漫談質數與合數

何鴻猷

摘 要：設p為不含2、5的質數或合數，1/p，j=n，p不能表示成6r±1的是合數，循環節位數不能整除p-1的是合數。p為合數，ab=p，（a-1）/n=c，（b-1）/n=d，則（p-1）/n=ncd+c+d，能整除。商小于39的除9、15、33是合數外都是質數，10000以內1228個質數中，商小于39的有1196個。

關鍵詞：質數；合數；循環節位數；同循合數

中圖分類號：G640 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）16-177-03

自然數1不是質數也不是合數，是一個特殊的數。大于1位的正整數如果因數只有1和其自身，這個數是質數。如果因數有三個或以上的，這個數是合數。有些合數從尾數就能觀察出來，除2、5外，凡尾數是0、5和偶數的都是合數。

質數除2、3外，都可以表示成6r+1或6r-1，反之，不能表示成6r+1或6r-1的，都是合數。這樣的合數尾數凡是1、3、7、9的，都是3 的倍數。

6r±1數相互的積仍是6r±1的數。這樣的合數如何識別它呢？尾數是5的都是合數，其它的，方法是：（1）奇數減1，偶數能表示為ab+a+b的是合數（ab≠0），否則是質數。也就是：設u為奇數，以u2為首項，以2u為公差，數列的各項均為合數。（2）設p 為分母，求出1/p的循環節位數，若位數是3的倍數，但p是6r-1數，則p是合數；若位數是5的倍數，但尾數不是1，則p是合數（循環節位數是3的倍數，質數都是6r+1數；循環節位數是5的倍數，質數的尾數都是1）。（3）6的倍數能表示成6nr+n+r或6nr-n-r的，再乘以6加1是合數，否則是質數。6的倍數能表示成6nr+n-r或6nr-n+r的，再乘以6減1是合數，否則是質數。（4）凡尾數是4或9的，乘以6加1是合數。凡尾數是1或6的，乘以6減1是合數。6的倍數是方數的，再乘以6減1是合數。或曰，方數乘以36減1是合數。如方數的尾數是4或9的，乘以36±1都是合數。（5）（設p為除2、5以外所有質數與合數，設n為循環節位數，設j代表循環節位數5個字。以下同）質數的j=n都能整除p-1，凡j=n不能整除p-1的都是合數，反之則不成立。因為，同循合數和部分同循合數減1，j=n均能整除p-1，就是：ab=p，（a≠b） 1/p， j=n， 1/a ， j=n1， 1/b， j=n2若n1和n2的最小公倍數等于n，（a-1）/n=c，（b-1）/n=d，則（p-1）/n=ncd+c+d，能整除。如：41×11=451，1/451=0.0（·）022172949（·），j=10位，1/41，j=5，1/11，j=2位，2和5的最小公倍數是10，（11-1）/10=1，（41-1）/10=4， 所以（451-1）/10=45，（10×4×1+4+1=45），識別這一類合數，可以求出它們的j=n后，再去從與j=n相同的全1數中，求出與其j=n相同的質數或同循合數，若質數是唯一的一個或數個，凡是同樣j=n的其它數都是合數；求出的是同循合數，凡不能整除同循合數的都是合數。

大于1位，各位都是1的數稱為全1數，111稱3位全1數，11111稱5位全1數，n個1組成的數稱n位全1數，n位全1數中不含因數2或5，以n位全1數為分母的真分數化為循環小數是純循環小數，且j=n位，n也正是n位全1數中各因數分別為分母的真分數化為循環小數循環節位數的最小公倍數，所以，n位全1數中必有至少1個或者兩個、多個質因數j=n位。（以下簡稱某數的循環節位數）如10位全1數，即1111111111中，有全1數因數1111111111、11111、11（引入記號《n》表示n位全1數），《10》÷《5》÷《2》=9091，1/9091 =0.0（·）001099989（·），j=10位，9091是唯一的一個j=10位的質數，所以451是合數。 11×271=2981 9091×41=372731……都是j=10位。除9091外，它們都是合數。

15085351的j=100位，它是質數還是合數？《100》÷《50》÷（《20》÷《10》）=9999999999000000000099999999990000000001，這就是除1外各因數、質因數j=100位的同循合數，9999999999000000000099999999990000000001÷15085351余4567676，所以15085351是合數。15085351=251×60101，251的j=50位，60101的j=100位，9999999999000000000099999999990000000001÷60101=166386582569341608294371141910949901，能整除，所以60101是分解出來的一個質因數。

全1數，其中有質數：如《2》、《19》、《23》；有合數：合數分純異因合數、混異因合數、同因數合數、同循合數。混異因合數的特征是含有同因數合數，《22》《42》《78》《3nn≥2》等都是混異因合數。質數位全1數除《3》外，不是質數的都是同循合數。

（一）質數只有和1最小公倍數才能是質數；相等的質數最小公倍數是自身也是質數。所以，6r±1數中，不同j=n的異因合數，其循環節位數都不可能是質數。

（二）質數的j=n是質數的但不可能等于p-1位。因為質數除2外都是奇數，p-1是偶數，只有（p-1）/2，方有可能是奇數。如有某數的j=n是質數，經驗算不是3的倍數，它又能整除對應的同循合數，該數就是質數或部分同循合數。

（三）ab=p，1/a， j=（a-1），1/b，j=（b-1），則1/p，j=〔（a-1）（b-1）〕/2=〔ab-（a+b）+1〕/2，因為（ab-1）/2>〔ab-（a+b）+1〕/2，所以異因合數的j=n不可能是p-1位與（p-1）/2位。若p=a2，循環節最長為a2-a，如1/72，j=42 位，（p-1）>（p-a）>（p-1）/2，因此某數的j=n若是p-1位和（p-1）/2位的都是質數。根據（p-1）/n=ncd+c+d計算，（p-1）/n，9是不含2、5的同因數合數，j=1位，（9-1）/1=8，11×3=33，j=2位，（33-1）/2=16；11×9=99，j=2位，（99-1）/2=49，101×9=909， j=4（909-1）/4=227但它們都是6r+3數，7×13=91，91是同循合數，j=6位，（91-1）/6=15，19×37=703，j=18位，（703-1）/18=39，據統計：包括2、5在內10000以內有1228個質數，（p-1）/n商等于1和2的有841個，商小于8的有1088個，商小于15的有1161個，商小于39的有1196個。（后面的數字包括前面的數字）。除9、15、16外凡商小于39的都是質數。

（四）1/p化為循環小數j=n位，若p是不含2、3、5的合數，則p不僅可以和質數一樣能整除n位全9數，也可以整除n位全1數。凡能夠整除n位全1數的都能整除各位數碼相同的n位數。所以檢驗整數A能否被p整除，從A的低位向高位n位n位分節，每節正好是對p的一個剩余數。

（五）若p為質數，n為偶數以及n的奇數倍數，則前一半與后一半數碼完全相同的數能被p 整除。所以，任一個n位數前后各半2數的差都是對p的一個剩余數。若p為合數n為偶數，只有p的各質因數的j=n都是偶數位且相互的倍數是奇數時，前一半與后一半數碼完全相同的數才能被p 整除。偶位循環有個特點，就是運算至一半時必余分母減分子，前后各半對應數互為9的補數，對折起來和數恰是n/2位全9數。

（六）1/p化循環小數時，可以設想1后面有若干個0，p除至多少位0余1，則循環節就是多少位。這時0的個數與j=n是相等的，所以把位數看成0的個數是有意義的。整十整百相乘其積1后面0的個數恰好是因數0的和數。因此，根據中國余數定理：因數的余數積等于積的余數。2位的余數乘以3位的余數等于5位的余數（包括剩余數）。如100000/31=3225……25， 5位×5位×5位=15位。 25×25×25=15625， 15625/31=504……1。1/31，j=15位。

（七）1/p化為n位循環小數，循環節的有效數字乘以p等于n位全9數。n位全9數除以p即為n位循環小數的有效數字。如1/7=0.142857，142857×7=999999，999999/142857=7，999999/7=142857，所以將純循環小數化成分數的方法是：循環小數的有效數字為分子，n位全9數為分母，再約為最簡分數。若想到142857×7是一個42位數，就明白1/72，j=42位了，1/p2呢？1/pr呢？

（八）設q為2、5以及僅含2、5的合數，1/q化為小數是有限小數，再設h為有限小數的位數，1/q在化小數時，設想1后面有若干個0，q除至多少位0恰好除盡，h就是多少位，這時h和0的個數是相等的，換句話說，任何整數末位只要有h位0，這些數均能被q整除。由此，告訴我們兩種方法：（a）判斷整數A能否被q整除的方法：只要A 的末h位能被q整除， A就能被q整除；（b）有限小數化成分數的方法：以有限小數的有效數字為分子，以1后面有h位0的整數為分母，再化簡即可。

（九）設A為任一質數或合數，r/A=cr/cA=（cr-br）/（cA-bA）=r/A。設w為含有2、5的合數，r/w=ar/aw=（ar-br）/（aw-bw）=r/w。4×3=12是含有2的合數，1/12=0.083（·），為混循環小數，1000/12=83……4，12除盡了1000-4=996，1/12=83/996=（83-1×8）/（996-12×8）=（83-8）/（996-96）=75/900，恰巧，混循環小數化成分數，循環部分是幾位寫幾個9，不循環部分是幾位再在9的后面寫幾個0為分母；混循環小數的有效數字減去不循環部分的有效數字為分子，再化簡。

（十）6r±1如果都是質數，稱為對生質數，也叫孿生質數。一定范圍內的對生質數，是可以篩選出來的。下面篩選r=30以內的對生質數，以示方法：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6×1×1=6 6-1-1=4 6+1-1=6 6+1+1=8 （將4、6、8字號縮小以示區別）

6×2×1=12 12-2-1=9 12-2+1=11 12+2-1=13 12+2+1=15

6×3×1=18 18-3-1=14 18-3+1=16 18+3-1=20 18+3+1=22

6×4×1=24 24-4-1=19 24-4+1=21 24+4-1=27 24+4+1=29

6×2×2=24 24-2-2=20 24+2-2=24 24+2+2=28

6×5×1=30 30-5-1=24 30-5+1=26 30+5-1=34 30+5+1=36

6×6×1=36 36-6-1=29 36-6+1=31 36+2+3=41

6×2×3=36 36-2-3=31

用以上方法計算出來的數字都是6的一個倍數，即是r。這些6r±1不可能都是質數。

收獲：1 2 3 5 7 10 12 17 18 23 25 30 對生質數有：

5和7 11 和 13 17 和 19 29 和 31 41 和 43 59 和 61 71 和73

101 和 103 107 和 109 137 和 139 149 和 151 179和181

用此方法同樣可以篩選出來一定范圍內的所有質數，首先建立合數表，表中每一個方格代表一個6的倍數，記住上面（3）所述，在對應方格中寫上+號或-號，然后再反轉成質數表。在這樣的質數表中，對生質數的分布，一目了然。

例：241，在2號質數表豎4橫1的交叉處，此處方格中寫有+號，即421×6+1=1447是質數。橫豎交叉表示末兩位數，橫是末位數，表號是末兩位前面的數。

循環節位數 1-60與循環節對應的同循合數和質數

1 3

2 11

3 37

4 101

5 〔5〕=41×271

6 91=7×13

7 《7》=239×4649

8 10001=73×137

9 333667

10 9091

11 《11》=21649×513239

12 9901

13 《13》=53×79×265371653

14 909091

15 90090991=31×2906161 3

16 100000001=17×5882353

17 《17》=2071723×5363222357

18 999001=19×52579

19 《19》

20 99009901=3541×27961

21 900900990991=43×1933×10838689

22 826446281=23×4093×8779

23 《23》

24 99990001

25 100001000010000100001=21401×25601×182521213001

26 909090909091=859×1058313049

27 333333333666666667=757×440334654777631

28 990099009901=29×281×121499449

29 《29》=3191×16763×43037×62003×77843839397

30 109889011=241×211×2161

31 《31》=2791×6943319×57336415063790604359

32 10000000000000001=353×449×641×1409×69857

33 90090090090990990991=67×1344628210313298373

34 9090909090909091=103×4013×21993833369

35 900009090090909909099991=71×123551×102598800232111471

36 999999000001

37 《37》2028119×247629013×2212394296770203368013

38 909090909090909091

39 900900900900990990990991

40 9999000099990001=1676321×5964848081

41 《41》=83×1231×538987×201763709900322803748657942361

42 156985855573=127×2689×459691

43 《43》=173×1527791×1963506722254397×2140992015395526641

44 99009900990099009901=89×1052788969×1056689261

45 999000000999000999999001=238681×4185502830133110721

46 9090909090909090909091=47×139×2531×549797184491917

47 《47》=35121409×316362908763458525001406154038726382279

48 9999999900000001

49 1000000100000010000001000000100000010000001 =505885997×19767301445981 90963568024679333

50 999999000009999900001=251×5051×78875945472201

51 90090090090090090990990990991=613×210631×52986961×13168164561429877

52 990099009900990099009901=521×1900381976777332243781

53 《53》=107×1659431×1325815267337711173×471988587 99491425660200071

54 999999999000000001=70541929×14175966169

55 9000090000990009900099900999009999099991= 1321×62921×83251631×1300635692678058358830121 4

56 999900009999000099990001=7841×127522001020150503761

57 900900900900900900990990990990990991=21319×10749631×393112302230512 9377976519

58 9090909090909090909090909091=59×154083204930662557781201849

59《59》=2559647034361×4340876285657460212144534289928559826755746751

60 10099989899000101=61×4188901×39526741