數列的性質及通項、求和的應用探究
2014-09-16 02:23:20鄭會英
學周刊·下旬刊 2014年4期
鄭會英
摘要：數列的基本性質、通項及求和是高考考查的基本內容，屬于基礎題，一般情況下客觀題型小而巧，主要考查等差、等比數列的性質，難度中等。熟練掌握等差、等比數列的有關概念、公式與性質，這是解決數列通項與求和問題的基礎。對于常見的數列的求通項、求和的類型題要善于分類歸納整理，掌握各種類型的通解通法。
關鍵詞：數列性質 通項 求和
類型一：數列性質
（一）等差數列性質
例1.已知a■為等差數列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（ ）。
A.■ B.-■ C.■ D.-■
解析：因為a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。
考點：等差數列的性質。
變式：設等差數列a■的前n項和為Sn，且S5=10，S10=30，則S15=（ ）。
A.60 B.70 C.90 D.40
解析：因為數列a■為等差數列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差數列，設S15=x，則10，20，x-30成等差數列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。
考點：等差數列的性質，等差中項。
變式：已知兩個等差數列a■和b■的前n項和分別為An和Bn，且■=■，則使得■為整數的正整數的個數是（ ）。
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：在等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。
因為，兩個等差數列a■和b■的前n項和分別為An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，為使■為整數，需n+1為2，3，4，6，12，共5個，故選D。
考點：等差數列的性質，等差數列的求和公式。
點評：中檔題，在等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。本題較為典型。
（二）等比數列性質
例2：在正項等比數列a■中，lga3+lga6+lga9=3，則a1a11的值是 （ ）。
A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10
解析：因為lga3+lga6+lga9=3，同底對數相加得a3a6a9=103，用等比數列的性質得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。
考點：對數的運算，等比數列的性質。
變式：等比數列a■的各項均為正數，且a3+a8+a5+a6=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10應為log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故選B。
考點：本題考查了等比數列的性質及對數的運算。
點評：解決此類問題是利用等比數列的性質m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特別地，當m+n=2k，則am·an=a■■，然后利用對數的運算法則即可。
類型二：數列通項與求和的應用
例3：已知等比數列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差數列，
（1）求數列a■的通項公式；
（2）求數列na■的前n項的和。
解析：（1）根據a1，a2+1，a3成等差數列，建立公比q的方程，確定得到等比數列的通項公式。
（2）較為典型。應用“錯位相減法”確定數列的前n項的和。
試題解析：（1）設數列a■的公比為q，a2=2q，a3=2q2，由題設知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。
（2）設數列na■的前n項的和為Sn，
sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）
2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）
（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1
sn=（n-1）×2n+1+2
考點：等差數列，等比數列，“錯位相減法”求和。
變式：已知數列{an}的前n項和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值為8。
（1）確定常數k，求an；
（2）求數列■的前n項和Tn。
解析：（1）當n=k∈N*時，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，從而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。
∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，
∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。
考點：本題主要考查等差數列、等比數列的概念及其通項公式，數列的求和。
點評：典型題，本題首先由Sn，an的關系，確定數列的通項公式是關鍵。求和過程中應用了“錯位相減法”。在數列問題中，“分組求和法”“裂項相消法”也常常考到。
（責編 金 東）
摘要：數列的基本性質、通項及求和是高考考查的基本內容，屬于基礎題，一般情況下客觀題型小而巧，主要考查等差、等比數列的性質，難度中等。熟練掌握等差、等比數列的有關概念、公式與性質，這是解決數列通項與求和問題的基礎。對于常見的數列的求通項、求和的類型題要善于分類歸納整理，掌握各種類型的通解通法。
關鍵詞：數列性質 通項 求和
類型一：數列性質
（一）等差數列性質
例1.已知a■為等差數列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（ ）。
A.■ B.-■ C.■ D.-■
解析：因為a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。
考點：等差數列的性質。
變式：設等差數列a■的前n項和為Sn，且S5=10，S10=30，則S15=（ ）。
A.60 B.70 C.90 D.40
解析：因為數列a■為等差數列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差數列，設S15=x，則10，20，x-30成等差數列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。
考點：等差數列的性質，等差中項。
變式：已知兩個等差數列a■和b■的前n項和分別為An和Bn，且■=■，則使得■為整數的正整數的個數是（ ）。
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：在等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。
因為，兩個等差數列a■和b■的前n項和分別為An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，為使■為整數，需n+1為2，3，4，6，12，共5個，故選D。
考點：等差數列的性質，等差數列的求和公式。
點評：中檔題，在等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。本題較為典型。
（二）等比數列性質
例2：在正項等比數列a■中，lga3+lga6+lga9=3，則a1a11的值是 （ ）。
A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10
解析：因為lga3+lga6+lga9=3，同底對數相加得a3a6a9=103，用等比數列的性質得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。
考點：對數的運算，等比數列的性質。
變式：等比數列a■的各項均為正數，且a3+a8+a5+a6=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10應為log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故選B。
考點：本題考查了等比數列的性質及對數的運算。
點評：解決此類問題是利用等比數列的性質m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特別地，當m+n=2k，則am·an=a■■，然后利用對數的運算法則即可。
類型二：數列通項與求和的應用
例3：已知等比數列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差數列，
（1）求數列a■的通項公式；
（2）求數列na■的前n項的和。
解析：（1）根據a1，a2+1，a3成等差數列，建立公比q的方程，確定得到等比數列的通項公式。
（2）較為典型。應用“錯位相減法”確定數列的前n項的和。
試題解析：（1）設數列a■的公比為q，a2=2q，a3=2q2，由題設知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。
（2）設數列na■的前n項的和為Sn，
sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）
2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）
（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1
sn=（n-1）×2n+1+2
考點：等差數列，等比數列，“錯位相減法”求和。
變式：已知數列{an}的前n項和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值為8。
（1）確定常數k，求an；
（2）求數列■的前n項和Tn。
解析：（1）當n=k∈N*時，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，從而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。
∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，
∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。
考點：本題主要考查等差數列、等比數列的概念及其通項公式，數列的求和。
點評：典型題，本題首先由Sn，an的關系，確定數列的通項公式是關鍵。求和過程中應用了“錯位相減法”。在數列問題中，“分組求和法”“裂項相消法”也常常考到。
（責編 金 東）
摘要：數列的基本性質、通項及求和是高考考查的基本內容，屬于基礎題，一般情況下客觀題型小而巧，主要考查等差、等比數列的性質，難度中等。熟練掌握等差、等比數列的有關概念、公式與性質，這是解決數列通項與求和問題的基礎。對于常見的數列的求通項、求和的類型題要善于分類歸納整理，掌握各種類型的通解通法。
關鍵詞：數列性質 通項 求和
類型一：數列性質
（一）等差數列性質
例1.已知a■為等差數列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（ ）。
A.■ B.-■ C.■ D.-■
解析：因為a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。
考點：等差數列的性質。
變式：設等差數列a■的前n項和為Sn，且S5=10，S10=30，則S15=（ ）。
A.60 B.70 C.90 D.40
解析：因為數列a■為等差數列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差數列，設S15=x，則10，20，x-30成等差數列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。
考點：等差數列的性質，等差中項。
變式：已知兩個等差數列a■和b■的前n項和分別為An和Bn，且■=■，則使得■為整數的正整數的個數是（ ）。
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：在等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。
因為，兩個等差數列a■和b■的前n項和分別為An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，為使■為整數，需n+1為2，3，4，6，12，共5個，故選D。
考點：等差數列的性質，等差數列的求和公式。
點評：中檔題，在等差數列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。本題較為典型。
（二）等比數列性質
例2：在正項等比數列a■中，lga3+lga6+lga9=3，則a1a11的值是 （ ）。
A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10
解析：因為lga3+lga6+lga9=3，同底對數相加得a3a6a9=103，用等比數列的性質得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。
考點：對數的運算，等比數列的性質。
變式：等比數列a■的各項均為正數，且a3+a8+a5+a6=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10應為log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故選B。
考點：本題考查了等比數列的性質及對數的運算。
點評：解決此類問題是利用等比數列的性質m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特別地，當m+n=2k，則am·an=a■■，然后利用對數的運算法則即可。
類型二：數列通項與求和的應用
例3：已知等比數列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差數列，
（1）求數列a■的通項公式；
（2）求數列na■的前n項的和。
解析：（1）根據a1，a2+1，a3成等差數列，建立公比q的方程，確定得到等比數列的通項公式。
（2）較為典型。應用“錯位相減法”確定數列的前n項的和。
試題解析：（1）設數列a■的公比為q，a2=2q，a3=2q2，由題設知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。
（2）設數列na■的前n項的和為Sn，
sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）
2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）
（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1
sn=（n-1）×2n+1+2
考點：等差數列，等比數列，“錯位相減法”求和。
變式：已知數列{an}的前n項和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值為8。
（1）確定常數k，求an；
（2）求數列■的前n項和Tn。
解析：（1）當n=k∈N*時，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，從而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。
∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，
∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。
考點：本題主要考查等差數列、等比數列的概念及其通項公式，數列的求和。
點評：典型題，本題首先由Sn，an的關系，確定數列的通項公式是關鍵。求和過程中應用了“錯位相減法”。在數列問題中，“分組求和法”“裂項相消法”也常常考到。
（責編 金 東）
