復雜應力狀態(tài)下裂紋擴展長度研究

何 勇，黃 霞

(重慶交通大學，重慶 400074)

巖石作為一種脆性損傷材料，其內(nèi)部存在大量的微裂隙、微裂紋等缺陷，稱為初始損傷[1，3，5，18]。帶有初始損傷的巖石在外載荷的作用下，內(nèi)部裂紋逐漸演化、擴展，并具一定規(guī)律性。關(guān)于這方面的研究，國內(nèi)外專家、學者做了大量試驗和理論計算，取得了較豐富的成果。如Horii和Hemat-Nasser于1985年用帶裂紋的樹脂材料薄板做了一系列單、雙軸壓縮試驗，觀察到與最大壓應力成一定角度的原生裂紋最先開裂，新生裂紋在原生裂紋的兩端起裂，然后，沿一彎曲路徑很快趨于加載方向；呂海波等對巖石三維內(nèi)部裂隙擴展過程做了數(shù)值模擬研究，揭示了巖石破裂失穩(wěn)的基本規(guī)律[6]；朱維申研究了雙軸壓縮載荷作用下閉合雁行裂紋起裂、擴展和巖橋的貫穿機理，提出了巖橋破壞模式有剪切破壞、拉剪復合破壞和翼裂紋擴展三種[7]。相類似的研究成果還有很多，但關(guān)于裂紋擴展長度的結(jié)論卻非常少，國內(nèi)外也沒有比較一致的看法。因此，對裂紋擴展長度的研究有一定價值。

1 復雜應力狀態(tài)下裂紋擴展計算模型

在復雜應力狀態(tài)下，關(guān)于裂紋開裂方向問題國內(nèi)外學者有比較一致的看法，基本認為那些與最大壓應力成一定角度的原生裂紋最先開裂，分支裂紋在原生裂紋的兩端開裂，并最終趨于加載方向[1，2，8，12，17]。基于前人研究成果[13-16]，提出如圖1所示的裂紋擴展模型。

圖1 復雜應力狀態(tài)下裂紋擴展模式

2 復雜應力狀態(tài)下裂紋擴展長度計算

2.1 壓剪應力狀態(tài)下裂紋擴展長度計算

壓剪應力狀態(tài)下裂紋擴展模式如圖2。按巖石力學，原生裂紋在雙向壓縮作用下，裂紋面上正應力和剪應力為：

(1)

原生裂紋正是在裂紋面上正應力和剪應力聯(lián)合驅(qū)動下開裂、擴展，以Pn和Ps分別代表原生裂紋面上的正壓力和驅(qū)動力，考慮到裂紋面有一定黏聚力，則：

(2)

圖2 壓剪應力狀態(tài)下裂紋擴展模式

式中，tanφ為裂紋面摩擦系數(shù)；c為裂紋面上黏聚力。

與原生裂紋相類似，支裂紋上驅(qū)動力為：

(3)

現(xiàn)在假定原生裂紋和支裂紋的上、下面分別粘合在一起，使上、下面沒有相對位移，然后給單元體施加荷載σ1和σ3此時單元體內(nèi)儲存的彈性應變能為U0。再將裂紋上、下面之間的約束去掉，允許裂紋上、下面之間有相對位移，這樣裂紋上、下面之間咬合力將做功W，同時，也將產(chǎn)生新的彈性應變能UⅠ和UⅡ，UⅠ是與Ⅰ型裂紋有關(guān)的彈性應變能，UⅡ是與Ⅱ型裂紋有關(guān)的彈性應變能。因此，單元體內(nèi)總的能量U為：

U=U0+UⅠ+UⅡ-W

(4)

假定裂紋體在開裂、擴展過程中只產(chǎn)生變形位移而無剛體位移，按材料力學有：

(5)

式中，F(xiàn)i為研究對象受的外荷載；δi為與Fi對應的位移；u1(x)為原生裂紋沿切向位移；u2(x)為支裂紋沿垂直向位移；s1、s2分別為原生裂紋和支裂紋開裂線。

由于裂紋擴展過程的復雜性，我們很難確定裂紋面上每一點的位移，為計算方便，將原生裂紋和分支裂紋拉直視為2(l+a)的直線裂紋[9，17]，并且假定原生裂紋和分支裂紋位移形式如下：

(6)

(7)

式中，x為以原生裂紋中心點起算的距離；δ為原生裂紋面上一點的最大位移；α1、α2為將裂紋直線化帶來的影響系數(shù)。

將式(6)和(7)帶入(5)中積分得：

(8)

式中，B為材料厚度。

將最大位移δ分解為垂直于裂紋面的位移δn和在裂紋面上的移δs，則：

(9)

按量綱分析有：

(10)

(11)

因此，在位移δ作用下，材料獲得的彈性應變能為：

=α3E0Bδ2

(12)

帶裂紋材料在外載荷作用下開裂、擴展，最終使材料內(nèi)部總能量趨于最小[11]，故：

(13)

在裂紋開裂、擴展過程中，將U0視為不變量，從式(13)中解出δ：

(14)

(15)

式中，Bn=0.4。

(16)

式中，Bs=1.0。

(17)

不妨假設(shè)：

(18)

(19)

將式(14)、(15)、(16)、(18)和(19)代入式(17)中有：

(20)

將式(2)代入上式得分支裂紋擴展過程中應力強度因子KⅠ：

(21)

裂紋擴展過程中，應力強度因子逐漸降低，當KⅠ降至KⅠc時，裂紋停止擴展，據(jù)此可以得出裂紋擴展長度l。

2.2 拉剪應力狀態(tài)下裂紋擴展長度計算

Segal根據(jù)巖石斷裂韌度試驗得出：在裂紋穩(wěn)定擴展階段，裂紋擴展阻力隨裂紋擴展而增大[10]，具體關(guān)系為：

(22)

式中，n為裂紋擴展阻力增大指數(shù)；R為裂紋臨界擴展阻力；a′、R′為裂紋擴展后的長度及其相應擴展阻力。

裂隙巖體在拉剪應力狀態(tài)下，平面裂紋尖端擴展力與應力強度KⅠ和KⅡ之間的關(guān)系：

(23)

考慮到：

(24)

(25)

將式(24)和(25)代入式(23)中有：

(26)

按能量斷裂擴展準則，結(jié)合式(22)和(26)可得裂紋擴展后的長度：

(27)

至此，復雜應力狀態(tài)下(包括壓剪應力狀態(tài)和拉剪應力狀態(tài))裂紋擴展長度計算的理論公式求解完畢。

3 復雜應力狀態(tài)下裂紋擴展長度計算的應用研究

在巖土工程中有一類問題復雜而又引起學者和工程技術(shù)人員的高度重視，這就是危巖穩(wěn)定性分析問題。危巖是指位于陡崖或陡坡上被巖體結(jié)構(gòu)面切割且穩(wěn)定性較差的巖塊，它的穩(wěn)定性分析就是確定其當前所處的穩(wěn)定性狀態(tài)，為采取相應的工程治理措施提供參考意見，研究危巖穩(wěn)定性計算方法，定量判別危巖所處的穩(wěn)定性狀態(tài)意義重大。

導致危巖穩(wěn)定性下降的實質(zhì)是其主控結(jié)構(gòu)面內(nèi)微裂紋的擴展貫通，當微裂紋擴展貫通達到一定程度后，主控結(jié)構(gòu)面內(nèi)未貫通段開始擴展，最終的結(jié)果將是巖體發(fā)生崩塌，形成落石，威脅附近居民的生命財產(chǎn)安全。《地質(zhì)災害防治工程設(shè)計規(guī)范》(DB50/5029—2004)根據(jù)危巖失穩(wěn)模式將危巖分為滑塌式危巖、傾倒式危巖和墜落式危巖三類。針對滑塌式危巖，從其受力方面看屬于壓剪滑動型，與前文研究中的壓剪應力狀態(tài)一致，因此，可以嘗試將前文建立的計算方法應用到滑塌式危巖穩(wěn)定性計算上。

危巖主控結(jié)構(gòu)面由巖體中多個封閉、孤立裂紋逐漸擴展、貫通所致。將主控結(jié)構(gòu)面未貫通段巖體視為帶裂紋的損傷體，從圖3中取出未貫通段，如圖4。

圖3 滑塌式危巖物理模型

圖4 危巖體未貫通段內(nèi)部模型簡圖

大量野外地質(zhì)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，巖體中結(jié)構(gòu)面存在一個或多個優(yōu)勢方向，所謂優(yōu)勢方向是指巖體中結(jié)構(gòu)面較為發(fā)育的方位(傾向/傾角)。確定優(yōu)勢方向采用編制結(jié)構(gòu)面極點密度等值線圖的方法。野外地質(zhì)調(diào)查也可以大致估算研究區(qū)域宏觀裂隙的總長度，具體做法是：選定一片具有代表性的面積為A的區(qū)域，通過肉眼觀察、量測區(qū)域內(nèi)裂隙長度l，則認為該區(qū)域周圍巖體發(fā)育的裂隙密度ρ=l/A(m/m2)。假定巖體中孤立、封閉裂紋的分布與巖體中結(jié)構(gòu)面中的分布相類似(總長度和方位)，從而將雜亂無章的裂紋規(guī)律化。

按上述假定，以一塊未貫通段面積為A′的滑塌式危巖體為研究對象，建立如下分析公式：

(28)

式中：Fs為危巖體穩(wěn)定性系數(shù)；W為危巖體自重(kN)；P為水平地震力(kN)；Q為裂隙水壓力(kN)；C、φ為巖體等效抗剪強度參數(shù)(kPa，°)；H為危巖體高度(m)；β為主控結(jié)構(gòu)面傾角(°)

危巖體主控結(jié)構(gòu)面未貫通段內(nèi)巖體內(nèi)部孤立、封閉裂紋總長度為：

(29)

假定危巖體主控結(jié)構(gòu)面未貫通段內(nèi)巖體內(nèi)部孤立、封閉裂紋優(yōu)勢方向只有一個為θ。依據(jù)上述參數(shù)可計算孤立、封閉裂紋擴展總長度為△l，以及此時危巖體穩(wěn)定性系數(shù)Fs。

定義裂紋臨界擴展長度計算式：

[Δl]=FsΔl

(30)

因此，針對滑塌式危巖體我們建立了一個裂紋臨界擴展長度計算式，以此作為判斷危巖體穩(wěn)定性的一個指標。

4 結(jié)論

1)針對復雜應力狀態(tài)下裂紋擴展長度的計算，本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上提出了一個較合理的計算模型，該模型簡單易懂，適合進行理論分析和計算。

2)忽略次要因素，作出合理假設(shè)，依據(jù)構(gòu)建的模型，推導了復雜應力狀態(tài)下(包括壓剪應力狀態(tài)和拉剪應力狀態(tài))裂紋擴展長度計算式。

3)將建立的壓剪應力狀態(tài)下裂紋擴展長度計算方法運用于滑塌式危巖穩(wěn)定性計算中，提出了判別滑塌式危巖穩(wěn)定性的一個新指標。

4)上述研究成果過于理論化，很多參數(shù)的取定較困難，限制了它的推廣運用，因此，將上述成果真正用于實際工程中是下一步研究的重點任務(wù)。

參考文獻：

[1]張倬元，黃潤秋，王士天等.工程地質(zhì)分析原理[M].北京:地質(zhì)出版社，2009.73-78.

[2]Wei K H， Jean-Claude D B. Fracture Under Compression: the direction of Initiation[J]. Int. J. Frac.1963，61:267-294.

[3]莊新爐.爆破荷載作用下裂隙巖體的損傷特性研究[D].安徽:安徽理工大學，2005.

[4]中國航空研究所.應力強度因子手冊[M].北京:科學出版社，1981.

[5]余壽文，馮西橋.損傷力學[M].北京:清華大學出版社，1997.10-16.

[6]呂海波.巖石三維內(nèi)部裂隙擴展過程的數(shù)值模擬研究[D].山東:山東科技大學，2010.

[7]朱維申，陳衛(wèi)忠，申晉.雁行裂紋擴展的模型試驗及斷裂力學機制研究[J].固體力學學報，1998，19(04):355-360.

[8]王仁，趙豫生，閻紅.大理巖試件中裂紋的逆向共軛剪破裂[J].地震學報，1986，8(2):191-196.

[9]Ashby M F， Hallam S D. The Failure of Brittle Solids Containing small cracks under Compressive stress states[J]. Acta Metal.， 1986，34(03):497-510.

[10]Segll P. Formation and Growth of Extensional Fracture Sets[J]. Geological Society of America Bulletin，1984，95:154-158.

[11]莊茁，蔣持平.工程斷裂與損傷[M].北京:機械工業(yè)出版社，2004.20-23.

[12]黃達，黃潤秋.卸荷條件下裂隙巖體變形破壞及裂紋擴展演化的物理模型試驗[J].巖石力學與工程學報，2010，29(03):502-512.

[13]李銀平，王元漢，陳龍珠等.含預制裂紋大理巖的壓剪試驗分析[J].巖土工程學報，2004，26(01):120-124.

[14]徐建光，李平，李寧.循環(huán)載荷下斷續(xù)裂隙巖體的變形特征[J].巖土工程學報，2003，22(12):2032-2036.

[15]黃潤秋，許模，陳建平等.巖體結(jié)構(gòu)精細描述及工程應用[M].北京:科學出版社，2004.

[16]李銀平，楊春和.裂紋幾何特征對壓剪復合斷裂的影響分析[J].巖石力學與工程學報，2006，25(03):462-266.

[17]易順明，朱珍德.裂隙巖體損傷力學導論[M].北京:科學出版社，2005.24-26.

[18]黃達，黃潤秋，張永興.斷層位置及強度對地下洞室圍巖穩(wěn)定性影響[J].土木建筑與環(huán)境工程，2009，31(2):68-73.