基于ADAMS的焊接機器人逆運動學(xué)求解

謝黎明張秀林靳嵐

(蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院,甘肅蘭州730050)

0 引言

機械手的逆運動學(xué)在機器人的運動學(xué)及軌跡規(guī)劃中都是非常重要的課題，因機械手逆運動問題隨著運動關(guān)節(jié)的增多而越來越復(fù)雜，要建立通用的算法相當(dāng)困難。對逆運動方程求解提出了解析法[1]、幾何法[2]、迭代法[3]、幾何-解析法[4]以及一些新的解析法[5]；近年來，相繼提出采用遺傳算法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論[7]、遺傳粒子群算法[8]、基于信賴域的優(yōu)化算法[9]等。其中，Paul[10]、王奇志[1]等分別對PUMA560機器人在d2=0，d2≠0條件下的逆運動方程提出了相應(yīng)的解析法。但此法在實際應(yīng)用中要直接得到完全正確的8組逆解仍不是件易事，有時出現(xiàn)8組逆解中有幾組不是真解。劉松國[3]等提出的迭代法的收斂速度要遠高于其他算法，但由于受雅可比矩陣的制約，不一定能求解出工作空間所有可行點的逆解。王洪斌[7]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論求解逆運動，但由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對最終結(jié)果影響的不確定性及需要大量已知訓(xùn)練樣本，使這一問題未能得到很好的解決。陳寧[5]提出了一種新的解析法，推導(dǎo)出直接計算各轉(zhuǎn)角變量正、余弦值的公式，計算出各解的轉(zhuǎn)角量，但運動方程中有許多角度的耦合，比如C234，這就使得無法從矩陣中提取足夠的元素來求解單個的正弦和余弦項以計算角度。為使角度解耦，方便求解各角的正、余弦，本文針對PUMA560型焊接機器人進行運動學(xué)逆解分析，用單個或多個()-1矩陣左乘0A6矩陣，使得方程右邊不再包括這個角度，于是就可以找到產(chǎn)生角度的正弦值和余弦值的元素，并進而求得相應(yīng)的角度，完成運動學(xué)方程的求逆。

1 機器人的正運動學(xué)模型

機器人運動學(xué)的分析是機器人軌跡規(guī)劃研究的基礎(chǔ)，包括正運動學(xué)問題和逆運動學(xué)問題，其中逆運動學(xué)應(yīng)用比較多，而正運動學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立是運動學(xué)求逆的關(guān)鍵。所以，首先建立了機器人正運動學(xué)數(shù)學(xué)模型，以PUMA560為研究對象進行求解計算，用ADAMS軟件仿真，并與計算結(jié)果相對比，驗證了所建正運動學(xué)模型的正確性，為后續(xù)的運動學(xué)求逆奠定了基礎(chǔ)。

1.1 正運動學(xué)分析

采用D-H方法[11]來表示此連桿坐標系與上一連桿坐標系之間的關(guān)系，相鄰兩連桿的空間關(guān)系矩陣為連桿變換矩陣。建立的齊次變換矩陣為:

式中:C=cos，S=sin，αi-1為zi-1到zi沿xi-1測量的距離；ai-1為zi-1到zi繞xi-1旋轉(zhuǎn)的角度；di為xi-1到xi沿zi測量的距離；θi為xi-1到xi繞zi旋轉(zhuǎn)的角度；xi，yi，zi為第i個關(guān)節(jié)的坐標系。

由上面的相鄰連桿之間的變換矩陣，可以得出正運動學(xué)方程:

，，，，，為肩坐標系相對于基座坐標系、大臂坐標系相對于肩坐標系、小臂坐標系相對于大臂坐標系、腕1坐標系相對于小臂坐標系、腕2坐標系相對于腕1坐標系、腕3坐標系相對于腕2坐標系。

式中:為姿態(tài)矩陣；為位置矩陣；

C234——分別代表 cos(θ2+θ3+θ4)，S234為 sin(θ2+θ3+θ4)，余同。

1.2 PUMA560的正運動學(xué)計算

PUMA560機器人本體的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)由回轉(zhuǎn)的機體、肩、大臂、小臂、腕部，機械手等部分組成(圖1)，共有6個關(guān)節(jié)自由度，而且6個關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，屬關(guān)節(jié)型機器人。前3個關(guān)節(jié)主要影響末端執(zhí)行器的位置，后3個關(guān)節(jié)決定末端的姿態(tài)。如圖2所示POMA560機器人的桿件坐標，根據(jù)D-H方法由圖2可以得出POMA560機器人的各桿件參數(shù)如表1所示。

圖1 PUMA560的實體模

圖2 PUMA560機器人的坐標

其中:a2=431.8 mm，a3=20.32 mm，d1=660.4 mm，d2=149.09 mm，d4=433.07 mm，d6=80.13 mm。

表1 PUMA560機器人的連桿參數(shù)表

其中:=

與圖2所示的情況完全一致，則機械手末端相對于基座標的位姿[12]為:

則機械手末端在ADAMS世界坐標系中的位姿為:

現(xiàn)讓肩關(guān)節(jié)繞y軸旋轉(zhuǎn)-90°，小臂關(guān)節(jié)繞x軸旋轉(zhuǎn)90°，其他的關(guān)節(jié)不旋轉(zhuǎn)，得到機械手末端在ADAMS世界坐標系中的位姿為:

1.3 PUMA560機器人運動學(xué)仿真

圖3和圖4分別表示POMA560機器人各桿件在仿真前、仿真后的位置關(guān)系。經(jīng)過仿真得出機器人未端在整個運行過程中的位移曲線如圖5所示。

從仿真結(jié)果可以看出，機械手末端在0 s時刻的坐標為(945，680，-149)，與式(2)的計算結(jié)果相近。機械手的末端在3 s時的坐標為(149，147，452)，與式(3)的計算結(jié)果相近。所以，驗證了所建模型的正確性。

2 逆運動學(xué)分析

逆運動學(xué)算法是機器人軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)，但在求解時，運動方程中有許多角度的耦合，為使角度解耦，方便求解各角的正、余弦，本文用單個或多個()-1矩陣左乘0A6矩陣，使得方程右邊不再包括這個角度，于是可以找到產(chǎn)生角度的正弦值和余弦值的元素，并進而求得相應(yīng)的角度，完成運動學(xué)方程的求逆。

圖3 仿真前各連桿之間位置關(guān)系

圖4 仿真后各連桿之間位置關(guān)系

圖5 末端的位移曲線

2.1 逆運動學(xué)方程的求解

根據(jù)上述得出的正運動學(xué)方程式(1)分析:

1) 求θ1

用()-1左乘式(1)兩邊，得到:

根據(jù)等式兩邊第3行第4列元素對應(yīng)相等，有:

2)求θ3

根據(jù)式(1)兩邊第1行第4列和第2行第4列分別對應(yīng)相等，有:

將兩個方程兩邊平方相加，得:

式中， S2S23+C2C23=Cos(θ2+θ3-θ2)=C3

故

3)求解θ2，θ4

用左乘式(1)兩邊，得到:

式(5)兩邊第3行第3列元素對應(yīng)相等，有:

由此可以求得S234，C234，即可求得θ3

由式(4)可知

可得:

因為θ234有兩個值，所以θ4也相應(yīng)有兩個值。

4) 求θ5

由式(5)兩邊第1行第3列和第2行第3列元素對應(yīng)相等，有:

故

5) 求θ6:

由()-1左乘式(5)有:

由第2行第1列和第2行第2列元素對應(yīng)相等，得:

故

給定末端位姿為式(3)計算結(jié)果，根據(jù)上述所得各角求解公式，用MATLAB編程計算各關(guān)節(jié)對應(yīng)的角度，計算結(jié)果為:θ1=90°，θ2=0°，θ3=-90°，θ4=0°，θ5=0°，θ6=0°，與表1所給條件相符，所以驗證了逆運動學(xué)方程的正確。

3 結(jié)語

本文針對機器人運動學(xué)方程中的角度耦合問題，采用解析法推導(dǎo)了焊接機器人逆運動學(xué)方程。通過解耦，已給出各角求解公式，由求解公式可知PUMA560的運動反解可能存在8種解。但是，由于結(jié)構(gòu)的限制，各關(guān)節(jié)變量不能全部在360°范圍內(nèi)運動，有些解不能實現(xiàn)，應(yīng)根據(jù)一些約束條件選取其中最滿意的一組，以滿足機器人的工作要求。該算法使用于機器人的最后三個關(guān)節(jié)交于一個公共點，否則就不能用這個方法來求解，而只能直接求解矩陣或通過計算矩陣的逆來求解未知的量。大多數(shù)工業(yè)機器人都有相交的腕關(guān)節(jié)。

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