考慮樁-土相互作用的懸臂式排樁內力計算方法研究

趙明華，李 文，張 銳

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

當基坑開挖深度不大且土性條件較好時，可采用懸臂式排樁進行支護[1].目前懸臂式排樁內力計算常用的方法有：靜力平衡法、彈性法和共同變形理論三種[1-3].靜力平衡法是將支護樁的入土深度和土壓力零點視為未知量，根據力的平衡條件或力矩平衡條件加以求解的方法.該法概念明確、計算簡便，在工程中廣為采用.但靜力平衡法將支護樁側土壓力簡單地按主、被動土壓力計算，不考慮樁-土之間的相互作用和變形協調條件，存在較大的計算誤差[3].彈性法將水土壓力作為已知荷載，將單位寬度的樁墻或單樁(按有效截面寬度計算)視為設置于彈性地基上的梁，再根據通用彈性地基梁法求解結構內力和變形.該法考慮了樁身各微段的平衡條件，可在一定程度上分析樁-土相互作用機理，計算參數少且積累了較多工程經驗，是實際工程中一種重要的設計方法和手段[2-3].但彈性法一般只考慮土體抗力與樁身位移間的線性函數關系[4-5]，與實際不符.共同變形理論將基坑內、外側土體簡化為土彈簧，假定在初始時刻各彈簧壓力均處于靜止土壓力的基準狀態，隨著樁側位移的增大不斷向主動或被動土壓力狀態變化，通過調整樁身位移直到滿足平衡條件，從而計算樁側土壓力和樁身內力[1].該法能較好地考慮樁-土相互作用機理，但其計算過程繁瑣，所用地基反力系數與通用彈性地基法的相關參數具有不同的意義，取值缺乏工程經驗積累.

由上面的討論可以看出，常用的懸臂式排樁內力計算方法均存在一些不合理之處.為此，本文通過引入非線性的樁-土相互作用模型，提出一種可充分考慮樁-土共同作用機理的懸臂式排樁內力計算方法.

1 考慮樁-土相互作用的懸臂式排樁內力計算方法

懸臂式排樁內力計算的關鍵是如何分析樁-土相互作用的規律[6-8].常用的計算方法中，彈性法便于編制通用的計算機程序，但是未充分揭示樁-土相互作用機理.為此，本文將彈性法和共同變形理論相結合，提出一種能較好地考慮樁-土相互作用規律且便于編制通用計算機程序的懸臂式排樁內力計算方法，詳細的計算過程如下．

1.1 單元離散

將支護樁從樁頂開始沿豎向劃分為一系列的桿單元，設單元總數為N，則節點總數為N+1個.為了計算方便，盡可能在支護樁截面變化點、土壓力突變點、基坑坑底等處設置節點.

1.2 單元剛度矩陣

如圖1所示，某長度為L的桿單元Ei，其節點Ni，Ni+1處作用的剪力和彎矩分別為Vi，Mi和Vi+1，Mi+1，單元兩端的位移和轉角分別為ui，θi和ui+1，θi+1，則由結構力學中自由式梁單元的轉角位移方程和疊加原理，可得桿端力與桿端位移的關系為[3]：

(1)

圖1 桿單元受力與變形示意圖Fig.1 Bar element and its deformation

式(1)即為單元剛度方程，可寫成如下的緊密形式：

[K]e{δ}>e={R}>e．

(2)

其中，{R}>e為單元荷載列陣；{δ}>e為單元位移列陣；[K]e為單元剛度矩陣，其形式如下：

(3)

1.3 合成總體剛度矩陣

合成總體剛度矩陣實際上就是根據單元編號將各單元剛度矩陣“首尾相加”拼裝成一個大的矩陣，拼裝過程如圖2所示[3].若單元總數為n，則總體剛度矩陣[K]的階數為(2n+2)×(2n+2).

圖2 總體剛度矩陣的合成示意圖Fig.2 Global stiffness matrix and its composition

1.4 節點荷載列陣

大量研究成果表明，支擋結構所受土壓力隨結構位移不同而非線性變化[6-10].其中基坑外側土壓力由靜止土壓力的初始狀態逐漸向主動土壓力的極限狀態發展，而基坑內側土壓力從靜止土壓力的初始狀態向被動土壓力的極限狀態發展.為此，本文假定樁身某節點所受基坑外側和內側土壓力與該節點側向位移間分別滿足如下的函數關系：

(i=1, 2, …,n+1)；

(4)

(i=1, 2, …,n+1)．

(5)

不同土性條件下，土體達到主動或被動極限狀態所需的擋土結構位移量是不同的，一般而言，其取值范圍滿足如下關系[7-10]：

δa=(0.001～0.004)H，

(6)

δp=(0.01～0.1)H．

(7)

其中，δa，δp分別為達到主動和被動土壓力所需支擋結構位移量，H為擋土結構高度.將式(6)，(7)代入式(4)，(5)中，并令(1-e-cδi)=0.96(即假定完成從初始土壓力到極限土壓力轉化值的96%時，認為土體已達到極限狀態)，可以得到土壓力變化控制參數c1，c2的取值范圍如下：

c1=(800～3 200)/H1，

(8)

c2=(32～320)/H2．

(9)

其中H1為樁長；H2為嵌固深度.

建立了各節點荷載與節點位移間的函數關系，則節點荷載函數列陣可以表示為

{R}>={R1}>-{R2}>．

(10)

其中，

1.5 總體剛度方程及其求解

形成了總體剛度矩陣和節點荷載函數列陣后，結構剛度方程可以表示為：

[K]{δ}>={R}>．

(11)

式中：[K]為總體剛度矩陣；{δ}>為待求的節點位移列陣；{R}>為節點荷載列陣.式(11)表示的結構剛度方程實際上是一非線性方程組，為了計算得到節點位移列陣{δ}>，可以采用非線性方程組的Newton-Raphson法進行迭代求解[15]，其過程如下．

1)為了表示方便，將式(11)改寫成如下形式

F({δ}>)=[K]{δ}>-{R}>=0．

(12)

其中，F({δ}>)表示不平衡荷載列陣，其余符號意義同前.

2)設第k次迭代的節點位移列陣{δ}>k已知，其中k=0時取{δ}>k=[0, 0, …, 0]T.將第k+1迭代對應的方程組F({δ}>k+1)=0按泰勒級數展開，并取線性項，得如下的線性方程組

式中：{δ}>k為第k次迭代的節點位移列陣；{δ}>k+1為第k+1次迭代的節點位移列陣；{dδ}>為節點位移列陣的增量，且滿足{dδ}>={δ}>k+1-{δ}>k；F({δ}>k)為第k次迭代的不平衡荷載列陣；F({δ}>k+1)為第k+1次迭代的不平衡荷載列陣；F′({δ}>k)為與第k次迭代的節點位移列陣對應的切線矩陣，其形式如下：

式(14)中元素?Fi/?δj(i,j=1,…,n+1)表示函數Fi對節點位移δj的偏導數.

3)求解線性方程組(13)得到節點位移增量列陣{dδ}>，即

{dδ}>=-[F′({δ}>k)]-1F({δ}>k)．

(15)

則第k+1次迭代的結構位移列陣為

{δ}>k+1={δ}>k-[F′({δ}>k)]-1F({δ}>k)

(16)

4)判斷計算是否收斂，判斷準則如下．

力收斂：

‖F({δ}>k+1)‖<εR‖F({δ}>1)‖；

(17)

位移收斂：

‖{dδ}>k+1‖<εδ‖{dδ}>1‖．

(18)

其中，εR和εR為兩個常數.

5)若收斂則計算終止，將當前的結構位移列陣{δ}>k+1作為最終解答；若不收斂，則令k:=k+1，進行下一次迭代直到收斂為止.

1.6 單元桿端力和節點土壓力

求出了節點位移列陣{δ}>后，可根據單元剛度方程(2)計算各單元的桿端力，然后根據單元桿端力(包括剪力和彎矩)繪出支護樁身內力圖.同樣地，由于支護樁側的土壓力荷載為節點位移的函數，將節點位移列陣代入式(4)和式(5)中，可計算得到基坑內外兩側支護樁所受的土壓力荷載分布.

2 本文方法與經典方法的對比

為驗證本文方法的合理性，現采用本文方法和經典的彈性地基梁法對某基坑懸臂式排樁進行內力計算，并將計算結果進行對比分析.計算參數如下：基坑開挖深度H1=4 m，排樁嵌固深度H2=6 m，樁徑為d=1.5 m，樁身混凝土彈性模量為E=25×106kPa，基坑周圍土質均勻，土體重度為γ=18kN/m3，c=0，φ=30°.采用經典法計算時，彈性地基反力的比例系數m=10 000.

從圖3(a)可以看出，本文方法計算的樁身水平位移明顯大于經典彈性地基梁法計算的樁身水平位移.從圖3(b)和(c)可以看出，本文方法計算的樁身最大剪力和彎矩值也大于按經典彈性地基梁法計算的結果.這是因為經典的彈性地基梁法僅考慮樁側土體抗力與樁身位移間的線性函數關系，即土體抗力可以隨樁側位移增大而不斷增大，因此有可能出現樁側土壓力大于被動土壓力的情況，過高地估計了土體的抗力值.另外，經典方法將基坑外側土壓力直接按主動土壓力計算，荷載取值明顯偏小.實際上，基坑外側土體是處于靜止土壓力與主動土壓力之間的“中間狀態”，因此實際的土壓力值要遠大于按主動土壓力計算的結果.從上述分析可以看出，經典方法過高地估計了土體的抗力，而過低地估計了基坑外側的土壓力荷載，因此計算結果偏于危險.本文方法通過考慮樁側土壓力與樁身位移間的非線性函數關系，較好地克服了經典方法的上述缺點，因而計算結果更為合理.

水平位移/mm(a) 水平位移分布圖

剪力/kN(b) 剪力分布

彎矩/(kN·m)(c) 彎矩分布圖3 新方法與經典方法的比較Fig.3 Comparison between new method and traditional method

3 工程應用實例及影響因素分析

長沙市簡牘博物館綠化廣場及停車場建設項目是長沙市的重點工程.工程場地位于長沙市城南路與建湘路交匯處的東北側，周邊建筑物及地下管線密布，工程地質條件較為復雜.為避免對既有建筑物和地下管線造成不良影響，基坑的開挖不能采用放坡處理，需進行必要的支護.其中北側受簡牘博物館地下室及其基礎的影響，采用排樁結構進行支護.為了進一步驗證本文方法的工程實用價值，現對該項目進行計算，同時分析土壓力變化控制參數c1，c2對計算結果的影響.計算參數如下：基坑周圍土體重度γ=19kN/m3，內摩擦角φ=30°，粘聚力c=12 kPa；樁徑為d=1.2 m，樁身鋼筋混凝土彈性模量為24×106kPa，基坑開挖深度H1=6 m，樁身嵌固深度H2=7 m.為便于分析，采用兩種方式進行計算：一是考慮參數c1變化，而c2取定值的情況；二是考慮參數c2變化，而c1取定值的情況.以下分別就兩種情況進行討論．

1)考慮c1變化，c2為定值的情況.

由圖4(a)可以看出，當c1逐漸增大，樁身水平位移逐漸減小．這是因為c1越大，基坑外側土壓力隨樁身位移增大減小的速度越快，樁身所受主動荷載減小.由圖4(b)和(c)可以看出，基坑外側土壓力隨深度逐漸增大，在樁底附近增大速度加快，而基坑內側土壓力隨深度逐漸增大，至某一深度后逐漸減小.由圖4(d)和(e)可以看出，c1改變不影響樁身剪力和彎矩的分布模式，最大剪力和彎矩出現的位置不變，但最大剪力和彎矩的絕對值均隨c1增大而減小.

水平位移/mm(a)

基坑外側土壓力/kPa(b)

基坑內側土壓力/kPa(c)

剪力/kN(d)

彎矩/(kN·m)(e)圖4 c1變化，c2為定值的計算結果Fig.4 Calculation results for the case of c1 varying and c2 setting to a constant

2)考慮c2變化，c1為定值的情況.

由圖5(a)可以看出，隨著c2逐漸增大，樁身的水平位移逐漸減小．這是因為c2越大，基坑內側土體被動抗力充分發揮所需的樁身位移越小，所以樁身側向位移的發展受到更大的限制.由圖5(b)和(c)可以看出，基坑內、外側土壓力隨深度變化的規律與圖4(b)和(c)所揭示規律一致，但在同一深度處，基坑內、外側土壓力隨c2變化的規律與圖4(b)和(c)中隨c1變化的規律相反.將圖5(d)和(e)與圖4(d)和(e)進行對比可以發現，c2對樁身剪力和彎矩的分布模式也沒有明顯影響，但最大剪力和彎矩的絕對值隨c2增大而逐漸增大.

水平位移/mm(a)

基坑外側土壓力/kPa(b)

基坑內側土壓力/kPa(c)

剪力/kN(d)

彎矩/(kN·m)(e)圖5 c2變化，c1為定值的計算結果Fig.5 Calculation results for the case of c2 varying and c1 setting to a constant

從以上的分析結果可以看出，土壓力變化控制參數c1,c2可以調節基坑內、外側土壓力隨樁身位移變化的規律，其對計算結果的影響主要表現為對樁身側向位移大小和最大剪力、彎矩值的影響，而對樁身位移和內力的分布形式的影響較小.總體而言，參數c1,c2在其取值范圍內變化時，計算結果的變化較為平緩，因此實際計算中不會出現因參數取值的偏差而造成計算結果誤差很大的情況.另外，從計算結果還可看出，由于懸臂式排樁沒有設置錨桿或內支撐，因此其樁頂處的側向位移值相對較大；樁底附近由于樁身側向位移方向的改變，基坑外側土壓力迅速增大，基坑內側土壓力迅速減小.該結果表明，通過將基坑內、外側土壓力的變化與樁身側向位移的變化聯系起來，本文方法較好地考慮了樁-土之間的相互作用機理，因而能較好地反映懸臂式排樁的實際受力情況.

4 結 論

樁-土間的相互作用是懸臂式排樁內力計算的關鍵因素.本文引入非線性的樁-土相互作用模型，提出了一種可考慮樁-土相互作用機理的懸臂式排樁內力計算方法，通過實際工程應用，可得出以下結論．

1)采用有限單元法建立結構剛度方程，并采用Newton-Raphson法進行迭代求解，可以快速計算出結構位移列陣，從而避免了共同變形理論中對結構位移進行不斷調整的繁瑣過程，極大地提高了求解效率.

2)通過假定基坑內、外側土壓力與樁身側向位移間的非線性函數關系，較好地考慮了樁-土間的相互作用機理和土壓力變化非線性的特點.

3)從影響因素分析的結果來看，參數c1,c2可以調整土壓力隨樁身側向位移的變化規律，在給定的取值范圍內，計算結果變化較為平緩，因此實際計算時不會出現因參數取值的偏差而造成計算誤差很大的情況，本文方法適合于工程應用.

[1] 劉國彬, 王衛東. 基坑工程手冊[M]. 第二版. 北京: 中國建筑工業出版社, 2009.

LIU Guo-bin, WANG Wei-dong. Excavation engineering manual [M]. Second Edition. Beijing: China Architecture and Building Press, 2009. (In Chinese)

[2] 高大釗, 孫均. 深基坑工程 [M]. 第二版.北京: 機械工業出版社, 2002.

GAO Da-zhao, SUN Jun. Deep excavation engineering [M]. Second Edition. Beijing: China Machine Press, 2002. (In Chinese)

[3] 趙其華. 巖土支擋與錨固工程[M]. 成都: 四川大學出版社, 2008.

ZHAO Qi-hua. Retaining and anchor engineering for rock and soil mass[M]. Chengdu: Sichuan University Press, 2008. (In Chinese)

[4] 楊斌, 胡立強. 擋土結構側土壓力與水平位移關系的試驗研究[J]. 建筑科學, 2000, 16(2): 14-20.

YANG Bin, HU Li-qiang. Test study on relationship between lateral earth pressure acting on retaining structures and horizontal displacement[J]. Building Science, 2000, 16(2): 14-20. (In Chinese)

[5] 張永興, 陳林. 擋土墻非極限狀態主動土壓力分布[J]. 土木工程學報, 2011, 44(4): 112-118.

ZHANG Yong-xing, CHEN Lin. Active earth pressure on retaining walls in non-limit state[J]. China Civil Engineering Journal, 2011, 44(4): 112-118. (In Chinese)

[6] 應宏偉, 謝康和, 潘秋元, 等. 土與變形完全耦合的擋土結構分析方法[J]. 土木工程學報, 2000, 33(2): 96-100.

YIN Hong-wei, XIE Kang-he, PAN Qiu-yuan,etal. Method of analyzing retaining structure considering earth pressure fully coupled with deformation[J]. China Civil Engineering Journal, 2000, 33(2): 96-100. (In Chinese)

[7] 鄧子勝, 鄒銀生, 王貽蓀. 考慮位移非線性影響的深基坑土壓力計算模型研究[J]. 工程力學, 2004, 21(1): 107-111.

DENG Zi-sheng, ZOU Yin-sheng, WANG Yi-sun. Calculation of the earth pressure considering nonlinear displacement influence on deep excavation[J]. Engineering Mechanics, 2004, 21(1): 107-111.(In Chinese)

[8] 崔允亮. 水平荷載作用下排樁受力和變形研究[D]. 揚州: 揚州大學建筑科學與工程學院, 2009.

CUI Yun-liang. Research on the mechanical and deformation characteristics of row piles under horizontal loads[D]. Yangzhou:College of Architectural Science and Engineering, Yangzhou University, 2009. (In Chinese)

[9] 王元戰, 李蔚, 黃長虹. 墻體繞基礎轉動情況下擋土墻主動土壓力分布[J]. 巖土工程學報, 2003, 25(2): 208-211.

WANG Yuan-zhan, LI Wei, HUANG Chang-hong. Distribution of active earth pressure with wall movement of rotation about base[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2003, 25(2): 208-211. (In Chinese)

[10] 李永剛. 擋土墻被動土壓力研究[J]. 巖土力學, 2003, 24(2): 273-276.

LI Yong-gang. Study on passive earth pressure of retaining wall[J]. Rock and Soil Mechanics, 2003, 24(2): 273-276. (In Chinese)

[11] LEE S H, KIM S I, LEE J H,etal. Two-parameter beam-column model and back analysis for flexible retaining walls[J]. Computers and Geotechnics, 2004, 31(6): 457-472.

[12] FINNO R J, HARAHAP I S, SABATINI P J. Analysis of braced excavations with coupled finite element formulations[J]. Computers and Geotechnics, 1991, 12(2): 91-114.

[13] WHITTLE A J, HASHASH Y M A, WHITEMAN R V. Analysis of deep excavation in Boston [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental, ASCE, 1993, 119(1): 60-90.

[14] TERZAGHI K, PECK R B. Soil mechanics in engineering practice[M]. New York: John Wiley, 1967.

[15] 鄭成德.數值計算方法[M]. 北京: 清華大學出版社, 2010.

ZHENG Cheng-de. Numerical computation method[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2010. (In Chinese)

[16] 趙明華. 土力學與基礎工程[M]. 武漢: 武漢理工大學出版社, 2000:272-295．

ZHAO Ming-hua. Soil Mechanics and foundation engineering[M]. Wuhan: Wuhan University of Technology Press, 2000:272-295. (In Chinese)