數學競賽中的數學思維

傅秀麗

數學競賽是當前數學教育實踐中的一個重要的組成部分，數學思維則是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。數學中的形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創造性思維是數學思維結構的基本成分。以下筆者將結合數學競賽中試題的分析來闡述形象思維、直覺思維、定勢思維以及創造性思維。

一、形象思維

數學中形象思維是憑借各種形象來思考、表述和展開數學問題的思維活動。形象思維的形式有：意象、聯想、想象。

例1：六年級有學生54人，每人至少愛好一種球，其中愛好乒乓球的有40人，愛好足球的有20人，愛好排球的有30人。既愛好乒乓球又愛好排球的有18人；既愛好足球又愛好乒乓球的有14人；既愛好足球又愛好排球的有12人，對于這三種都愛好的有幾人？

分析：我們用韋恩圖（畫三個圓）表示題中的數量關系，三個圓兩兩相交，分隔成7塊，設三種都愛好的有x人，那么每一塊所表示的意義就一目了然了。（如圖）

解：設三種都愛好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54

x+46=54

x=8

本題通過畫圖，把題中的各個數量以及數量之間的關系清楚地呈現出來，把繁雜的數字用具體的形象來展現。

二、直覺思維

數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。這是數學直覺思維的本質特征，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題的解決也離不開直覺。

例2：計算■+■+■

分析一：三個分子都是1，分母都是三個連續自然數的乘積，這樣我們想到用“裂項相消”的辦法。

解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）

=■×（■-■+■-■+■-■）

=■×（■-■）

=■

分析二：由于項數不多，故采用通分計算。

原式=■+■+■

=■

=■

“裂項相消”是競賽中常用的，本題也可采用，但優勢不大。但若碰到：

“求■+■+■+...+■的值”時，用“裂項相消”的方法就非常方便簡單了。

三、定勢思維

定勢思維是指人們用某種固定的思維模式去分析問題、解決問題。這種固定模式是已知的，事先有所準備的，具體地說，思維中的定勢包括定向、定法、定序三個主要方面的內容。

例3： 如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形又有（ ）個。

分析：采用分類討論的方法來做（定法）。對于這種計數題，很容易遺漏或者重復計算。用分類討論的方法思路很清晰，也便于做完后檢查，查漏補缺。

解：以正方形面積大小來分類計數：

設相鄰兩點的距離為1，則正方形的面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個。

所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形。

四、創造性思維

創造性思維是指以新的材料、從新的角度，用新的程序和方法處理、加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創造性思維的特征有獨創性、靈活性、綜合性。

例4：設A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。

（1）A>B （2）A=B （3）A

解法一：把A，B分別寫成

A=9876543×（3456788+1）

=9876543×345678+9876543

B=（9876543+1）×3456788

=9876543×3456788+3456788

比較A、B可發現第一項相等，后一項的9876543大于3456788，故A>B，選（1）

解法二：本題可看成兩個矩形的面積大小比較，其中一個矩形的長為9876543，寬為3456789；另一個矩形的長為9876544，寬為3456788。為了比較他們的面積，畫出這兩個矩形的示意圖，并按圖中所示盡可能將它們重疊在一起，去掉重疊部分后，兩個矩形都剩下寬為1的矩形，顯然畫豎條的矩形面積比畫橫條的矩形面積要大，即故A>B，故選（1）。

解法二的方法比較新穎，有創造性突破了代數的計算，從而轉換到幾何上的比較大小，具有直觀性，同時可以開拓學生的思維。

數學競賽活動考察的是學生的數學思維和數學能力，因此數學競賽的本質是數學思維的學習，同時，我們也可以通過數學競賽來提高數學思維能力。

（責編 張景賢）

數學競賽是當前數學教育實踐中的一個重要的組成部分，數學思維則是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。數學中的形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創造性思維是數學思維結構的基本成分。以下筆者將結合數學競賽中試題的分析來闡述形象思維、直覺思維、定勢思維以及創造性思維。

一、形象思維

數學中形象思維是憑借各種形象來思考、表述和展開數學問題的思維活動。形象思維的形式有：意象、聯想、想象。

例1：六年級有學生54人，每人至少愛好一種球，其中愛好乒乓球的有40人，愛好足球的有20人，愛好排球的有30人。既愛好乒乓球又愛好排球的有18人；既愛好足球又愛好乒乓球的有14人；既愛好足球又愛好排球的有12人，對于這三種都愛好的有幾人？

分析：我們用韋恩圖（畫三個圓）表示題中的數量關系，三個圓兩兩相交，分隔成7塊，設三種都愛好的有x人，那么每一塊所表示的意義就一目了然了。（如圖）

解：設三種都愛好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54

x+46=54

x=8

本題通過畫圖，把題中的各個數量以及數量之間的關系清楚地呈現出來，把繁雜的數字用具體的形象來展現。

二、直覺思維

數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。這是數學直覺思維的本質特征，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題的解決也離不開直覺。

例2：計算■+■+■

分析一：三個分子都是1，分母都是三個連續自然數的乘積，這樣我們想到用“裂項相消”的辦法。

解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）

=■×（■-■+■-■+■-■）

=■×（■-■）

=■

分析二：由于項數不多，故采用通分計算。

原式=■+■+■

=■

=■

“裂項相消”是競賽中常用的，本題也可采用，但優勢不大。但若碰到：

“求■+■+■+...+■的值”時，用“裂項相消”的方法就非常方便簡單了。

三、定勢思維

定勢思維是指人們用某種固定的思維模式去分析問題、解決問題。這種固定模式是已知的，事先有所準備的，具體地說，思維中的定勢包括定向、定法、定序三個主要方面的內容。

例3： 如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形又有（ ）個。

分析：采用分類討論的方法來做（定法）。對于這種計數題，很容易遺漏或者重復計算。用分類討論的方法思路很清晰，也便于做完后檢查，查漏補缺。

解：以正方形面積大小來分類計數：

設相鄰兩點的距離為1，則正方形的面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個。

所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形。

四、創造性思維

創造性思維是指以新的材料、從新的角度，用新的程序和方法處理、加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創造性思維的特征有獨創性、靈活性、綜合性。

例4：設A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。

（1）A>B （2）A=B （3）A

解法一：把A，B分別寫成

A=9876543×（3456788+1）

=9876543×345678+9876543

B=（9876543+1）×3456788

=9876543×3456788+3456788

比較A、B可發現第一項相等，后一項的9876543大于3456788，故A>B，選（1）

解法二：本題可看成兩個矩形的面積大小比較，其中一個矩形的長為9876543，寬為3456789；另一個矩形的長為9876544，寬為3456788。為了比較他們的面積，畫出這兩個矩形的示意圖，并按圖中所示盡可能將它們重疊在一起，去掉重疊部分后，兩個矩形都剩下寬為1的矩形，顯然畫豎條的矩形面積比畫橫條的矩形面積要大，即故A>B，故選（1）。

解法二的方法比較新穎，有創造性突破了代數的計算，從而轉換到幾何上的比較大小，具有直觀性，同時可以開拓學生的思維。

數學競賽活動考察的是學生的數學思維和數學能力，因此數學競賽的本質是數學思維的學習，同時，我們也可以通過數學競賽來提高數學思維能力。

（責編 張景賢）

數學競賽是當前數學教育實踐中的一個重要的組成部分，數學思維則是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系）交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。數學中的形象思維、直覺思維、定勢思維和反定勢思維以及創造性思維是數學思維結構的基本成分。以下筆者將結合數學競賽中試題的分析來闡述形象思維、直覺思維、定勢思維以及創造性思維。

一、形象思維

數學中形象思維是憑借各種形象來思考、表述和展開數學問題的思維活動。形象思維的形式有：意象、聯想、想象。

例1：六年級有學生54人，每人至少愛好一種球，其中愛好乒乓球的有40人，愛好足球的有20人，愛好排球的有30人。既愛好乒乓球又愛好排球的有18人；既愛好足球又愛好乒乓球的有14人；既愛好足球又愛好排球的有12人，對于這三種都愛好的有幾人？

分析：我們用韋恩圖（畫三個圓）表示題中的數量關系，三個圓兩兩相交，分隔成7塊，設三種都愛好的有x人，那么每一塊所表示的意義就一目了然了。（如圖）

解：設三種都愛好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54

x+46=54

x=8

本題通過畫圖，把題中的各個數量以及數量之間的關系清楚地呈現出來，把繁雜的數字用具體的形象來展現。

二、直覺思維

數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動。這是數學直覺思維的本質特征，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題的解決也離不開直覺。

例2：計算■+■+■

分析一：三個分子都是1，分母都是三個連續自然數的乘積，這樣我們想到用“裂項相消”的辦法。

解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）

=■×（■-■+■-■+■-■）

=■×（■-■）

=■

分析二：由于項數不多，故采用通分計算。

原式=■+■+■

=■

=■

“裂項相消”是競賽中常用的，本題也可采用，但優勢不大。但若碰到：

“求■+■+■+...+■的值”時，用“裂項相消”的方法就非常方便簡單了。

三、定勢思維

定勢思維是指人們用某種固定的思維模式去分析問題、解決問題。這種固定模式是已知的，事先有所準備的，具體地說，思維中的定勢包括定向、定法、定序三個主要方面的內容。

例3： 如下圖，方格紙上放了20枚棋子，以棋子為頂點的正方形又有（ ）個。

分析：采用分類討論的方法來做（定法）。對于這種計數題，很容易遺漏或者重復計算。用分類討論的方法思路很清晰，也便于做完后檢查，查漏補缺。

解：以正方形面積大小來分類計數：

設相鄰兩點的距離為1，則正方形的面積為1的有9個；面積為2的有4個；面積為5的有2個；面積為8的有4個；面積為13的有2個。

所以，共有9+4+2+4+2=21個正方形。

四、創造性思維

創造性思維是指以新的材料、從新的角度，用新的程序和方法處理、加工信息，從而獲得新成果的思維活動和過程。創造性思維的特征有獨創性、靈活性、綜合性。

例4：設A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。

（1）A>B （2）A=B （3）A

解法一：把A，B分別寫成

A=9876543×（3456788+1）

=9876543×345678+9876543

B=（9876543+1）×3456788

=9876543×3456788+3456788

比較A、B可發現第一項相等，后一項的9876543大于3456788，故A>B，選（1）

解法二：本題可看成兩個矩形的面積大小比較，其中一個矩形的長為9876543，寬為3456789；另一個矩形的長為9876544，寬為3456788。為了比較他們的面積，畫出這兩個矩形的示意圖，并按圖中所示盡可能將它們重疊在一起，去掉重疊部分后，兩個矩形都剩下寬為1的矩形，顯然畫豎條的矩形面積比畫橫條的矩形面積要大，即故A>B，故選（1）。

解法二的方法比較新穎，有創造性突破了代數的計算，從而轉換到幾何上的比較大小，具有直觀性，同時可以開拓學生的思維。

數學競賽活動考察的是學生的數學思維和數學能力，因此數學競賽的本質是數學思維的學習，同時，我們也可以通過數學競賽來提高數學思維能力。

（責編 張景賢）