基于MFOA和LW的混沌時間序列魯棒模糊預測

劉福才，竇金梅，王樹恩

(燕山大學 電院工業計算機控制工程河北省重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

混沌是一種出現在確定性系統中的貌似無序類似隨機的復雜現象。隨著混沌理論研究的不斷深入及其在通信信號處理、自動控制與電子對抗等領域中的廣泛應用，混沌時間序列的建模與預測已成為混沌理論研究領域中一個非常重要且極為活躍的方向。模糊集合理論自1965年創建以來，已得到廣泛研究，并在許多領域得到了應用。基于模糊系統的混沌時間序列預測已取得豐碩成果，如文獻[1]中提出基于模糊樹模型辨識混沌系統， 文獻[2]提出了一種模糊競爭學習算法的在線辨識方法來預測混沌動力系統，文獻[3]提出一種魯棒模糊聚類算法預測混沌時間序列，增強了模型的抗干擾能力。果蠅優化算法(fruit fly optimization algorithm,FOA)是一種新的元啟發式算法[4]，具有編程簡單、全局優化、計算速度快等優點，目前在外貿出口預測[5]、企業經營業績評估[6]、船舶操縱響應模型的辨識[7]等方面都得到很好的應用，將FOA應用于模糊模型的參數辨識是一個全新方向，為模糊辨識參數優化提供了一條新途徑。最小Wilcoxon (least Wilcoxon， LW)算法[8]可以在有例外點的情況下實現對線性系統的辨識，有較強的魯棒性，其應用已被很多學者重視。如文獻[9]基于最小Wilcoxon T-S模糊模型，對非線性函數進行逼近；文獻[10]用神經網絡和粒子群優化算法對非線性復雜系統進行了基于LW方法的魯棒辨識；文獻[11]中，用W-范數和粒子群算法對前饋有源噪聲系統進行魯棒控制，改善了傳統的x濾波最小均方誤差(FxLMS)算法對擾動敏感的問題。針對混沌時間序列的建模與預測問題，考慮到上述方法結合的優點，本文提出了一種基于修正型果蠅優化算法(modified fruit fly optimization algorithm， MFOA)和LW的混合算法的模糊預測方法，分別用來優化模糊模型的前提和結論參數，實現對模型參數的全局優化。

1 模糊模型與參數優化編碼

采用基于T-S模糊模型的混沌時間序列預測方法，一個模糊逼近器由數條模糊規則組成，T-S模型的第i條規則描述為[12]

前件模糊劃分采用高斯型隸屬函數:

(1)

圖1 模糊辨識的結構框圖Fig.1 Diagram of fuzzy identification

在一個模糊系統中，如果有r個輸入變量，c條模糊規則，那么對于MFOA，食物在搜索空間的位置可由向量f表示:

式中：m和σ分別為隸屬函數的中心和寬度。f為2r×c維向量，此即優化參數的編碼。

2 MFOA與LW方法

2.1 修正型果蠅優化算法(MFOA)

FOA是基于果蠅的覓食行為推演出尋求全局優化的新方法。作為一種昆蟲，果蠅在感官知覺上，尤其是嗅覺和視覺上優于其他生物。果蠅的嗅覺器官能夠搜索到漂浮在空氣中的所有氣味，甚至能夠嗅到40 km外的食物源，在飛近食物的位置后又可以利用敏銳的視覺發現食物和同伴聚集位置，并飛向該方向[4]。

雖然FOA計算簡單，易于編程和理解，但在隨機初始化果蠅的位置距食物較遠時，FOA有可能不成熟收斂，容易陷入局部最優值。為了得到較FOA性能更好的算法，文獻[13]提出一種帶逃離局部最優因子β的修正型果蠅優化算法(MFOA)，它通過一種數學轉換來擴展味道濃度值的分布，從而避免陷入局部最優，同時提高收斂速度，獲得高質量的解。

基于果蠅搜尋食物的特點，MFOA主要有以下幾個步驟[13]:

1) 給定種群個體數目(sizepop)和最大迭代次數(maxgen)，隨機初始化果蠅的初始位置(IntiX_axis,IntiY_axis)。

2) 給出果蠅個體利用嗅覺搜尋食物的隨機方向和距離(Xi,Yi)，如式(2)所示。

(2)

3) 估計果蠅與原點之間的距離(Disti)，計算味道濃度判定值(SMi)。

SMi=1/Disti+β

式中：β為逃離局部最優因子，它的2種表達式如式(9)和(10)所示:

β=g×Disti

(3)

β=λ×IntiX_axis orλ×IntiY_axis

(4)

式(3)中g為服從均勻分布的隨機變量，式(4)說明β與群體的隨機初始化相關，λ是一個常數。

4) 將SMi代入味道濃度判定函數(Fitness function)求出該果蠅個體位置的味道濃度(Smelli)。

Smelli=Function(SMi)

5) 找出此果蠅群體中味道濃度最高的果蠅。

[bestSmell bestIndex]=max(Smelli)

(5)

6) 保留最佳味道濃度值，最佳味道濃度判定值與相應果蠅x、y坐標，果蠅群體中其他果蠅利用視覺向該方向飛去。

Smellbest=bestSmell

Sbest=SM(bestIndex)

IntiX_axis=X(bestIndex)

IntiY_axis=Y(bestIndex)

7) 迭代尋優，重復執行2)～5)，并判斷味道濃度是否優于前一次迭代味道濃度，若是，則進入6)。

在MFOA算法中，以味道濃度值最大為迭代標準，所以將建模的均方根誤差(RMSE)的倒數作為果蠅味道濃度判斷函數，而得到的對應的最佳味道濃度判定值即作為參數的潛在最優解。所以，果蠅味道濃度判定函數為

Function=1/(RMSE+ε)

(6)

式中：ε=10-10，用于避免零作為除數(RMSE為零時)。

2.2 最小Wilcoxon方法

W-范數考慮的是誤差值的順序或位置而不是其幅值。考慮向量v=[v1v2…vl]，其中l是向量的長度，那么v的W-范數定義為[8]

文獻[15]中給出了很多記號函數，這里選擇最常用的一個，即

(7)

由于Wilcoxon范數是基于統計參數的一個排序，所以在W-范數中，需要采用點或塊的學習策略來計算一個排序。基于點的學習方法耗費時間，并且在實時應用中難于實現。然而，由于權值在每個輸入樣本塊輸入后就進行更新，所以基于塊的學習方法速度更快。因此本文采用基于塊的學習方法。

由式(1)可得出模糊系統的輸出

[w1w1x1...w1xr...wcwcx1...wcxr]×

將K對輸入輸出數據代入上式可得

(8)

式中：P是L=(r+1)c維結論參數向量；Y、X是K×I、K×L的矩陣。

為了求出結論參數P，這里應用LW方法來進行辨識。每次迭代的輸入向量相同，權值不斷更新，隨著每次實驗，權值達到收斂。

辨識誤差向量為

E=[e(1)e(2) …e(K)]Τ

式中：誤差的第k個元素定義如下:

(9)

式(9)用矩陣表示為

(10)

目標函數定義為

(11)

式中：s(k)是通過記號函數φ(t):[0,1]→R定義的聯合記號函數，記號函數的選擇如式(7)所示。ek表示的是將向量E中的值e(k)按升序排列后的誤差值:

ek≤ek+1，1≤k≤K

(12)

(13)

式中：R{e(k)}表示e(k)在向量E中的順序號。

式(13)寫成矩陣形式為

(14)

式中：R表示R{e(k)}在k=1,2,…,K時所形成的一個矩陣。

結論參數P的更新公式可以寫成

P=P+ΔP

(15)

(16)

式中s、X如前所述。

所以，LW算法可以由等式(8)、(10)、(14)～(16)來完整描述。

2.3 MFOA-LW混合算法

將MFOA和LW算法以一種組合的形式來訓練含有例外點的T-S模糊模型。本文根據經驗給定模糊規則數和輸入變量，采用模糊網格對角線法劃分前提結構[14]，MFOA算法用來優化模型的前提參數(即隸屬函數參數)，果蠅尋找到的每一個最佳味道濃度判斷值都是一個潛在的前提解。前提結構和參數確定以后，下一步工作就是用LW方法辨識結論參數。

MFOA-LW混合學習算法辨識T-S模糊模型的學習步驟如下:

1) 由目標系統得到一組輸入輸出數據對；

2) 設計一個模糊逼近器(其中包括輸入變量個數的選擇和模糊規則數的確定，模糊空間的劃分)；

3) 隨機初始化果蠅的初始位置，根據第2.1節中MFOA算法的步驟計算初始果蠅群體中最佳味道濃度判定值，將其作為模糊模型的初始前提參數；

4) 輸入訓練數據集到圖1所示的模糊逼近器，用2.2節的LW方法計算T-S模型結論參數P；

5) 用結論參數P和訓練數據集計算模型的輸出；

6) 用式(6)計算果蠅的味道濃度值(類似適應度函數)，并根據式(5)得出果蠅最優味道濃度值及相應的判定值和果蠅相應位置，更新種群中果蠅的位置，根據第2.1節中MFOA算法的步驟計算此次迭代的最佳味道濃度判定值；

7) 返回到4)，直到滿足終止條件(MFOA算法迭代終止)。

3 仿真研究

自1977年Mackey和Glass發現時滯系統中的混沌現象[15]以來，時滯混沌系統便引起了人們的廣泛關注，并常常用其作為檢驗非線性系統模型性能的標準。應用本文的MFOA-LW方法對Mackey-Glass混沌時間序列進行建模與預測，以此來說明本文方法的有效性和魯棒性。

Mackey-Glass混沌時間序列用微分方程描述為

(17)

此方程描述的是在正常呼吸和不正常呼吸時動脈的CO2濃度，屬于一類有混沌行為的時延方程。其中τ為時滯參數，τ≥17時，方程(17)處于混沌狀態，其分形維數近似為2.1，并且τ值越大，混沌程度越高。圖2(a)和圖2(b)給出了τ=17時的混沌時間序列及其相圖，初始條件x(0)=1.2。本文中，τ=17,a=0.2,b=0.1。混沌時間序列預測的目標是用t時刻以前的值預測t+p時刻的值。通常，取間隔為Δ的D個歷史時刻的值，建立[x(t-(D-1)Δ) …x(t-Δ)x(t)]T到x(t+p)的映射關系。

(a) Mackey-Glass混沌時間序列

(b) 系統相圖圖2 τ=17時Mackey-Glass時滯混沌系統Fig.2 Mackey-Glass time delay chaotic system whenτ=17

本文中取D=3,Δ=1,p=1，那么模型輸入向量X為[x(t-2)x(t-1)x(t)]Τ，輸出Y為x(t+1)。x(0)-x(17)賦初值為1.2。在t=117和t=617之間采集500個數據作為建模數據。模糊劃分數c=4。

MFOA參數:最大迭代次數maxgen=500，種群數目sizepop=40。隨機初始化果蠅群體的位置區間為[0,20]，迭代過程中果蠅搜尋食物的隨機飛行方向與距離區間為[-5,5]，β采用式(3)形式，其中g定義為在[-0.5,0.5]上均勻分布的隨機變量。

首先驗證MFOA算法在辨識方面的優越性，將MFOA算法的優化結果與粒子群算法(PSO)、菌群優化算法(BFO)進行比較。分別采用MFOA，PSO，BFO優化模糊模型的前提參數，遞推最小二乘法(RLS)優化結論參數[18]。本文所選參數均為相關文獻常用參數。

PSO算法參數為：學習因子c1=1,496 2，c2=1.496 2；慣性權重ω=0.729 8；最大迭代次數MaxDT=1 000；初始化群體個體數目N=40。

BFO算法參數：種群數目S=100，趨向性操作數Nc=100，在同一方向上前進的最大限制步數Ns=4，復制操作數Nre=8，遷徙操作數Ned=2，細菌遷徙概率Ped=0.5，趨向性行為步長C(i)=0.1，細菌間引力深度dattractant=0.01，引力寬度wattractant=0.2，斥力高度hrepellant=0.01，斥力寬度wrepellant=10。

RLS算法初始條件為：P0=0,S0=αI，α是一個很大的實數，0<α<，本文取α=104。

表1給出了3種優化算法的參數和仿真結果的RMSE。圖3～5分別給出仿真結果的逼近曲線和誤差曲線。由仿真結果可以看出，較其他算法相比，MFOA-RLS算法辨識精度高，計算量小，能夠有效預測混沌時間序列。

表1 不同優化算法的建模結果(RMSE)

(a)建模逼近曲線

(b) 建模誤差曲線圖3 MFOA-RLS預測結果Fig.3 Prediction result of MFOA-RLS

(a)建模逼近曲線

(b) 建模誤差曲線圖4 PSO-RLS 預測結果Fig.4 Prediction result of PSO-RLS

(a)建模逼近曲線

(b) 建模誤差曲線圖5 BFO-RLS 預測結果Fig.5 Prediction result of BFO-RLS

為了檢驗MFOA-LW建模的魯棒性，在建模數據集中加入一定比例的例外點：隨機選取per%的建模數據對，輸入保持不變，輸出加上[-15，15]的均勻分布的隨機數。為了充分體現LW方法的魯棒性，不斷地增加例外點的比例(0～50%)。LW中，最大實驗次數L_max=1 500，學習率η=0.09。為了表現本文方法的魯棒性，仿真結果與MFOA-RLS方法進行比較。

表2給出了在建模數據集中加入不同比例的例外點時，2種方法的均方根誤差，由于輸入加入的是隨機數，為了克服仿真結果的偶然性，每個結果均為20次仿真結果的平均值。

表2 含有不同比例例外點時，2種方法的預測誤差(RMSE)

圖3和圖6分別為不包含例外點(0%)時RLS方法和LW方法的建模結果，圖7和圖8是含30%例外點時的建模結果。

(a)建模曲線

(b) 誤差曲線圖6 MFOA-LW方法的建模結果(無例外點) Fig.6 Modeling result of MOFA-LW (without outliers)

(a)建模曲線

(b) 誤差曲線圖7 MFOA-LW方法的建模結果(30%例外點)Fig.7 Modeling result of MOFA-LW (with 30% outliers)

(a)建模曲線

(b) 誤差曲線圖8 MFOA-RLS方法的建模結果(30%例外點)Fig.8 Modeling result of MOFA-RLS (with 30% outliers)

由以上的仿真結果可以看出，在含有例外點(10%～50%)時，MFOA-LW方法明顯地對例外點有較強的魯棒性，建模精度高出一個數量級，能較準確地建立混沌時間序列的模糊預測模型。

4 結束語

針對混沌時間序列預測問題，本文提出了一種基于MFOA-LW方法的魯棒模糊預測算法。MFOA優化模型的前提參數，LW方法優化模型的結論參數，實現了模糊模型的全局優化。MFOA算法具有計算簡單，容易編程，收斂速度快和成熟收斂等優點，應用在模糊模型辨識方面具有很大的優越性。最小Wilcoxon方法辨識模型具有魯棒性，當訓練數據中出現例外點時，LW方法仍然可以有效地辨識出模糊模型。為了檢驗所提方法的有效性，用本文方法對Mackey-Glass混沌時間序列進行了建模和預測，并與其他方法進行了比較。仿真結果表明，在系統不存在例外點時，采用MFOA-RLS方法的建模精度高于PSO-RLS、BFO-RLS等方法，這證明了MFOA的優越性；在系統存在例外點時，MFOA-LW方法辨識出的模型仍然具有較高的精度，可以滿足辨識要求，但MFOA-RLS方法的辨識精度很低，根本無法有效地預測混沌時間序列，這充分驗證了本文方法的魯棒性，表明在存在例外點的情況下，這是一種有效的混沌時間序列預測方法，在復雜有干擾的非線性系統的研究中有較高的實用價值。

參考文獻:

[1]毛劍琴,姚健,丁海山. 基于模糊樹模型的混沌時間序列預測[J]. 物理學報, 2009, 58(4): 2220-2230.

MAO Jianqin, YAO Jian, DING Haishan. Chaotic time series prediction based on fuzzy tree[J]. Acta Physica Sinica, 2009, 58(4): 2220-2230.

[2]王宏偉,馬廣富. 基于模糊模型的混沌時間序列預測[J]. 物理學報, 2004, 53(10): 3293-3297.

WANG Hongwei, MA Guangfu. Prediction of chaotic time series based on fuzzy model[J]. Acta Physica Sinica, 2004, 53(10): 3293-3297.

[3]劉福才,張彥柳,陳超. 基于魯棒模糊聚類的混沌時間序列預測[J].物理學報, 2008, 57(5): 2784-2790.

LIU Fucai, ZHANG Yyanliu, CHEN Chao. Prediction of chaotic time series based on robust fuzzy clustering[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(5): 2784-2790.

[4]PAN W T. A new fruit fly optimization algorithm: taking the financial distress model as an example [J]. Knowledge-Based Systems, 2012, 26(2): 69-74.

[5]許智慧, 王福林, 孫丹丹, 等. 基于FOA-RBF神經網絡的外貿出口預測[J]. 數學的實踐與認識, 2012,42(13): 14-19.

XU Zhihui, WANG Fulin, SUN Dandan, et al. A forecast of export trades based on the FOA-RBF neural network[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2012, 42(13): 14-19.

[6]潘文超. 應用果蠅優化算法優化廣義回歸神經網絡進行企業經營績效評估[J]. 太原理工大學學報:社會科學版, 2011, 29(4): 1-5.

PAN Wenchao. Using fruit fly optimization algorithm optimized general regression neural network to construct the operating performance of enterprises model[J]. Journal of Taiyuan University of Technology: Social Sciences Edition, 2011, 29(4): 1-5.

[7]王雪剛, 鄒早建. 基于果蠅優化算法的船舶操縱響應模型的辨識[J]. 大連海事大學學報:自然科學版, 2012, 38(3): 1-4, 8.

WANG Xuegang, ZOU Zaojian. Identification of ship manoeuvring response model based on fruit fly optimization algorithm[J]. Journal of Dalian Maritime University: Natural Science Edition, 2012, 38(3): 1-4, 8.

[8]HOGG R V, MCKEAN J W, CRAIG A T. Introduction to mathematical statistics[M]. 6th ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2005: 531-570.

[9]SUN T Y, TSAI S J, TSAI C H. Nonlinear function approximation based on least Wilcoxon Takagi-Sugeno fuzzy model[C]//The Eighth International Conference on Intelligent Systems Design and Applications. Kaohsiung, China, 2008: 312-317.

[10]MAJHI B, PANDA G. Robust identification of nonlinear complex systems using low complexity ANN and particle swarm optimization technique[J]. Expert Systems with Applications, 2010, 38(1): 321-333.

[11]NITHIN V G, PANDA G. A robust evolutionary feedforward active noise control system using Wilcoxon norm and particle swarm optimization algorithm[J]. Expert Systems with Applications, 2012, 39:7574-7580.

[12]TAKAGI T, SUGENO M. Fuzzy Identification of system and its application on modeling and control[J]. IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics, 1985, 15(1):116-132.

[13]LI C Q, XU S P, LI W, et al. A novel modified fly optimization algorithm for designing the self-tuning proportional integral derivative controller [J]. Journal of Convergence Information Technology, 2012, 7(16): 69-77.

[14]劉福才. 非線性系統的模糊模型辨識及其應用[M]. 北京:國防工業出版社, 2006: 41-44.

[15]MACKEY M C, GLASS L. Oscillation and chaos in physiological control systems[J]. Science, New Series, 1977, 197(4300): 287-289.