插值法計算實際利率

楊麗霞，黃斯婷

摘要：插值法計算實際利率，其原理是根據比例關系建立一個方程，然后解方程，計算得出所要求的數據。插值法是函數逼近的一種重要方法，是數值計算的基本課題。

關鍵詞：插值法；計算實際利率；數值計算

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）13-0105-02

一、插值法

插值法計算實際利率，其原理是根據比例關系建立一個方程，然后解方程，計算得出所要求的數據。插值法是函數逼近的一種重要方法，是數值計算的基本課題。本節討論具有唯一插值函數的多項式插值和分段多項式插值，對其中的多項式插值主要討論n次多項式插值的方法，即給定n+1各點處的函數值后，怎樣構造一個n次插值多項式的方法。雖然理論上可以用解方程組（2）（那里m=n）得到所求插值多項式，但遺憾的是方程組（2），當n較大時往往是嚴重病態的，故不能用解方程組的方法獲得插值多項式。本節介紹的內容有：lagrange插值、newton插值、hermite插值，分段多項式插值及樣條插值。關于內插法求實際利率，做出以下總結。

（1）內插法的原理是根據等比關系建立一個方程，然后解方程，計算得出所要求的數據。例如：假設與A1對應的數據是B1，與A2對應的數據是B2，A介于A1和A2之間，已知與A對應的數據是B，則可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）計算得出A的數值。

（2）仔細觀察一下這個方程會看出一個特點，即相對應的數據在等式兩方的位置相同。例如：A1位于等式左方表達式的分子和分母的左側，與其對應的數字B1位于等式右方的表達式的分子和分母的左側。

（3）還需要注意的一個問題是：如果對A1和A2的數值進行交換，則必須同時對B1和B2的數值也交換，否則，計算得出的結果一定不正確。

59×（1+r）^-1+59×（1+r）^-2+59×（1+r）^-3+59×（1+r）^-4+（59+1250）×（1+r）^-5=1000（元），這個計算式可以轉變為59×（P/A，r，5）+1250×（P/F，r，5）=1000.

該式子采用的是復利現值系數的思路做的，如果改為年金現值系數，每年的利息其實就是年金，要收取5年，所以說是5年期的，59*（P/A，R，5）+1250×（P/F，R，5）=1000.

當r=9%時，59×3.8897+1250×0.6449=229.4923+

806.125=1035.617>1000元；當r=12%時，59×3.6048+1250×0.5674=212.6832+709.25=921.9332<1000元.

因此，9%現值利率，1035.617？搖？搖9%，1000？搖？搖r 921.9332 12%，？搖（1035.617-1000）/（1035.617-921.9332）=（9%-r）/（9%-12%），解之得，r=10%，9%是估計出來的。在計算9%和12%之前，會有很多次預測，最終估算確定出9%和12%來推算r。

例如：假設與A1對應的數據是B1，與A2對應的數據是B2，現在已知與A對應的數據是B，A介于A1和A2之間，即下對應關系：

？搖？搖A1？搖？搖？搖？搖B1

？搖？搖A（？）？搖？搖B

？搖？搖A2？搖？搖？搖？搖B2

則可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）計算得出A的數值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知數據。根本不必記憶教材中的公式，也沒有任何規定必須B1>B2，驗證如下：

根據：（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）可知：（A1-A）=（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2），A=A1-（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2）=A1+（B1-B）/（B1-B2）×（A2-A1）.

例如：某人向銀行存入5000元，在利率為多少時才能保證在未來10年中每年末收到750元？5000/750=6.667或750*m=5000，查年金現值表，期數為10，利率i=8%時，系數為6.710；利率i=9%，系數為6.418。說明利率在8%～9%之間，設為x%

？搖？搖8%？搖？搖6.710 x%？搖？搖6.667？搖？搖9%？搖？搖6.418

（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71），計算得出x=8.147。

二、經典例題

2000年1月1日，ABC公司支付價款120000元（含交易費用），從活躍市場上購入某公司5年期債券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。合同約定，該債券的發行方在遇到特定情況時可以將債券贖回，且不需要為提前贖回支付額外款項。XYZ公司在購買該債券時，預計發行方不會提前贖回。ABC公司將購入的該公司債券劃分為持有至到期投資，且不考慮所得稅、減值損失等因素。為此，XYZ公司在初始確認時先計算確定該債券的實際利率：

設該債券的實際利率為r，則可列出如下等式：

9000×（1+r）-1+9000×（1+r）-2+9000×（1+r）-3+9000×（1+r）-4+（9000+180000）×（1+r）-5=120000元

采用插值法，可以計算得出r=14.93%，由此可編制表

年份？搖？搖？搖期初攤余成本（a）？搖？搖？搖實際利率（r）？搖？搖？搖r=14.93% 現金流入？搖（c） 期末攤余成本？搖？搖d=a+r-c

2000？搖？搖？搖120000？搖？搖？搖17916？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 128916

2001？搖？搖？搖128916？搖？搖？搖19247？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 139163

2002？搖？搖？搖139163？搖？搖？搖20777？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 150940

2003？搖？搖？搖150940？搖？搖？搖22535？搖？搖？搖 9000？搖？搖？搖 164475

2004？搖？搖？搖164475？搖？搖？搖24525（倒擠）？搖？搖？搖189000？搖？搖？搖0

但是如果計算利率r先假設兩個實際利率a和b，那么這兩個利率的對應值為A和B，實際利率是直線a、b上的一個點，這個點的對應值是120000，則有方程：（a-r）/（A-120000）=（b-r）/（B-120000）.

假設實際利率是13%，則有9000×3.5172+180000×0.5428=31654.8+97704=129358.8.

假設實際利率是15%，則有9000×3.3522+180000×0.4972=30169.8+89496=119665.8.

（0.13-r）/9358.8=（0.15-r）/（-334.2），解得：r=14.93%.endprint