古希臘悖論與疫情威脅

劉安立

古希臘哲學家芝諾（約公元前490～約前430）是出了名的喜歡創制非常難解的謎題的人。他想出了一系列看似很有理、卻又明顯矛盾的情形，它們被稱為“芝諾悖論”。芝諾悖論中有九個悖論流傳至今，其中最著名的、也最頑固難破的有三個，分別是“阿喀琉斯和烏龜”、“二分法辯論”和“飛行中的箭頭”。

在超過兩千年的時間里，芝諾的系列悖論困擾、挑戰、影響、啟發、激怒和逗趣了許許多多的哲學家、數學家和物理學家。一些現代數學家和歷史學家相信，芝諾悖論都是簡單的數學問題，現代微積分對它們提供了數學解決方法。然而，一些哲學家卻堅持認為，芝諾悖論及其變種依然是懸而未決的形而上學問題。而絕大多數自然科學家的觀點是，這些哲學家的說法實乃玄論。

不過，也許出人預料，到了今天，這些古老理念竟然在幫助科學家對付一個危險得多的問題。這是怎么一回事？

芝諾的系列悖論中最有名的一個是“阿喀琉斯和烏龜”。神話中，阿喀琉斯（也稱阿基里斯，希臘神話中的勇士，曾參加圍攻特洛伊城）出生后被其母倒提著腳在冥河水中浸過，因此除未浸到水的腳踵外，渾身刀槍不入。

“阿喀琉斯和烏龜”悖論說的是，英雄阿喀琉斯參加與一只烏龜的長跑比賽。這不是一只普通烏龜，而是在擊敗了伊索（古希臘寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只烏龜。為了公平起見，阿喀琉斯讓烏龜領先一步——比如1千米。比賽開始后，阿喀琉斯很快就到達了烏龜的出發點。然而，此時烏龜已笨拙地前進了一段距離，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了這100米，但此刻烏龜又往前挪動了一小段距離——1/100千米……

芝諾悖論指出，由于烏龜總是領先阿喀琉斯一步——每當阿喀琉斯到達烏龜所在的上一個位置，烏龜總是又往前走了一段距離（盡管這段距離可能很短很短），所以阿喀琉斯永遠都追不上烏龜。雖然阿喀琉斯每次所跑的距離越來越短，但烏龜有無限段領先距離需要他跨越。這個距離用公式可表述為：

1+1/10+1/100+1/1000+…10的無限次方分之一

根據芝諾所言，阿喀琉斯“不可能在有限時間內跨越無限段的距離”。直到19世紀，數學家才證明了芝諾悖論是錯的。隨著阿喀琉斯與烏龜之間的距離越來越短，阿喀琉斯追趕得也越來越快。事實上，阿喀琉斯與烏龜之間的距離最終會變得無限短，以至于他瞬間就跑過了烏龜。因此，他完全能趕上烏龜，輕易超越它。

也許讀到這里，還是有些讀者搞不明白芝諾悖論為什么是錯的。其實，不少當代哲學家聲稱，芝諾悖論在數學邏輯上也許是錯的，但在邏輯思維上完全站得住腳。果真如此嗎？

事實上，提出這一悖論的芝諾本人恐怕也知道阿喀琉斯追得上烏龜。不然的話，芝諾悖論就不會被叫作悖論了。芝諾把阿喀琉斯追烏龜的過程無限分割，這一點沒有什么錯誤。但由此得出追趕過程的段落無窮多、因而追趕過程的持續時間也無窮大這個結論就大錯特錯了。無窮個數字相加之和可以是有限的數值，而不是想當然的無窮大。中國莊周所著《莊子》一書的《天下篇》中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。一尺的長度可以無限分割，換句話說，無窮個線段相加可以等于一尺。無窮個線段之和可以是有限的，因此走完這樣的無窮個線段所需的時間也是有限的。線段上有無窮個點，點沒有大小，線段卻有確定的長度。這個問題正好和芝諾悖論有些相似，如果理解不了芝諾悖論，那么就解釋不清楚為什么沒有長度的點能構成線段。事實上，這也正是亞里士多德對芝諾這一悖論的反駁思路。

現在回到前述的悖論。那么，到什么位置時阿喀琉斯能追上烏龜呢？由于19世紀數學家們的工作，我們知道，對于任何介于0和1之間的數值n來說：

1+n+n2 +n3 +…n的無限次方=1/（1-n）

對于芝諾悖論而言，取n=1/10，那么阿喀琉斯會在僅僅跑了1.11米之后就追上烏龜。看上去，這個結果不過是滿足人們對一個歷史悖論的好奇心。然而，這種觀念直到今天依然具有現實意義。當然，數學家們不是用它來研究人龜賽跑，而是利用它來與疾病作斗爭。

自從中東呼吸道綜合癥這種疫病于2012年9月首次被報告以來，全球這方面的病例已超過400例。有時候，疫情僅包括一名患者，他（她）常常是被一個未知的外部來源感染的。有時候，被感染者呈一個簇群，他們可能是相互交叉感染的。

測量疫情傳播的途徑之一，是運用增值數，以R代表。增值數是一個數學概念，在這里是指由一個典型感染者引發的次級感染病例的平均數量。如果R大于1，那么每個感染者都會導致至少一個次級病例（次級感染者），而這樣的感染可能引發一場主要疫情。如果R小于1，那么疫情最終會逐漸弱化乃至消失。

盡管中東呼吸道綜合癥迄今為止尚未造成大的疫情，但了解增值數依然很重要。病毒距離一個重要門檻越近，它為了有效傳播開來而所需跨越的障礙就越小。運用增值數，科學家就能估計當一場新的感染進入人群后可能會造成什么后果。平均來說，初始病例會產生R個次級病例，這R個病例接著會產生在它基礎上的R個病例，即R2 個病例，如此延續。

如果R的數值小于1，形成的模式將正如“阿喀琉斯和烏龜”悖論情形。因此，如果科學家已經知道了增值數的具體數值，就能使用同樣的公式來算出平均而言的疫情暴發規模大小：

疫情暴發平均規模=1+R+R2 +R3 +…R的無限次方=1/（1-R）

問題是，科學家并不清楚中東呼吸道綜合癥的增值數數值。幸運的是，他們很清楚每次疫情暴發過程中被報告的病例數。這意味著，為了估算增值數（假設它的大小低于1），那么只需要把上面的公式反過來：

R=1-1/（疫情暴發平均規模）

在中東呼吸道綜合癥病例被報告的第一年，疾病群的規模從1個到超過20個的都有，平均暴發規模是2.7個。根據上面的公式，增值數可能為0.6左右。與之相反，2013年某國一超大城市發生H7N9禽流感疫情，但被報告的疾病群（病例數）僅為2。平均暴發規模為1.1個，由此估算出平均增值數為0.1，比中東呼吸道綜合癥的這一數值小得多。

盡管像這樣的技術只能提供非常粗略的估計值，但它們卻賦予了科學家一種在沒有詳細數據庫的情況下如何估計疾病風險的方法。這類方法在暴發疫情期間尤其重要。從禽流感到中東呼吸道綜合癥，當我們面對像芝諾悖論那樣不輕易暴露自己秘密的感染時，這樣的信息真是彌足珍貴。

事實上，上述故事僅僅是數學在醫學研究中被大量運用的一個實例而已。類似的和復雜得多的運用還有許多，而且肯定還有數不清的類似應用尚待開發。