對材料磁電效應的調控和優化[4]。因此，近年來功能梯度壓電/壓磁復合材料的磁電性能及相關力學問題成為人們感興趣的研究課題。

目前，已有文獻對功能梯度梁、板、殼等基本結構的靜態和動態變形[5-7]及彈性波在功能梯度磁電彈裂紋體或復合結構中的散射問題進行了詳細的研究和報導[8-9]。彈性波在這種新材料中的傳播特性對聲表面波器件的設計及應用具有指導意義，因此近年來彈性波的傳播特性也成為研究的熱點。Yuan等[10]利用傳遞矩陣法分析了粘性流體覆蓋時功能梯度壓電/壓磁復合結構中SH波的傳播特性，討論了材料梯度變化對SH波頻散特性的影響。Cao等[11]對功能梯度壓電/壓磁復合板中的Lame波進行了研究。Tian等[12]假定材料沿厚度方向指數變化，分析了功能梯度壓電/壓磁層狀半空間介質中SH波的傳播特性。最近，Singh等[13]考慮材料參數沿平行于界面和垂直于界面兩個方向變化，研究了壓電/壓磁雙材料中SH界面波的頻散特性。Li等[14]對功能梯度磁-電-彈半空間表面B-G波的傳播特性進行了研究，發現材料的非均勻性會導致B-G波的頻散，還可以改變B-G波的穿透深度。

以上所述文獻中，均假定兩種材料沿界面為理想連接，即力學、電學和磁學條件均連續。實際上，由于材料微觀缺陷的存在、夾雜或加工、使用過程中的損壞等原因，界面處會變為非理想連接，這可能會對結構的力學性能產生不可忽視的影響。對于這類問題，Rokhlin等[15]提出的“彈簧”模型已被廣泛用于表征界面的非理想程度。在彈簧模型中，界面處的應力定義為連續傳遞，而位移是間斷的，且應力是位移間斷值的線性函數。利用該模型，Huang等[16]討論了非理想界面對磁電彈雙材料中界面波傳播特性的影響；Nie等[17]分析了非理想界面壓電/壓磁雙層板中SH波的頻散特性，Pang等[18]研究了壓電/壓磁復合結構中非理想界面處平面波的反射和折射。

本文利用“彈簧模型”，研究非理想界面無限大功能梯度壓電/壓磁雙材料中SH界面波的傳播特性，主要目的是揭示界面性能、界面電磁條件及材料梯度變化對界面波的影響。該問題的理論解對磁電彈復合材料在聲波器件的設計和應用中具有參考價值。

1 問題的描述

由功能梯度壓電(Functionally Graded Piezoelectric,FGPE)半空間和功能梯度壓磁半空間(Functionally Graded Piezomagnetic,FGPM) 組成的雙材料如圖1所示，x1-x2平面是兩種材料的各向同性面，x3軸垂直紙面向外，與材料極化方向一致。

圖1 非理想界面功能梯度壓電/壓磁雙材料

考慮沿x1方向傳播的SH波，對于這種情況，只有面外的彈性場和面內的電磁場是耦合的，即為反平面磁電彈耦合問題。

(1)

(2)

在方程(1)和(2)中，σ和u分別為應力和位移；φ和D分別為電勢和電位移；φ和B分別表示磁勢和磁感應強度；G(x2)=c44(x2)、e(x2)=e15(x2)，h(x2)=h15(x2)分別表示彈性、壓電和壓磁常數；μ(x2)=μ11(x2)和κ(x2)=κ11(x2)分別為磁導率和介電常數；上標或下標“e”和“m”分別表示相應于壓電材料和壓磁材料的物理量。

在準靜態電磁近似下，應力、電位移和磁感滿足下面的平衡方程：

(3)

假定壓電材料和壓磁材料性能隨x2軸成指數變化，即：

(4)

式中:βj表示材料j的梯度變化指數，G0、e0、h0、κ0、μ0、ρ0是材料在界面處的材料性能，上標或下標j表示相應于材料j的場量。

將式(1)、(2)和(4)代入式(3)，得到FGPE材料和FGPM材料的控制方程分別為：

(5)

(6)

在界面x2=0處，假定兩種材料之間的機械條件是非理想的，即應力連續而彈性位移不連續：

α[um(x1,0)-ue(x1,0)]

(7)

式中:α為表示界面粘結程度的常數。當α→∞時，表示兩種材料沿界面是剛性連接的，相應的界面稱為理想界面；當α=0時，表示兩種材料沿界面是無機械約束的，相應的界面稱為滑移界面。

對于沿界面的電磁學條件，考慮下面兩種情況：

(1) 電位移、電勢、磁感和磁勢是連續的(簡記為EMC)

(8)

(2) 電學短路和磁學開路(簡記為SO)

(9)

另外，當x2→+∞時，應有(ue,φe,φe)→0，當x2→-∞時，有(ue,φe,φe)→0，所以βe<0，βm>0。

2 耦合波場的解和頻散方程

對于沿x1方向傳播的SH波，假定其一般解有如下形式：

(10)

式中:k為波數；c為波的傳播速度，稱為相速度；U、Ψ和Φ均為待定函數。

將式(10)分別代入到方程(5)和(6)，并考慮到無窮遠條件，可得到

(11)

(12)

將式(11)和(12)分別代入方程(1)和(2)，可得到功能梯度壓電和壓磁半空間中的應力、電位移和磁感應強度為：

(13)

(14)

將上述解代入式(7)～(9)，可以得到兩種界面條件條件下的頻散方程：

EMC界面：

(15)

式中:

SO界面：

(16)

3 數值算例和討論

利用上節推導的頻散方程(15)和(16)，本節計算功能梯度壓電/壓磁雙材料中界面波的傳播性能。功能梯度壓磁半空間為CoFe2O4材料，功能梯度壓電半空間分別是PZT-4和BaTiO3材料。所選材料的性能在表1[19]中給出，表中的材料參數均表示材料在界面x2=0處的數值。

表1 材料常數

3.1 電位移、電勢、磁感和磁勢沿界面連續(EMC)情形

當α→∞時，EMC界面條件下頻散方程(15)退化為理想界面時的頻散方程:

(17)

這是文獻[13]給出的結果。若令βe=0，βm=0，則方程(15)退化為非理想界面均勻雙材料中界面波的頻散方程:

(18)

式中:

當α=0時，界面為滑移界面，其頻散方程為：

(19)

當波數k及梯度系數βe和βm確定時，方程(19)有兩個確定解，分別為：

(20)

圖2 PZT-4/CoFe2O4材料組合相速度c隨參數的變化(EMC)

圖3 BaTiO3/CoFe2O4材料組合相速度c隨參數的變化規律(EMC)

3.2 電學短路和磁學開路界面(SO)情形

當α→∞時，SO界面條件下頻散方程(16)退化為功能梯度材料理想界面時的頻散方程:

(21)

若令βe=0，βm=0，則方程(16)退化了非理想界面均勻雙材料中界面波的頻散方程：

(22)

該方程已由Melkumyan等[19]給出，并說明界面處的非理想連接性能可以導致界面波的頻散。

當α=0時，界面為滑移界面，其頻散方程為：

(23)

當波數k及梯度系數βe和βm確定時，該方程有兩個確定解，分別為：

圖4 PZT-4/CoFe2O4材料組合相速度c隨參數的變化(SO)

圖5 BaTiO3/CoFe2O4材料組合相速度c隨參數的變化規律(SO)

4 結 論

研究了非理想界面功能梯度壓電/壓磁雙材料中SH界面波的傳播問題。考慮電位移、電勢、磁感和磁勢沿界面連續(EMC)和電學短路，磁學開路(SO)兩種電磁界面條件，發現界面波是頻散的，材料的非均勻性對界面波的相速度有重要影響，主要表現為:

(1) 界面波的相速度隨界面約束強度的降低而減小，材料的非均勻性會降低界面波的相速度；

(2) 對于EMC界面情形，相速度主要受體波波速較小的材料性能的影響；

(3) 對于SO界面情形, 體波波速較小材料的梯度變化主要影響相速度的起始值，體波波速較大材料的梯度變化主要影響相速度的趨近值或相速度終止值所對應的K的臨界值。

[1] Van S J. Product properties: a new application of composite materials[J]. Philips Research Reports, 1972, 27(5): 28-37.

[2] Nan C W, Bichurin M I, Dong S X, et al. Multiferroic magnetoelectric composites: Historical perspective, status, and future directions[J]. Journal of Applied Physics, 2008, 103(3): 031101.

[3] 孫建亮,周振功,王彪.功能梯度壓電壓磁材料中的斷裂問題分析[J].力學學報, 2005, 37(1): 9-14.

SUN Jian-liang, ZHOU Zhen-gong, WANG Biao. A permeable crack in functionally graded piezoelectric/piezomagnetic materials[J]. Acta Mechanica Sinica, 2005, 37(1): 9-14.

[4] Petrov V M, Srinivasan G. Enhancement of magnetoelectric coupling in functionally graded ferroelectric and ferromagnetic bilayers[J]. Physical Review B, 2008, 78(18): 184421.

[5] Bhangale, Rajesh K. Static analysis of simply supported functionally graded and layered magneto-electro-elastic plates[J]. International Journal of Solids and Structures, 2006, 43(10): 3230-3253.

[6] Yu T C, Nie G J, Zhong Z. Static and dynamic analyses of a functionally graded magnetoelectroelastic circular plate[C]. Symposium on Piezoelectricity Acoustic Waves and Device Applications. Nanjing, 2008:218-223.

[7] Mandal S K, Sreenivasulu G, Petrov V M, et al. Functionally graded piezomagnetic and piezoelectric bilayers for magnetic field sensors:Magnetoelectric interactions at low-frequencies and at bending modes[J]. Advances and Applications in Electroceramics, 2011, 226: 223-230.

[8] Liang J. Scattering of harmonic anti-plane shear stress waves by a crack in functionally graded piezoelectric/piezomagnetic materials[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2007, 20(1): 75-86.

[9] Fang X Q, Liu J X, Wang D B, et al. Dynamic stress from a subsurface cavity in a semi-infinite functionally graded piezoelectric/piezomagnetic material[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34(10): 2789-2805.

[10] Yuan L L, Du J K, Yang L, et al. SH surface acoustic waves in layered functionally graded piezomagnetic/piezoelectric structures loaded with viscous liquid[C]. Proceedings of the 2011 Symposium on Piezoelectricity Acoustic Waves and Device Applications. Shenzhen, 2011:399-402.

[11] Cao X S, Shi J P, Jin F, Lamb wave propagation in the functionally graded piezoelectric-piezomagnetic material plate[J]. Acta Mechanica, 2012, 223(5): 1081-1091.

[12] Tian R M, Kong Y P, Liu J X. SH waves in functionally graded piezoelectric-piezomagneticmaterial structures[C]. The Symposium on Piezoelectricity, Acoustic Waves and Device Applications. Shanghai, 2012:1103-1110.

[13] Singh B M, Rokne J. Propagation of SH waves in layered functionally gradient piezoelectric piezomagnetic structures[J]. Philosophical Magazine, 2013, 93(14) : 1969-2013.

[14] Li P, Jin F, Qian Z H. Propagation of the Bleusteine Gulyaev waves in a functionally graded transversely isotropic electro-magneto-elastic half-space[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2013, 37(27): 17:23.

[15] Rokhlin S I, Wang Y J. Analysis of boundary-conditions for elastic wave interaction with an interface between 2 solids[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1991, 89(5): 503-515.

[16] Huang Y, Li X F. Shear waves guided by the imperfect interface of two magnetoelectrmaterials[J]. Ultrasonics, 2010, 50(8): 750-757.

[17] Nie G Q, Liu J X, Fang X Q. Shear horizontal (SH) waves propagating in Piezoelectric/piezomagnetic bilayer system with an imperfect interface[J]. Acta Mechanica, 2012, 223(9): 1999-2009.

[18] Pang Y，Liu J X. Reflection and transmission of plane waves at an imperfectly bonded interface between piezoelectric and piezomagnetic media[J]. European Journal of Mechanics, 2011, 30(5): 731-740.

[19] Melkumyan A, Mai Y W. Influence of imperfect bonding on interface waves guided by piezoelectric/peizomagnetic composites[J]. Philosophical Magazine, 2008, 88(23): 2965-2977.