幾何證明中添加輔助線的原理分析

黃麗云

摘 要： 本文探討幾何證明中添加輔助線的基本原理，指出發現與建立圖形中的和諧統一關系是添加輔助線，進而證明幾何問題的關鍵.

關鍵詞： 幾何證明 輔助線 基本原理

添加輔助線是幾何證明的重要手段，歷來受到數學教育者的重視，許多幾何專著中都詳細而深入地討論了輔助線的類型、作法，如文獻[1，2]，給予讀者很大的啟發和幫助.然而，在一些具體問題的證明中，有效而恰當地聯想到某一類輔助線作法以實現證明，對學生來說仍然存在困難.本文從另一種角度出發，探討添加輔助線的原理和入手點.

辯證法指出，事物是相互聯系、相互制約、相互轉化的.從辯證的觀點看，數學問題中所涉及的數式與數式之間，數式與圖形之間，圖形與圖形之間必然存在某種和諧統一的關系，這種和諧統一關系是建立各種必要聯系、促進問題轉化與解決的關鍵.在幾何問題的證明中，如果僅利用已知條件和已知圖形難以證明時，即表明問題的已知與未知之間存在某種不和諧，則需要添加輔助線建立已知與未知的和諧統一關系，從而使問題得以解決.因此，添加輔助線的一個基本思路就是，分析問題中的不和諧因素，發現和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統一關系.

不同的幾何問題，其中的不和諧狀態也各不相同，這就導致幾何證明靈活多變，難以把握.注意觀察問題中的不和諧因素，并由此出發建立和諧統一關系，有利于我們把握問題的關鍵所在，找到解題思路.

例1：如圖1，在四邊形中ABCD，AB=CD，M、N分別是BC邊與AD邊的中點，∠1是直線BA與MN所成的角，∠2是直線CD與MN所成的角，求證：∠1=∠2.

分析：觀察圖1，∠1與∠2的位置狀況不太好，難以找到二者之間的直接關系，并且與其他已知條件也無明顯聯系，這正是問題的不和諧之處.由于已知條件多是關于四邊形ABCD的性質，為證∠1=∠2，將二者平移到四邊形內，方便建立聯系.怎樣平移效果好？分析∠1與∠2的位置特征，考慮選取特殊點M、N作BA、CD的平行線，構造與的等角.又注意到M、N分別是BC邊與AD邊的中點，聯想中位線的性質，連接AC，設AC的中點為E，連接ME、NE，即得到BA、CD的平行線，并且可以將與平移到內，方便分析二者的關系.

評注：在例1中，∠1與∠2的位置關系不和諧，而已知條件又多是關于四邊形ABCD的，通過連接其對角線AC，構造三角形的中位線，建立了圖形的和諧統一關系，從而可以利用平行線的性質，使問題得以解決.觀察分析問題的不和諧因素，并由此入手作輔助線建立和諧統一關系，是解決問題的關鍵所在.

例2：如圖2，點E是正方形ABCD的BC邊上的任意一點，∠EAD的角平分線AF與CD交于點F.求證：DF=AE-BE.

分析：求證中的線段DF離AE、BE較遠，不便于觀察它們之間的聯系.從這一不和諧狀況入手，考慮到要證的等式等價于DF+BE=AE，把DF移動到EB的延長線上，使它與AE、BE位于同一個三角形內，更容易分析它們之間的關系.

證明：延長EB到點P，使BP=DF.

在△ABP與△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因為AF是∠EAD的角平分線，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因為AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，進而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

評注：在例2中，通過移動DF到EB的延長線上，把求證中分離較遠的三個幾何量移到了同一個三角形中，建立了圖形的和諧統一關系，這一作法相當于把△ADF繞點A順時針旋轉了90°，從而可以利用旋轉圖形的性質，使問題得以解決.

例3：如圖3，線段AB、CD相交于點O，且AB=CD，E、F分別為線段AC、DB的中點，連接EF分別交AB、CD于點N、M.求證：OM=ON.

分析：僅由已知的圖形元素，不易證明VC⊥AB.注意到已知與求證涉及的都是三棱錐的側棱與底面線段的垂直關系，聯想三垂線定理，作三棱錐的高線，即得到三條側棱在底面ABC上的射影，利用三垂線定理及其逆定理，又可得到更多的垂直關系，從而建立已知與求證的和諧統一關系.

證明：過點V作VO⊥平面ABC，垂足為O，則OA、OB、OC分別是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根據三垂線定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以點O是△ABC的垂心，進而有OC⊥AB.

又由三垂線定理，有VC⊥AB.

評注：在幾何圖形中，有些線、面對圖形的和諧統一關系起到十分重要的作用.討論幾何問題時，應充分注意并利用它們的功能.從例4可以看出，高線對于錐體就是一條十分重要的線段.

當幾何證明的思路受阻時，注意觀察和分析圖形中的不和諧因素，發現和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統一關系，往往是我們添加輔助線的入手點和證明問題的關鍵.然而不同的幾何問題所反映出的不和諧狀況也各不相同，通過作輔助線轉化和建立問題的和諧統一關系自然就具有很強的靈活性，無法用幾個公式或法則概括，這正是幾何證明的困難所在.通過練習不斷反思總結，注重觀察分析問題中的不和諧因素，發現和建立和諧統一關系，有利于培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]朱德祥，朱維宗.初等幾何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]許莼舫.平面幾何學習指導[M].北京：中國青年出版社，1979.

[3]G.波利亞，著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.endprint

摘 要： 本文探討幾何證明中添加輔助線的基本原理，指出發現與建立圖形中的和諧統一關系是添加輔助線，進而證明幾何問題的關鍵.

關鍵詞： 幾何證明 輔助線 基本原理

添加輔助線是幾何證明的重要手段，歷來受到數學教育者的重視，許多幾何專著中都詳細而深入地討論了輔助線的類型、作法，如文獻[1，2]，給予讀者很大的啟發和幫助.然而，在一些具體問題的證明中，有效而恰當地聯想到某一類輔助線作法以實現證明，對學生來說仍然存在困難.本文從另一種角度出發，探討添加輔助線的原理和入手點.

辯證法指出，事物是相互聯系、相互制約、相互轉化的.從辯證的觀點看，數學問題中所涉及的數式與數式之間，數式與圖形之間，圖形與圖形之間必然存在某種和諧統一的關系，這種和諧統一關系是建立各種必要聯系、促進問題轉化與解決的關鍵.在幾何問題的證明中，如果僅利用已知條件和已知圖形難以證明時，即表明問題的已知與未知之間存在某種不和諧，則需要添加輔助線建立已知與未知的和諧統一關系，從而使問題得以解決.因此，添加輔助線的一個基本思路就是，分析問題中的不和諧因素，發現和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統一關系.

不同的幾何問題，其中的不和諧狀態也各不相同，這就導致幾何證明靈活多變，難以把握.注意觀察問題中的不和諧因素，并由此出發建立和諧統一關系，有利于我們把握問題的關鍵所在，找到解題思路.

例1：如圖1，在四邊形中ABCD，AB=CD，M、N分別是BC邊與AD邊的中點，∠1是直線BA與MN所成的角，∠2是直線CD與MN所成的角，求證：∠1=∠2.

分析：觀察圖1，∠1與∠2的位置狀況不太好，難以找到二者之間的直接關系，并且與其他已知條件也無明顯聯系，這正是問題的不和諧之處.由于已知條件多是關于四邊形ABCD的性質，為證∠1=∠2，將二者平移到四邊形內，方便建立聯系.怎樣平移效果好？分析∠1與∠2的位置特征，考慮選取特殊點M、N作BA、CD的平行線，構造與的等角.又注意到M、N分別是BC邊與AD邊的中點，聯想中位線的性質，連接AC，設AC的中點為E，連接ME、NE，即得到BA、CD的平行線，并且可以將與平移到內，方便分析二者的關系.

評注：在例1中，∠1與∠2的位置關系不和諧，而已知條件又多是關于四邊形ABCD的，通過連接其對角線AC，構造三角形的中位線，建立了圖形的和諧統一關系，從而可以利用平行線的性質，使問題得以解決.觀察分析問題的不和諧因素，并由此入手作輔助線建立和諧統一關系，是解決問題的關鍵所在.

例2：如圖2，點E是正方形ABCD的BC邊上的任意一點，∠EAD的角平分線AF與CD交于點F.求證：DF=AE-BE.

分析：求證中的線段DF離AE、BE較遠，不便于觀察它們之間的聯系.從這一不和諧狀況入手，考慮到要證的等式等價于DF+BE=AE，把DF移動到EB的延長線上，使它與AE、BE位于同一個三角形內，更容易分析它們之間的關系.

證明：延長EB到點P，使BP=DF.

在△ABP與△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因為AF是∠EAD的角平分線，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因為AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，進而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

評注：在例2中，通過移動DF到EB的延長線上，把求證中分離較遠的三個幾何量移到了同一個三角形中，建立了圖形的和諧統一關系，這一作法相當于把△ADF繞點A順時針旋轉了90°，從而可以利用旋轉圖形的性質，使問題得以解決.

例3：如圖3，線段AB、CD相交于點O，且AB=CD，E、F分別為線段AC、DB的中點，連接EF分別交AB、CD于點N、M.求證：OM=ON.

分析：僅由已知的圖形元素，不易證明VC⊥AB.注意到已知與求證涉及的都是三棱錐的側棱與底面線段的垂直關系，聯想三垂線定理，作三棱錐的高線，即得到三條側棱在底面ABC上的射影，利用三垂線定理及其逆定理，又可得到更多的垂直關系，從而建立已知與求證的和諧統一關系.

證明：過點V作VO⊥平面ABC，垂足為O，則OA、OB、OC分別是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根據三垂線定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以點O是△ABC的垂心，進而有OC⊥AB.

又由三垂線定理，有VC⊥AB.

評注：在幾何圖形中，有些線、面對圖形的和諧統一關系起到十分重要的作用.討論幾何問題時，應充分注意并利用它們的功能.從例4可以看出，高線對于錐體就是一條十分重要的線段.

當幾何證明的思路受阻時，注意觀察和分析圖形中的不和諧因素，發現和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統一關系，往往是我們添加輔助線的入手點和證明問題的關鍵.然而不同的幾何問題所反映出的不和諧狀況也各不相同，通過作輔助線轉化和建立問題的和諧統一關系自然就具有很強的靈活性，無法用幾個公式或法則概括，這正是幾何證明的困難所在.通過練習不斷反思總結，注重觀察分析問題中的不和諧因素，發現和建立和諧統一關系，有利于培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]朱德祥，朱維宗.初等幾何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]許莼舫.平面幾何學習指導[M].北京：中國青年出版社，1979.

[3]G.波利亞，著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.endprint

摘 要： 本文探討幾何證明中添加輔助線的基本原理，指出發現與建立圖形中的和諧統一關系是添加輔助線，進而證明幾何問題的關鍵.

關鍵詞： 幾何證明 輔助線 基本原理

添加輔助線是幾何證明的重要手段，歷來受到數學教育者的重視，許多幾何專著中都詳細而深入地討論了輔助線的類型、作法，如文獻[1，2]，給予讀者很大的啟發和幫助.然而，在一些具體問題的證明中，有效而恰當地聯想到某一類輔助線作法以實現證明，對學生來說仍然存在困難.本文從另一種角度出發，探討添加輔助線的原理和入手點.

辯證法指出，事物是相互聯系、相互制約、相互轉化的.從辯證的觀點看，數學問題中所涉及的數式與數式之間，數式與圖形之間，圖形與圖形之間必然存在某種和諧統一的關系，這種和諧統一關系是建立各種必要聯系、促進問題轉化與解決的關鍵.在幾何問題的證明中，如果僅利用已知條件和已知圖形難以證明時，即表明問題的已知與未知之間存在某種不和諧，則需要添加輔助線建立已知與未知的和諧統一關系，從而使問題得以解決.因此，添加輔助線的一個基本思路就是，分析問題中的不和諧因素，發現和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統一關系.

不同的幾何問題，其中的不和諧狀態也各不相同，這就導致幾何證明靈活多變，難以把握.注意觀察問題中的不和諧因素，并由此出發建立和諧統一關系，有利于我們把握問題的關鍵所在，找到解題思路.

例1：如圖1，在四邊形中ABCD，AB=CD，M、N分別是BC邊與AD邊的中點，∠1是直線BA與MN所成的角，∠2是直線CD與MN所成的角，求證：∠1=∠2.

分析：觀察圖1，∠1與∠2的位置狀況不太好，難以找到二者之間的直接關系，并且與其他已知條件也無明顯聯系，這正是問題的不和諧之處.由于已知條件多是關于四邊形ABCD的性質，為證∠1=∠2，將二者平移到四邊形內，方便建立聯系.怎樣平移效果好？分析∠1與∠2的位置特征，考慮選取特殊點M、N作BA、CD的平行線，構造與的等角.又注意到M、N分別是BC邊與AD邊的中點，聯想中位線的性質，連接AC，設AC的中點為E，連接ME、NE，即得到BA、CD的平行線，并且可以將與平移到內，方便分析二者的關系.

評注：在例1中，∠1與∠2的位置關系不和諧，而已知條件又多是關于四邊形ABCD的，通過連接其對角線AC，構造三角形的中位線，建立了圖形的和諧統一關系，從而可以利用平行線的性質，使問題得以解決.觀察分析問題的不和諧因素，并由此入手作輔助線建立和諧統一關系，是解決問題的關鍵所在.

例2：如圖2，點E是正方形ABCD的BC邊上的任意一點，∠EAD的角平分線AF與CD交于點F.求證：DF=AE-BE.

分析：求證中的線段DF離AE、BE較遠，不便于觀察它們之間的聯系.從這一不和諧狀況入手，考慮到要證的等式等價于DF+BE=AE，把DF移動到EB的延長線上，使它與AE、BE位于同一個三角形內，更容易分析它們之間的關系.

證明：延長EB到點P，使BP=DF.

在△ABP與△ADF中，AB=AD，BP=DF，∠ABP=∠ADF=90°，故△ABP？艿△ADF，由此有∠PAB=∠FAD，∠APB=∠AFD.

又因為AF是∠EAD的角平分線，∠EAF=∠FAD，所以∠PAB=∠EAF.

于是，∠PAB+∠BAE=∠BAE+∠EAF，即∠PAE=∠BAF.

又因為AB∥CD，所以∠BAF=∠AFD，進而有∠APB=∠PAE.

所以在△AEP，AE=PE=PB+BE，由PB=DF，有DF=AE-BE.

評注：在例2中，通過移動DF到EB的延長線上，把求證中分離較遠的三個幾何量移到了同一個三角形中，建立了圖形的和諧統一關系，這一作法相當于把△ADF繞點A順時針旋轉了90°，從而可以利用旋轉圖形的性質，使問題得以解決.

例3：如圖3，線段AB、CD相交于點O，且AB=CD，E、F分別為線段AC、DB的中點，連接EF分別交AB、CD于點N、M.求證：OM=ON.

分析：僅由已知的圖形元素，不易證明VC⊥AB.注意到已知與求證涉及的都是三棱錐的側棱與底面線段的垂直關系，聯想三垂線定理，作三棱錐的高線，即得到三條側棱在底面ABC上的射影，利用三垂線定理及其逆定理，又可得到更多的垂直關系，從而建立已知與求證的和諧統一關系.

證明：過點V作VO⊥平面ABC，垂足為O，則OA、OB、OC分別是VA、VB、VC在底面ABC的射影.

根據三垂線定理的逆定理，由VA⊥BC，VB⊥AC，有OA⊥BC，OB⊥AC，所以點O是△ABC的垂心，進而有OC⊥AB.

又由三垂線定理，有VC⊥AB.

評注：在幾何圖形中，有些線、面對圖形的和諧統一關系起到十分重要的作用.討論幾何問題時，應充分注意并利用它們的功能.從例4可以看出，高線對于錐體就是一條十分重要的線段.

當幾何證明的思路受阻時，注意觀察和分析圖形中的不和諧因素，發現和建立已知幾何量與未知幾何量之間的和諧統一關系，往往是我們添加輔助線的入手點和證明問題的關鍵.然而不同的幾何問題所反映出的不和諧狀況也各不相同，通過作輔助線轉化和建立問題的和諧統一關系自然就具有很強的靈活性，無法用幾個公式或法則概括，這正是幾何證明的困難所在.通過練習不斷反思總結，注重觀察分析問題中的不和諧因素，發現和建立和諧統一關系，有利于培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1]朱德祥，朱維宗.初等幾何研究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]許莼舫.平面幾何學習指導[M].北京：中國青年出版社，1979.

[3]G.波利亞，著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題——數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.endprint