促進數學理解，提高高中數學課堂教學的有效性

高黎明

一、現狀

在高中數學教學中，教師經常會遭遇“上課熱鬧下課冷，課上點頭課后忘，作業難交更正常”的尷尬局面，其原因歸咎為兩個方面：一方面由于高中數學學習的內容跨度大，抽象性強。另一方面由于許多學生對數學學習只是淺嘗輒止，不夠深入，數學學習浮而不實，要想改變現狀，只有促進高中學生對數學知識的深刻理解，才能達到掌握和靈活運用數學知識的目的。

二、對策

理解一個數學知識，就是調動已有的恰當的知識同化它，把它與原有的知識合理地、本質地聯系起來。數學理解的形式必須以學生的主動建構為基礎，充分參與為手段，提高能力為目的，但由于部分學生缺乏學習數學的自覺性和主動性，對問題的研究不夠深入，對問題的理解一直徘徊在低層次，因此數學教學必須改善學生的學習狀態，使之口動，手動，心動，情動，使之沉浸在數學學習動良好氛圍中，體驗到數學的美好，從而加深對數學的理解。下面我結合自己在實際教學中的做法與體會，談談如何引導學生，促進學生對數學知識的深刻理解，提高高中數學課堂教學的有效性。

1.說

真理越辯越明，道理越說越清。一直以來，我們的數學教學僅限于聽和紙筆練習，而對學生的數學口頭表達能力不夠重視，造成學生“心欲言而口不能”，無法及時再現所學數學知識，影響對知識的及時理解。說數學，就是讓學生用自己的語言描述所學的定義，定理，公式，法則，說出對問題的條件與結論的理解，解題方法的選擇，關鍵過程的突破和困難的克服等。說數學，是使別人信服自己行動過程的一種能力。要把理解的東西說出來，就必須經過記憶、辨別、領悟等過程，越能流暢表達的學生，對所學的知識就越熟悉，就越容易理解知識中隱喻的內容，就越容易形成獨到的見解，有深刻的理解在說數學的過程中，教師和學生都可以對敘述者進行進一步追問，發現問題的不同表達形式解決的辦法和出現的錯誤，學習者之間相互啟發，促進全體學習者在敘述過程中的共同成長。

說數學，可以說定義、定理、公式、法則的形成與內涵。例如在說函數概念的過程中，師生可以追問一些反例，讓說者可以通過調節定義域，對應法則，值域，畫圖像，從任意性、唯一性上破和立，從而加深對函數三要素和兩性的理解。如對求“圖像過A（0，1），B（-1，2），C（2，3）的偶函數的解析式”的說題，學生說出解題失敗的原因有：“過這三點的二次函數不行，以A為頂點的二次函數不能同時過B，C，畫射線AB，AC顯然不對稱；原因在于偶函數條件只用于檢驗未用與解題，依據對稱性可以先局部解決x>0的解析式，只要將B點對稱到B′（1，2），然后在求過點A，B′，C的二次函數或線段AB′，B′C都可以，最后在求函數解析式即可。”從說題過程中可以看出思維定勢的克服，思路的調節，方法的確立等動態過程能讓學生學到活的數學，說數學，也可以說章節的內容歸納，方法小結等提高學生的思維綜合能力。

2.做

題目是學生做出來的。課堂上一定要給學生相對充分的時間讓他們做數學題，數學課堂教學的有效性與否，最終取決于學生對數學的理解、掌握與否。只有讓學生做（尤其上黑板板演），才能充分暴露學生存在的問題，這才是真實的學情，這樣教學才能有的放矢。做題是數學學習的主要內容，也是促進學生數學理解的最有效途徑，這里所講的做，就是扎扎實實地做題，正是由于學生中存在大量的死記硬背，機械模仿，不會做的問題不研究，甚至不會做的干脆空著不做等不良現象，我們才提出扎扎實實地做題的口號。扎扎實實地做題就是要求學生認真細致地做完每一道題，做好每一道題，做題過程要全面，書寫要規范，盡量吃準做透，練好基本功。

在數學教學中，教師率先垂范，課上板書工整示例規范，解題完整，小處強調步驟，大處歸納方法。課后練習與課堂內容注意匹配得當，做到講什么練什么，幫助學生趁熱打鐵，鞏固基礎知識，對學生要求不懂就問教師也要主動追問。作業不留空白，不抄襲，對不能按時完成作業的學生，教師以面批形式了解學生困難所在，并以小跨度高密度的同類練習逐步提高其解題能力并深化理解，對理解上有較大困難的問題，采取滾動式練習的方法，不斷反饋，強化，幫助學生形成系統性較強的深刻理解。

3.變

變則通，通則達。人們對知識的深刻理解，都具有一定的時空性、階段性和漸進性，都需要在一定的環境變化下反復理解，才能不斷深入。變就是變式練習，變式是指對數學概念和問題進行不同角度、不同情形的變換，凸顯概念的本質和外延，突出問題的結構特征，揭示知識的內在聯系。變式練習就是讓學生在練習過程中通過多角度地分析、比較、聯系，掌握概念的本質和問題的結構及解決策略。變式練習包括概念變式和過程性變式。

概念變式可以通過變換概念的非本質屬性進行，如直線和平面垂直概念的形成和理解，以變式教學的方式展開，收效顯著。教師直觀演示面垂直后問：同學們認為線面垂直應當轉化為什么垂直？學生很容易聯想回答：線線垂直。教師邊追問邊讓學生演示，這條直線和平面內的一條直線垂直行嗎？無數條？所有直線？最少要幾條？通過變換直線的條數和位置特征，逐漸突出線面垂直的本質聯系揭示線面垂直的本質屬性，加深學生對線面垂直概念的理解。概念變式還可以通過同一概念的等價形式促進對如等差數列概念等的理解。在數列單元復習時，教師就引領學生共同發現概念的等價形式，通過這些等價形式，可以幫助學生建立等差數列的遞推公式，通項公式，前n項和公式的緊密聯系，從不同角度用不同知識加深對等差數列概念對理解，形成一個立體化的知識網絡。概念變式，也常以非概念變式明晰概念對外延，其中以判斷，是非題出現的反例變式是最常見的形式，例如，在函數單調性的教學中，我們可以用判斷題：定義在R上的函數f（x）若f（2）

過程性變式，在問題的形成過程中，根據問題的層次性、學生認識的階段性，常需要以小步驟遞進的方式呈現問題，做好鋪墊，幫助學生拾級而上。如二次函數值域的求解問題，為了更好地幫助學生自然過渡，教師就設計了問題串，先以一題多問的形式讓學生在具體的問題中觀察歸納，逐漸把握求二次函數值域的規律，對稱軸與區間的關系然后在抽象應用到定軸動區間和動軸定區間問題上，通過變式問題串層層推進，逐步展開，有利于增強學生對知識運用的信心，提高熟練程度，有利于對解題規律的深層次把握和靈活運用，過程式變式也可以對同一個問題以不同的方式呈現，以幫助學生多角度、全方位地理解問題和把握方法，常用的就是研究問題的反面，逆命題等。

4.編

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”提高學習能力，促進數學理解的最好方法就是讓學生參與教學的全過程，讓學生學會提出問題，反思問題，解決問題，在過程中成長，在歷練中熟練。編，就是自編題練習，自編題練習是學生參與教學最易操作的手段，所有學生參與問題的提出過程對促進概念的深化、問題結構的把握、數學思想方法的領悟都有較大的幫助。讓學生在自編自解中反思所學知識的過程，是一個高效的內化過程，學生想要結合原概念和問題編出并解答一個類似的問題，首先得吃透原概念和問題，如果要編制一個略有新意的問題，要反復推敲，就促進學生對原概念和問題做出深入對剖析和廣泛的聯想。如果讓其他同學信服自己的問題就必須做出準確的解答，又促使學生對新問題進行研究，隨著研究的深入對問題要素的把握也會越來越清晰，對所蘊含的數學思想的領悟也就越來越深刻。每個青少年都有好奇心和好勝心，這種富有挑戰性的做法極大地滿足了他們的內在渴望，可以調動學生數學學習的自覺性，內省力可以大幅度提高學生的歸納水平和創新能力。

自編練習題往往是從結構模仿到思維深刻的過程。例如在求函數解析式的數學中，學生參與編了一道題的解析式：已知函數f（X）=x+1，求f（f（x）），求f（f（f（x））），并猜想f（...f（x）...）。在這個自編題過程中，問題由簡單到復雜，逐漸向縱深發展，學生相互啟發，逐漸體會到函數迭代、歸納猜想等重要思想方法，自編題練習的過程往往是促進反思深化理解的過程。

如果每節課上，教師都堅持從以上方面組織教學，堅持循序漸進，打持久戰，那么相信學生定能逐步養成良好的學習習慣。在實施過程中特別要強調學生的參與，注意問題的層次性，尤其要讓學困生有較多的展示機會，用成功激發興趣，用挑戰激蕩希望，必然可以加深學生對數學的理解，提高課堂教學效率。