數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)學(xué)思維

傅秀麗

數(shù)學(xué)競賽是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育實踐中的一個重要的組成部分，數(shù)學(xué)思維則是人腦和數(shù)學(xué)對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學(xué)中的形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創(chuàng)造性思維是數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的基本成分。以下筆者將結(jié)合數(shù)學(xué)競賽中試題的分析來闡述形象思維、直覺思維、定勢思維以及創(chuàng)造性思維。

一、形象思維

數(shù)學(xué)中形象思維是憑借各種形象來思考、表述和展開數(shù)學(xué)問題的思維活動。形象思維的形式有：意象、聯(lián)想、想象。

例1：六年級有學(xué)生54人，每人至少愛好一種球，其中愛好乒乓球的有40人，愛好足球的有20人，愛好排球的有30人。既愛好乒乓球又愛好排球的有18人；既愛好足球又愛好乒乓球的有14人；既愛好足球又愛好排球的有12人，對于這三種都愛好的有幾人？

分析：我們用韋恩圖（畫三個圓）表示題中的數(shù)量關(guān)系，三個圓兩兩相交，分隔成7塊，設(shè)三種都愛好的有x人，那么每一塊所表示的意義就一目了然了。（如圖）

解：設(shè)三種都愛好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54

x+46=54

x=8

本題通過畫圖，把題中的各個數(shù)量以及數(shù)量之間的關(guān)系清楚地呈現(xiàn)出來，把繁雜的數(shù)字用具體的形象來展現(xiàn)。

二、直覺思維

數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動。這是數(shù)學(xué)直覺思維的本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的，問題的解決也離不開直覺。

例2：計算■+■+■

分析一：三個分子都是1，分母都是三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這樣我們想到用“裂項相消”的辦法。

解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）

=■×（■-■+■-■+■-■）

=■×（■-■）

=■

分析二：由于項數(shù)不多，故采用通分計算。

原式=■+■+■

=■

=■

“裂項相消”是競賽中常用的，本題也可采用，但優(yōu)勢不大。但若碰到：

“求■+■+■+...+■的值”時，用“裂項相消”的方法就非常方便簡單了。

三、定勢思維

定勢思維是指人們用某種固定的思維模式去分析問題、解決問題。這種固定模式是已知的，事先有所準(zhǔn)備的，具體地說，思維中的定勢包括定向、定法、定序三個主要方面的內(nèi)容。

例3： 如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形又有（ ）個。

分析：采用分類討論的方法來做（定法）。對于這種計數(shù)題，很容易遺漏或者重復(fù)計算。用分類討論的方法思路很清晰，也便于做完后檢查，查漏補缺。

解：以正方形面積大小來分類計數(shù)：

設(shè)相鄰兩點的距離為1，則正方形的面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個。

所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形。

四、創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維是指以新的材料、從新的角度，用新的程序和方法處理、加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創(chuàng)造性思維的特征有獨創(chuàng)性、靈活性、綜合性。

例4：設(shè)A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。

（1）A>B （2）A=B （3）A

解法一：把A，B分別寫成

A=9876543×（3456788+1）

=9876543×345678+9876543

B=（9876543+1）×3456788

=9876543×3456788+3456788

比較A、B可發(fā)現(xiàn)第一項相等，后一項的9876543大于3456788，故A>B，選（1）

解法二：本題可看成兩個矩形的面積大小比較，其中一個矩形的長為9876543，寬為3456789；另一個矩形的長為9876544，寬為3456788。為了比較他們的面積，畫出這兩個矩形的示意圖，并按圖中所示盡可能將它們重疊在一起，去掉重疊部分后，兩個矩形都剩下寬為1的矩形，顯然畫豎條的矩形面積比畫橫條的矩形面積要大，即故A>B，故選（1）。

解法二的方法比較新穎，有創(chuàng)造性突破了代數(shù)的計算，從而轉(zhuǎn)換到幾何上的比較大小，具有直觀性，同時可以開拓學(xué)生的思維。

數(shù)學(xué)競賽活動考察的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，因此數(shù)學(xué)競賽的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)，同時，我們也可以通過數(shù)學(xué)競賽來提高數(shù)學(xué)思維能力。

（責(zé)編 張景賢）

數(shù)學(xué)競賽是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育實踐中的一個重要的組成部分，數(shù)學(xué)思維則是人腦和數(shù)學(xué)對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學(xué)中的形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創(chuàng)造性思維是數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的基本成分。以下筆者將結(jié)合數(shù)學(xué)競賽中試題的分析來闡述形象思維、直覺思維、定勢思維以及創(chuàng)造性思維。

一、形象思維

數(shù)學(xué)中形象思維是憑借各種形象來思考、表述和展開數(shù)學(xué)問題的思維活動。形象思維的形式有：意象、聯(lián)想、想象。

例1：六年級有學(xué)生54人，每人至少愛好一種球，其中愛好乒乓球的有40人，愛好足球的有20人，愛好排球的有30人。既愛好乒乓球又愛好排球的有18人；既愛好足球又愛好乒乓球的有14人；既愛好足球又愛好排球的有12人，對于這三種都愛好的有幾人？

分析：我們用韋恩圖（畫三個圓）表示題中的數(shù)量關(guān)系，三個圓兩兩相交，分隔成7塊，設(shè)三種都愛好的有x人，那么每一塊所表示的意義就一目了然了。（如圖）

解：設(shè)三種都愛好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54

x+46=54

x=8

本題通過畫圖，把題中的各個數(shù)量以及數(shù)量之間的關(guān)系清楚地呈現(xiàn)出來，把繁雜的數(shù)字用具體的形象來展現(xiàn)。

二、直覺思維

數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動。這是數(shù)學(xué)直覺思維的本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的，問題的解決也離不開直覺。

例2：計算■+■+■

分析一：三個分子都是1，分母都是三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這樣我們想到用“裂項相消”的辦法。

解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）

=■×（■-■+■-■+■-■）

=■×（■-■）

=■

分析二：由于項數(shù)不多，故采用通分計算。

原式=■+■+■

=■

=■

“裂項相消”是競賽中常用的，本題也可采用，但優(yōu)勢不大。但若碰到：

“求■+■+■+...+■的值”時，用“裂項相消”的方法就非常方便簡單了。

三、定勢思維

定勢思維是指人們用某種固定的思維模式去分析問題、解決問題。這種固定模式是已知的，事先有所準(zhǔn)備的，具體地說，思維中的定勢包括定向、定法、定序三個主要方面的內(nèi)容。

例3： 如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形又有（ ）個。

分析：采用分類討論的方法來做（定法）。對于這種計數(shù)題，很容易遺漏或者重復(fù)計算。用分類討論的方法思路很清晰，也便于做完后檢查，查漏補缺。

解：以正方形面積大小來分類計數(shù)：

設(shè)相鄰兩點的距離為1，則正方形的面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個。

所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形。

四、創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維是指以新的材料、從新的角度，用新的程序和方法處理、加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創(chuàng)造性思維的特征有獨創(chuàng)性、靈活性、綜合性。

例4：設(shè)A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。

（1）A>B （2）A=B （3）A

解法一：把A，B分別寫成

A=9876543×（3456788+1）

=9876543×345678+9876543

B=（9876543+1）×3456788

=9876543×3456788+3456788

比較A、B可發(fā)現(xiàn)第一項相等，后一項的9876543大于3456788，故A>B，選（1）

解法二：本題可看成兩個矩形的面積大小比較，其中一個矩形的長為9876543，寬為3456789；另一個矩形的長為9876544，寬為3456788。為了比較他們的面積，畫出這兩個矩形的示意圖，并按圖中所示盡可能將它們重疊在一起，去掉重疊部分后，兩個矩形都剩下寬為1的矩形，顯然畫豎條的矩形面積比畫橫條的矩形面積要大，即故A>B，故選（1）。

解法二的方法比較新穎，有創(chuàng)造性突破了代數(shù)的計算，從而轉(zhuǎn)換到幾何上的比較大小，具有直觀性，同時可以開拓學(xué)生的思維。

數(shù)學(xué)競賽活動考察的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，因此數(shù)學(xué)競賽的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)，同時，我們也可以通過數(shù)學(xué)競賽來提高數(shù)學(xué)思維能力。

（責(zé)編 張景賢）

數(shù)學(xué)競賽是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育實踐中的一個重要的組成部分，數(shù)學(xué)思維則是人腦和數(shù)學(xué)對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學(xué)中的形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創(chuàng)造性思維是數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的基本成分。以下筆者將結(jié)合數(shù)學(xué)競賽中試題的分析來闡述形象思維、直覺思維、定勢思維以及創(chuàng)造性思維。

一、形象思維

數(shù)學(xué)中形象思維是憑借各種形象來思考、表述和展開數(shù)學(xué)問題的思維活動。形象思維的形式有：意象、聯(lián)想、想象。

例1：六年級有學(xué)生54人，每人至少愛好一種球，其中愛好乒乓球的有40人，愛好足球的有20人，愛好排球的有30人。既愛好乒乓球又愛好排球的有18人；既愛好足球又愛好乒乓球的有14人；既愛好足球又愛好排球的有12人，對于這三種都愛好的有幾人？

分析：我們用韋恩圖（畫三個圓）表示題中的數(shù)量關(guān)系，三個圓兩兩相交，分隔成7塊，設(shè)三種都愛好的有x人，那么每一塊所表示的意義就一目了然了。（如圖）

解：設(shè)三種都愛好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54

x+46=54

x=8

本題通過畫圖，把題中的各個數(shù)量以及數(shù)量之間的關(guān)系清楚地呈現(xiàn)出來，把繁雜的數(shù)字用具體的形象來展現(xiàn)。

二、直覺思維

數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動。這是數(shù)學(xué)直覺思維的本質(zhì)特征，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的，問題的解決也離不開直覺。

例2：計算■+■+■

分析一：三個分子都是1，分母都是三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這樣我們想到用“裂項相消”的辦法。

解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）

=■×（■-■+■-■+■-■）

=■×（■-■）

=■

分析二：由于項數(shù)不多，故采用通分計算。

原式=■+■+■

=■

=■

“裂項相消”是競賽中常用的，本題也可采用，但優(yōu)勢不大。但若碰到：

“求■+■+■+...+■的值”時，用“裂項相消”的方法就非常方便簡單了。

三、定勢思維

定勢思維是指人們用某種固定的思維模式去分析問題、解決問題。這種固定模式是已知的，事先有所準(zhǔn)備的，具體地說，思維中的定勢包括定向、定法、定序三個主要方面的內(nèi)容。

例3： 如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形又有（ ）個。

分析：采用分類討論的方法來做（定法）。對于這種計數(shù)題，很容易遺漏或者重復(fù)計算。用分類討論的方法思路很清晰，也便于做完后檢查，查漏補缺。

解：以正方形面積大小來分類計數(shù)：

設(shè)相鄰兩點的距離為1，則正方形的面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個。

所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形。

四、創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維是指以新的材料、從新的角度，用新的程序和方法處理、加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創(chuàng)造性思維的特征有獨創(chuàng)性、靈活性、綜合性。

例4：設(shè)A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。

（1）A>B （2）A=B （3）A

解法一：把A，B分別寫成

A=9876543×（3456788+1）

=9876543×345678+9876543

B=（9876543+1）×3456788

=9876543×3456788+3456788

比較A、B可發(fā)現(xiàn)第一項相等，后一項的9876543大于3456788，故A>B，選（1）

解法二：本題可看成兩個矩形的面積大小比較，其中一個矩形的長為9876543，寬為3456789；另一個矩形的長為9876544，寬為3456788。為了比較他們的面積，畫出這兩個矩形的示意圖，并按圖中所示盡可能將它們重疊在一起，去掉重疊部分后，兩個矩形都剩下寬為1的矩形，顯然畫豎條的矩形面積比畫橫條的矩形面積要大，即故A>B，故選（1）。

解法二的方法比較新穎，有創(chuàng)造性突破了代數(shù)的計算，從而轉(zhuǎn)換到幾何上的比較大小，具有直觀性，同時可以開拓學(xué)生的思維。

數(shù)學(xué)競賽活動考察的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，因此數(shù)學(xué)競賽的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)，同時，我們也可以通過數(shù)學(xué)競賽來提高數(shù)學(xué)思維能力。

（責(zé)編 張景賢）