廣義混合隱擬平衡問題的迭代算法

楊鑫波

(重慶第二師范學院 數學與信息工程系，重慶 400067)

1 引言及預備知識

均衡問題已經成為一個有趣的應用數學分支。最近，moudafi[1]，丁[2]和夏[3]利用輔助原理技術提出解決平衡問題的迭代方法。在本文中，我們利用輔助原理的方法，提出了一類三步預測校正迭代方法求解廣義集值混合隱擬平衡問題。我們證明了所提出的方法的收斂性，且條件只需要連續性和部分松弛強聯合g-偽單調性。

假設H是一希爾伯特空間，其內積和范數分別為‖·‖和〈·，·〉，C(H)為H的全部非空緊子集，T∶H→C(H)為多值映射，設K為空間H中的非空閉凸子集。g∶H→H為兩個單值映射，F(·，·，·)∶H×H×H→(-∞，+∞)，φ(·，·):H×H→(-∞，+∞)，g∶H→H為三個單值映射，考慮以下廣義多值混合隱似平衡問題：x∈H，g(x)∈K，v∈T(x)，使得

F(v，g(y)，g(x))+φ(g(y)，g(x))+φ(g(x)，g(x))≥0 ?g(y)∈K

(1.1)

(1)如果g=I，問題(1.1)等價于求x∈H，v∈T(x)，使得

F(v，x，y)+φ(y，x)+φ(x，x)≥0 ?y∈H

(1.2)

稱此問題為廣義混合隱擬平衡問題。

(2)如果φ(·，·)=0，問題(1.2)等價于求x∈H，v∈T(x)使得

F(v，x，y)≥0 ?y∈H

(1.3)

稱此問題為多值平衡問題。

(3)如果F(v，x，y)=〈v，y-x〉，問題(1.3)等價于求x∈H，v∈T(x)使得

〈v，y-x〉≥0 ?y∈H

(1.4)

稱此問題為廣義變分不等式。由此易知，問題(1.2)-(1.4)為問題(1.1)的特殊情況。另外，我們還需要以下概念和已知結果。

定義1.1[3]：設T∶H→C(H)為多值映射，g∶H→H為單值映射，函數F(·，·，·):H×H×H→(-∞，+∞)，稱為：

(1)g-單調；如果?x1，x2∈H，w1∈T(x1)，w2∈T(x2)，有

F(w1，g(x2)，g(x1))+F(w2，g(x1)，g(x2))≤0

(2)g-偽單調；如果?x1，x2∈H，w1∈T(x1)，w2∈T(x2)，有

F(w2，g(x1)，g(x2))≥0?F(w1，g(x2)，g(x1))≤0

(3)部分松弛強g-單調；如果存在常數δ>0，?x1，x2，z∈H，w1∈T(x1)，w2∈T(x2)，有

F(w1，g(x2)，g(x1))+F(w2，g(z)，g(x2))≤δ‖g(z)-g(x1)‖2

(4)部分松弛強g-偽單調；如果存在常數γ>0，?x1，x2，z∈H，w1∈T(x1)，w2∈T(x2)，有

F(w2，g(z)，g(x2))≥0?F(w1，g(x2)，g(x1))≤

γ‖g(z)-g(x1)‖2

引理1.1?u，v∈H，有

2〈u，v〉=‖u+v‖2-‖u‖2-‖v‖2

(1.5)

定義1.2[3]設T:H→C(H)為多值映射，

φ(·，·):H×H→(-∞，+∞)，g:H→H

為兩個單值映射，函數F(·，·，·):H×H×H→(-∞，+∞)稱為：

(1)聯合g-偽單調；如果?x1，x2∈H，w1∈T(x1)，w2∈T(x2)，有

F(w2，g(x1)，g(x2))+φ(g(x1)，g(x2))-

φ(g(x2)，g(x2))≥0

?F(w1，g(x2)，g(x1))+φ(g(x2)，g(x2))-

φ(g(x1)，g(x2))≤0

(2)部分松弛強聯合g-偽單調；如果存在常數γ>0，

?x1，x2，z∈H，w1∈T(x1)，w2∈T(x2)，有

F(w2，g(z)，g(x2))+φ(g(z)，g(x2))-

φ(g(x2)，g(x2))≥0

?F(w1，g(x2)，g(x1))+φ(g(x2)，g(x2))-

φ(g(z)，g(x2))≤γ‖g(z)-g(x1)‖2

注1.1 如果φ=0，函數F的聯合g-偽單調退化為g-偽單調；部分松弛強聯合g-偽單調退化為部分松弛強g-偽單調。

定義1.3 稱多值映射T:H→C(H)為M-連續的，如果有{un}?H，且un→u，在C(H)上的Hausdorff度量為M，有T(un)→T(u)。

定義1.4 函數φ(·，·):H×H→(-∞，+∞)稱為是斜對稱的：?x，y∈H，有

φ(x，x)+φ(y，y)-φ(x，y)-φ(y，x)≥0

2 主要結果

本節利用輔助原理技術構造迭代算法來求解問題(1.1)。

設x∈H，g(x)∈K，v∈T(x)，考慮以下輔助變分不等式問題(AVIP)：求解w∈H，使得

ρF(v，g(y)，g(z))+ρφ(g(y)，g(z))-

ρφ(g(z)，g(z))+〈g(z)-g(x)，g(y)-g(z)〉≥0

(2.1)

?g(y)∈K，常數ρ>0。

當z=x，則w為問題(1.1)的解，這樣便是我們用預測-校正算法解決問題(1.1)。

算法2.1 對于一個給定的x0∈H，v0∈T(x0)，利用迭代序列計算逼近解(xn，vn)，

μF(vn，g(y)，g(xn))+μφ(g(y)，g(yn))-

μφ(g(yn)，g(yn))+〈g(yn)-g(xn)，g(y)-

g(yn)〉≥0

(2.2)

βF(ξn，g(y)，g(yn))+βφ(g(y)，g(zn))-

βφ(g(zn)，g(zn))+〈g(zn)-g(yn)，g(y)-g(zn)〉≥0

(2.3)

ρF(ηn，g(y)，g(zn))+ρφ(g(y)，g(xn+1))-

ρφ(g(xn+1)，g(xn+1))+〈g(xn+1)-g(zn)，g(y)-

g(xn+1)〉≥0

(2.4)

‖vn+1-vn‖≤(1+(n+1)-1)M(T(xn+1，xn))，g(y)∈K，vn∈T(xn);

(2.5)

‖ξn+1-ξn‖≤(1+(n+1)-1)M(T(yn+1，yn))，g(y)∈K，ξn∈T(yn);

(2.6)

‖ηn+1-ηn‖≤(1+(n+1)-1)M(T(zn+1，zn))，g(y)∈K，ηn∈T(zn);

(2.7)

常數ρ>0，μ>0，β>0，M為C(H)上的hausdorff度量。

為了對算法2.1進行收斂分析，我們還需要以下結論。

引理2.1 若(x，v)為問題(1.1)的解，xn，vn為由算法2.1得到的逼近解，設F(·，·，·)是關于常數γ>0的部分松弛強聯合g-偽單調的，φ(·，·)是斜對稱的，則有

‖g(xn+1)-g(x)‖2≤‖g(zn)-g(x)‖2-

(1-2ργ)‖g(xn+1)-g(zn)‖2

(2.8)

‖g(zn)-g(x)‖2≤‖g(yn)-g(x)‖2-

(1-2βγ)‖g(zn)-g(yn)‖2

(2.9)

‖g(yn)-g(x)‖2≤‖g(xn)-g(x)‖2-

(1-2μγ)‖g(yn)-g(xn)‖2

(2.10)

證明設x∈H，v∈T(x)問題(1.1)的解

ρF(v，g(y)，g(x))+ρφ(g(y)，g(x))+

ρφ(g(x)，g(x))≥0 ?g(y)∈K

(2.11)

βF(v，g(y)，g(x))+βφ(g(y)，g(x))+

βφ(g(x)，g(x))≥0 ?g(y)∈K

(2.12)

μF(v，g(y)，g(x))+μφ(g(y)，g(x))+

μφ(g(x)，g(x))≥0 ?g(y)∈K

(2.13)

ρF(v，g(xn+1)，g(x))+ρφ(g(xn+1)，g(x))+

ρφ(g(x)，g(x))≥0

(2.14)

由于F(·，·，·)是關于常數γ>0的部分松弛強聯合g-偽單調的，

ρF(ηn，g(x)，g(zn))+ρφ(g(x)，g(x))-

ρφ(g(xn+1)，g(x))≤ργ‖g(xn+1)-g(zn)‖2，

(2.15)

ηn∈T(zn)，將y=x代入(2.4)有

ρF(ηn，g(x)，g(zn))+ρφ(g(x)，g(xn+1))-

ρφ(g(xn+1)，g(xn+1))+〈g(xn+1)-g(zn)，g(x)-

g(xn+1)〉≥0

(2.16)

由(2.15)和(2.16)可得

〈g(xn+1)-g(zn)，g(x)-g(xn+1)〉

≥-ργ‖g(xn+1)-g(zn)‖2+ρφ(g(x)，g(x))+

ρφ(g(xn+1)，g(xn+1))-ρφ(g(xn+1)，g(x))-ρφ(g(x)，

g(xn+1))

(2.17)

由于φ(·，·)是斜對稱的以及(2.17)，可得

〈g(xn+1)-g(zn)，g(x)-g(xn+1)〉

≥-ργ‖g(xn+1)-g(zn)‖2

(2.18)

令u=g(x)-g(xn+1)，v=g(xn+1)-g(zn)代入(1.5)式可得

〈g(xn+1)-g(zn)，g(x)-g(xn+1)〉=

‖g(xn+1)-g(zn)‖2}

(2.19)

結合(2.18)和(2.19)，可得

‖g(xn+1)-g(x)‖2≤‖g(zn)-g(x)‖2-(1-2ργ)‖g(xn+1)-g(zn)‖2

(2.20)

將y=zn代入(2.12)有

βF(v，g(zn)，g(x))+βφ(g(zn)，g(x))+

βφ(g(x)，g(x))≥0

(2.21)

由于F(·，·，·)是關于常數γ>0的部分松弛強聯合g-偽單調的，有

βF(ξn，g(x)，g(yn))+βφ(g(x)，g(x))-

βφ(g(zn)，g(x))≤βγ‖g(zn)-g(yn)‖2

(2.22)

ξn∈T(yn)，將y=x代入(2.3)有

βF(ξn，g(x)，g(yn))+ρφ(g(x)，g(zn))-

ρφ(g(zn)，g(zn))+〈g(zn)-g(yn)，g(x)-g(zn)〉≥0

(2.23)

由(2.22)和(2.23)可得

〈g(zn)-g(yn)，g(x)-g(zn)〉

≥-βγ‖g(zn)-g(yn)‖2+βφ(g(x)，g(x))+

βφ(g(zn)，g(zn))-ρφ(g(x)，g(zn))-ρφ(g(zn)，g(x))

(2.24)

由于φ(·，·)是斜對稱的以及(2.24)，可得

〈g(zn)-g(yn)，g(x)-g(zn)〉≥-βγ‖g(zn)-g(yn)‖2

(2.25)

令u=g(x)-g(zn)，v=g(zn)-g(yn)代入(1.5)及(2.25)式可得

‖g(zn)-g(x)‖2≤‖g(yn)-g(x)‖2-

(1-2βγ)‖g(zn)-g(yn)‖2

(2.26)

同理，令y=x代入(2.1)及y=yn代入(2.14)，利用F(·，·，·)是關于常數γ>0的部分松弛強聯合g-偽單調性及φ(·，·)是斜對稱性可得

〈g(zn)-g(yn)，g(x)-g(zn)〉≥-μγ‖g(yn)-g(xn)‖2

(2.27)

令u=g(yn)-g(xn)，v=g(x)-g(yn)代入(1.5)及(2.27)式可得

‖g(yn)-g(x)‖2≤‖g(xn)-g(x)‖2-(1-2μγ)‖g(yn)-g(xn)‖2

(2.28)

證明設x∈H，v∈T(x)問題(1.1)的解，由(2.8)-(2.10)引出的序列{‖xn-x‖}，{‖yn-x‖}和{‖zn-x‖}是非遞增的，因此{xn}，{yn}和{zn}是有界的，有

因此有

(2.29)

參考文獻：

[1]A. Moudafi. Second-order differential proximal methods for equilibrium problems[J]. J. Inequal.Pure Appl. Math. 4 (2003). Article 18.

[2]X.P. Ding. Iterative algorithm of solutions for generalized mixed implicit equilibrium-like problems[J]. Appl. Math. Comput. 162 (2005) :799-809.

[3]F.Q.Xia，X.P. Ding. Predictor-corrector algorithms for solving generalized mixed implicit quasi-equilibrium problems[J]. Appl. Math. Comput. (2007): 173-179.