三重約束下隨機生產系統的研究

楊白玫

(上海電機學院 商學院， 上海 201306)

三重約束下隨機生產系統的研究

楊白玫

(上海電機學院 商學院， 上海 201306)

絕大多數生產企業在具體生產銷售過程中均會遇到3重約束： 銷售量是關于價格的函數，開機生產時會產生固定成本，單位周期內生產容量有限。為了得出該類生產-銷售系統的最優生產和定價策略，可以借助強CK-凹函數的一些性質。這里考慮了一個加法需求模型，在此基礎上建立了一個定期盤點的隨機生產-銷售系統。通過研究發現，每個階段的最優生產控制和定價策略的結構可以簡單分為4個區間(s,s′,p)策略。

隨機生產系統; 固定開機成本; 有限生產容量; 加法需求函數

對于所有企業來說，利潤最大化是企業追求的最重要目標之一，制造企業也不例外。但是，現實中的絕大多數生產企業，在生產過程中，都會遇到多類約束的限制。在眾多的約束中，有3類約束是普遍存在的： ① 在所有階段中，每個階段的隨機需求都由當期的銷售價格決定；② 每個階段一旦決定開機進行生產，則會產生一個大于零的固定生產成本；③ 每個階段的生產容量都是有限的，每階段的生產量不能超過該容量限制。上述3類約束均會對企業的生產策略產生重大影響；因此，如何在上述三重約束下尋找到恰當且協調的生產策略和定價策略，對于企業實現利潤最大化的目標，具有非常重要的意義。

在現有的研究文獻中，鮮有學者研究同時具有三重約束的隨機生產系統。現有的國內外主要集中在同時具有有限生產容量和固定生產成本的連續盤點庫存系統的研究。Kok[1]研究的則是不允許缺貨下的單一產品生產-庫存系統，生產率則根據需求進行動態調整。Li[2]研究了一個使用允許隨機強度的點過程的企業的最優生產策略。多產品的生產-庫存系統下最優策略也得到了相應的研究。例如，Zheng等[3]考慮了單一生產設備生產兩種不同產品的情況，該設備在同一時刻只能生產一種產品。他們比較了先到先服務原則和最長隊列先服務原則，并證明了在某種意義上，最長隊列先服務原則優于先到先服務原則。在Benjaafar等[4]考慮的生產系統中，生產設備從生產一種產品轉到生產另一種產品時，會產生轉換時間和成本。在Feng等[5]研究的系統中，生產設備并不穩定，會隨機損壞。

本文的研究與同時具有有限容量、固定訂貨成本的隨機庫存系統的研究較為相似。Chen等[6]指出，具有訂貨成本、訂貨量有限的庫存系統最優策略具有s-S邊界的形式。Gallego等[7]則對兩個邊界之間策略的結構做了進一步分析。文獻[8]中也考慮了一個具有訂貨成本、有限訂貨量的定期盤點庫存系統。不過，在該系統的每個階段中，訂貨數量只能有兩種選擇： 或者為零，或者為最大容量，而不能是處于兩者之間的任何值。但是，上述研究均未涉及產品價格的波動。

傳統的銷售問題中均假設商品的價格為外生變量，未將定價問題作為決策進行思考。Whitin[9]是將定價與庫存結合研究的創始者，他分析了需求由價格決定的報童問題，成為許多文章的焦點。文獻[10-11]中充分探討了具有固定訂貨成本和不同需求函數的定期盤點訂貨系統。通過運用K-凹和對稱K-凹的概念，分別研究了有限階段、無限階段下聯合定價和補給的最優策略。文獻[12]中構建了一類“準-K-凹”函數。根據該類函數的性質，對訂貨成本為凸函數的單一產品定期盤點庫存系統的訂貨和定價策略進行了研究，找到了對應的最優策略。文獻[18]中考慮了一個具有價格調整成本的定期盤點庫存模型。在他們的模型中，價格調整成本包括固定成本和可變成本。Caliskan-Demirag等[14]研究的也是定期盤點庫存控制系統，在該系統中，固定訂貨成本與訂貨數量相關。并且，他們專門考慮了3種不同的固定訂貨成本結構，并逐一分析其分別對應的最優策略。但是，上述研究均未限定訂貨數量是有限的，而是假設訂貨數量可以無限多。

本文正是基于制造企業的背景展開的。通過分析制造企業的生產運營模式，將其歸納為同時具有三重約束的多階段定期盤點隨機生產系統。每期的生產量和產品銷售價格為企業決策變量。通過構建相符的數學模型，探索對應的最優生產和銷售定價策略，以此對企業提供政策性建議，幫助其降低成本，提高企業利潤。

1 模型建立

考慮一個允許缺貨回補的定期盤點生產系統。該生產系統一共有N個階段。第1階段為初始階段，第N階段為最后一個階段。假設每個階段各項活動按如下的順序進行： ① 盤點庫存水平，決定生產量(生產量有可能為0，即不生產)；② 開始生產；③ 制定銷售價格；④ 實現隨機的銷售量；⑤ 計算所有收入和成本。

約束1在所有階段中，每個階段的隨機需求都由當期的銷售價格決定的，即第n階段的需求Dn由當期銷售價格pn決定。考慮一個加法需求模型，故第n階段的需求為

Dn(pn)=d(pn)+εn,n=1,2,…,N

(1)

式中，εn為均值為0的隨機變量;d(pn)為平均需求，同時是關于pn的單調遞減函數,決定銷售價格等價于決定平均需求。令pn=p(dn)為d(pn)的反函數，可知該函數同樣也是一個單調遞減函數。假設第n階段的銷售價格pn的取值范圍為pl≤pn≤pu，則隨著銷售價格從pu降低到pl，平均需求則從d(pu)上升到d(pl)。

為了標記方便，令：

dl=d(pu)，du=d(pl)

當平均需求為dn時，期望收益為

r(dn)=dnp(dn)

(2)

假設該函數為凹函數。

約束2每個階段一旦決定開機進行生產，則會產生固定生產成本k。同時，還存在單位生產成本c。

約束3每個階段的生產容量都是有限的，假設生產容量為Q。此即每階段的生產量不能超過Q。

在同時考慮上述三重約束前提下，假設xn為第n個階段開始且未生產時的庫存水平。由于考慮的是缺貨可回補的情況，故xn可正可負。令yn為生產任務完成后的庫存水平。由于生產容量是有限制的，則

xn≤yn≤xn+Q

(3)

如果在第n個階段末，當銷售完成后，庫存水平為xn，則假設對應的庫存成本為h(xn)。如果xn≥0，說明庫存尚有剩余，則此時h(xn)代表庫存持有成本；如果xn<0，說明有缺貨需要回補，則此時h(xn)代表缺貨成本。用函數G(y)來代表對庫存水平為y,隨機變量為εn的期望庫存持有和缺貨成本，即

G(y)=E[h(y-εn)]

(4)

那么，在第n階段末，當生產后的庫存水平為yn，對應的期望需求為dn時，此時期望持有和缺貨成本為G(yn-dn)。同樣，假設G(y)為凸函數。

故第n階段的總期望成本，包括生產成本和期望持有缺貨成本2個部分，可以寫成

kI[yn>xn]+c(yn-xn)+G(yn-dn)

(5)

式中，前2部分表示生產成本，后一部分表示期望持有缺貨成本。在生產成本的表示函數中，I[A]為指示函數，其值可以取0或1。如果狀態A為真，則I[A]的值為1；否則，如果狀態A為假，則I[A]的值為0。

假設Vn(xn)為初始庫存水平在生產之前為xn時，從第n個階段開始至計劃期末的總的最優期望折現利潤。這里，單階段折現因子為α，α∈[0,1]。整個隨機生產系統的目標是： 在計劃的時間段內，尋找最優的生產和定價策略，使得總期望折現利潤最大化。此時，對應的優化等式為

c(yn-xn)-G(yn-dn)+

αE[Vn+1(yn-dn-εn)]}

(6)

為了簡化模型，假設

Wn(y)=-G(y)+αE[Vn+1(y-εn)]

則Vn(xn)可簡寫為

(7)

在此多階段模型中，終端條件為VN+1(xn+1)≡0。

2 具體分析

為了尋求該模型的最優生產和定價策略，首先需要給出關于強CK-凹的定義，然后在一些引理基礎上，得出最終的結論。這里關于強CK-凹的定義，可參考文獻[7]。

如果對于所有的a≥0，b>0，Z∈[0,C]，則

G(y-a-b)}

(8)

則稱函數G(·)為強CK-凹。

如果a=0且C=∞，則該強CK-凹可簡化成經典的K-凹。

對于強CK-凹函數，具有如下一些性質。

(1) 對于任何非負的C和K，凹函數總是強CK-凹函數；

(2) 如果G為強CK-凹函數，則對于任意0≤D≤C和L≥K，G也是強DL-凹函數；

(3) 如果Gi是強CK-凹函數，則對于α,β≥0，αG1+βG2是強C(αK1+βK2)-凹函數；

(4) 如果G是強CK-凹函數，則對于任一隨機變量X，只要E[G(y-X)]存在，則E[G(y-X)]也是強CK-凹函數。

2.2相關引理

為了尋找到最終的最優生產和定價策略，需要引入3個引理。

引理1當rn(d)為凹函數時，令dn(y)為最大化rn(d)+Wn(y-d)的表達式,則y-dn(y)關于y遞增。當rn(d)為凹函數時，根據文獻[11]可立即獲得該引理。具體證明可通過超模態性進行證明。

引理2的證明見文獻[15]。

假設給定非負值的C、K和強CK-凹函數Hn(x)，n=1,2，…,N。令

(9)

引理3當Hn(x)為強CK-凹函數時：

(10)

(11)

引理3的證明可以根據文獻進行。

2.3最優策略

令

根據歸納法，可以得出定理1。

定理1Hn(x)和Vn(x)均為強Qk-凹函數，n=1,2，…,N。

下面的定理給出了每個階段最優生產和定價策略的結構。

(1) 如果x

(12)

由此可知最優平均銷售數量是關于生產后的庫存水平的函數。與此同時，pn=pn(dn)是dn=dn(pn)的反函數。故當生產后的庫存水平為y時，最優定價策略為

(13)

因此，定理2得以證明。

3 結 論

本文研究的是一個定期盤點生產系統。該生產系統有固定生產成本和有限生產容量，同時銷售量是取決于銷售價格的隨機變量。通過研究表明，該最優庫存策略可以被部分特征的表示為(s,s′,p)策略，該策略共分4個區間： 在其中2個區間里，最優生產策略可以被完全地精確確定，而另外2個區間里，只能被部分確定。進一步來說，在第1區域，該最優生產數量為滿容量生產，而在最后1個區域，不生產是最優的。在2個中間的區域，最優生產決策要么按最大容量生產，要么至少定一個預先確定的生產后庫存水平s′，或者不生產。每階段的最優價格策略p(y)則取決于生產決策后的庫存水平y。

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Stochastic Production System under Triple Constraints

YANGBaimei

(School of Business, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

In the process of production and sales, most firms would face triple constraints: the sales volume which depends on the selling price, fixed setup cost, and finite production limit. To achieve optimal production and pricing policy, properties of strong CK-concave functions are helpful. The research shows that the optimal production control and pricing policy can be characterized by an (s,s′,p) policy in four regions.

stochastic production system; fixed setup cost; finite production limit; additive demand function

2013 - 07 - 16

上海高校青年教師培養資助計劃項目資助(ZZSDJ13007)；上海電機學院重點學科項目資助(10XKJ01)

楊白玫(1981-)，女，講師，博士，主要研究方向為管理科學與工程，E-mail: yangbm@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2014)01 -0053 - 05

F 406.2

A