華人數(shù)學(xué)教育的成果與反思

林情情

近年來，華人在一些國際性的教育評價項目，如TIMSS、PISA等的表現(xiàn)逐漸引起世人的關(guān)注，回顧和審視華人數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研究的發(fā)展歷程，對其所取得的成果以及存在的問題進行交流與反思，對華人數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域研究的問題給予關(guān)注與探討，這是所有數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)心的主要內(nèi)容之一。為此，美國特拉華大學(xué)蔡金法教授、澳大利亞莫納什大學(xué)佘偉忠教授、華東師范大學(xué)鮑建生教授、天津師范大學(xué)王光明教授、浙江師范大學(xué)張維忠教授等和眾多的數(shù)學(xué)教育工作者就華人數(shù)學(xué)教育的成果與反思進行深度對話，以期凝聚華人數(shù)學(xué)教育的力量，分享華人數(shù)學(xué)教育的成果，并對當(dāng)前華人數(shù)學(xué)教育的發(fā)展情況進行反思。

一、華人數(shù)學(xué)教育研究

中國的數(shù)學(xué)教育有什么優(yōu)勢，澳門大學(xué)助理教授孫旭花認為系統(tǒng)變式是中國數(shù)學(xué)問題設(shè)計中最寶貴的經(jīng)驗，指出我國2011年的數(shù)學(xué)課程標準開始效法美國的“條目并列型”課程標準，包括數(shù)和運算、度量衡、代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)分析和概率、聯(lián)系、解決問題、交流、推理與證明、表述等，但她認為我們要有自己的理論，而螺旋變式是課程理論框架的基本精神，能夠以類合類，以不變以萬變。同時，她指出西方哲學(xué)側(cè)重演繹邏輯，東方哲學(xué)則強調(diào)歸納邏輯，即“變中發(fā)現(xiàn)不變，以不變應(yīng)萬變”等信念體系成為影響中國科學(xué)文化成為一個整體的基本思想。而且，她指出，漢語的構(gòu)造模式是“以類合類”的“系統(tǒng)變式”，中國人數(shù)系的最早構(gòu)造模式也是“以類合類”的“系統(tǒng)變式”，進而出現(xiàn)“十進制的位值數(shù)系”的概念，在中國古代《五曹算經(jīng)》與《夏侯陽算經(jīng)》中，其設(shè)計框架也體現(xiàn)“以類合類”的思想。此外，她還指出，不變元素（雙基）和變異元素（變式）是隱藏的“中國式”教學(xué)設(shè)計框架，雙基和變式這兩個術(shù)語運用得較為頻繁。中國式的問題設(shè)計主要是從單一問題到一類問題，存在一題多解、一題多變、多題一解等問題變式，而且螺旋變式的課程設(shè)計模型強調(diào)有系統(tǒng)的“變”，從而實現(xiàn)“以類合類”的概念連接，達成知識的“深、廣、遠”。最后，她再次強調(diào)說螺旋變式的課程設(shè)計模型在國際上產(chǎn)生了較大的影響，這一奠基于東方數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)和代數(shù)）的思維系統(tǒng)，植根于東方哲學(xué)起源，符合華人語言框架，強調(diào)“系統(tǒng)”變式，以不變應(yīng)萬變的代數(shù)思維為發(fā)展目標，超越了其他的西方代數(shù)思維的教育系統(tǒng)。

華人數(shù)學(xué)教育在西方人的眼中是什么樣子的，他們會研究哪些課題，會有哪些成果，來自澳大利亞莫納什大學(xué)的佘偉忠教授基于西方的視角來談華人數(shù)學(xué)教育的研究情況，他認為要從文化維度理論與儒家理論對美國與中國大陸的文化及其人倫關(guān)系、教育與學(xué)習(xí)的關(guān)系進行比較，指出文化分析法是其運用的主要研究方法，并對華人學(xué)者的工作地區(qū)與課題研究分布給予統(tǒng)計，認為大陸學(xué)者英文文章發(fā)表的代表性可以更大些，主要聚焦于三大主題，即理論性探討、課程標準或教學(xué)法分析及比較研究。理論性探討主要是自我的反思與經(jīng)驗的分享，課程標準或教學(xué)法分析主要關(guān)注點在于教學(xué)方法，很少和學(xué)生的學(xué)習(xí)情境有關(guān)。此外，他也對自己的研究局限進行反思，認為中國大陸地廣人多，期刊選取的數(shù)量和年度有限，希望能夠采取日本的經(jīng)驗，將日本書籍翻譯成英文，和國外學(xué)者交流、合作出版。同時，他認為海外華人學(xué)者在促進華人數(shù)學(xué)教育發(fā)展中應(yīng)有強有力的推動作用，這也是他對華人數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一個展望。

二、有關(guān)數(shù)學(xué)課例、教學(xué)模式及數(shù)學(xué)史課程的研究

中國數(shù)學(xué)課程在很大程度上都會采用課例教學(xué)的方式，對數(shù)學(xué)課例教學(xué)的研究由來已久。上海教育科學(xué)研究院副研究員楊玉東以關(guān)鍵性教學(xué)事件分析來闡述中國式的數(shù)學(xué)課例研究。他指出，2003年，全國基礎(chǔ)教育課程改革工作會議中指出“建立以校為本的教研制度，是促進教師專業(yè)發(fā)展的必然要求，將有利于創(chuàng)造教師間相互關(guān)愛、相互幫助、相互切磋交流的學(xué)校文化，使學(xué)校不僅成為學(xué)生成長的場所，同時也成為教師成就事業(yè)，不斷學(xué)習(xí)和提高的學(xué)習(xí)型組織”，而我國內(nèi)地的多級教研網(wǎng)，如省級教學(xué)研究室/教育學(xué)院、市級教學(xué)研究室/教育學(xué)院、區(qū)縣級教學(xué)研究室/教師進修學(xué)校、各學(xué)校分學(xué)科的教研組、各學(xué)科分年級的備課組等已經(jīng)具有60多年的傳統(tǒng)。在教研活動制度的保障下，教研文化也在與時俱進。雖然教研流程與教研環(huán)節(jié)變動不大，但其價值取向與內(nèi)涵卻發(fā)生了深刻的變化，逐漸地從熟練技術(shù)操作取向發(fā)展到實踐反思類取向，從研究教材教法到全面研究學(xué)生、教師的行為。楊副研究員同時還指出，世界課例研究學(xué)會（WALS）也比較關(guān)注課堂教學(xué)的研究。在日本，大學(xué)教授會有和中小學(xué)合作的“授業(yè)研究”項目，讓教師走進課堂和學(xué)生一起做研究，這是由大學(xué)教授與教師合作開展、自愿組成的教學(xué)研究行動。此外，“授業(yè)研究”的另一層內(nèi)涵，即“研究授業(yè)”，向社區(qū)開放學(xué)校和課堂，公開上研究課。此外，他認為中國式課例研究所蘊含的思路和方法和人們常常會引用的舒爾曼的教學(xué)內(nèi)容和知識框架相似，強調(diào)特定學(xué)科的教師必須要有效地掌握教授的知識，重點是聚焦學(xué)習(xí)內(nèi)容，難點是聚焦學(xué)生，關(guān)鍵點是聚焦教學(xué)法，最后形成的學(xué)習(xí)效果是聚焦學(xué)生掌握。他還指出，選擇案例研究可以放大展示教師是怎樣參與教研活動的，并運用一些關(guān)鍵性教學(xué)事件分析來改進課堂教學(xué)，通過不斷的磨課，聚焦學(xué)生的概念性理解，讓教學(xué)在一些大問題的驅(qū)動下更加結(jié)構(gòu)化。最后，楊副研究員認為中國的教研活動雖有制度保障的時間與空間，但仍然存在一些問題，如教師間的合作和討論過多地依賴經(jīng)驗，教研活動的協(xié)作質(zhì)量常常取決于教研組長的領(lǐng)導(dǎo)水平，學(xué)科內(nèi)容取向的教研組內(nèi)的協(xié)作可能會隔斷教師和其他學(xué)科、學(xué)段的聯(lián)系，但無論怎樣，課例研究會給數(shù)學(xué)教育工作者提供一種對中國式課例研究的理解。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)具有啟發(fā)式教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以進行有意義的接受學(xué)習(xí)、學(xué)思結(jié)合，還能夠在較短的時間內(nèi)接受大劑量的系統(tǒng)化的知識，提升學(xué)生的計算、推理與解決問題的能力，但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過多地強調(diào)知識的單向灌輸，忽視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題。臺灣嘉義大學(xué)教授楊德清與李茂能通過對比數(shù)字動畫自學(xué)組與繪本學(xué)習(xí)組在數(shù)常識方面的表現(xiàn)，指出通過數(shù)字動畫自學(xué)可以有效地提升學(xué)生的數(shù)常識能力，還認為將科技融入數(shù)學(xué)的教與學(xué)中可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。

此外，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授根據(jù)其對我國課堂教學(xué)有關(guān)問題的研討與反思提出了“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)模式，以培養(yǎng)創(chuàng)新型的數(shù)學(xué)人才。呂教授指出，在這一數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以質(zhì)疑提問、自主合作探索為主，教師導(dǎo)學(xué)的方法有啟發(fā)誘導(dǎo)、矯正解惑講授等，主要存在設(shè)置教學(xué)情境（觀察、分析）、提出數(shù)學(xué)問題（探究、猜想）、解決數(shù)學(xué)問題（求解、反饋）、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做、學(xué)用）等環(huán)節(jié)，核心是將質(zhì)疑提問、培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、提高學(xué)生提出問題與解決問題的能力貫穿于教學(xué)的全過程，其中模式中各要素的內(nèi)在聯(lián)系是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的前提，核心是提出數(shù)學(xué)問題，目標是解決數(shù)學(xué)問題，歸宿是應(yīng)用數(shù)學(xué)問題。也就是說，“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)模式是以數(shù)學(xué)情境為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)問題為紐帶的啟發(fā)式教學(xué)。同時，呂教授還指出，在采用這一教學(xué)模式進行教學(xué)操作時，要把握一些關(guān)鍵點，即創(chuàng)設(shè)與使用數(shù)學(xué)情境、發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問題、分析與解決數(shù)學(xué)問題、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用、靈活運用基本的教學(xué)理念。所謂數(shù)學(xué)情境，就是指從事數(shù)學(xué)活動的環(huán)境，我們不能“為情境而設(shè)置情境”，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不要脫離課堂教學(xué)目標，同時要恰當(dāng)?shù)靥幚怼扒榫皩?dǎo)學(xué)”與“棄情境”回歸數(shù)學(xué)的關(guān)系，注重“虛擬情境”中的數(shù)學(xué)信息探析。常用的提出數(shù)學(xué)問題的方法有歸納類比法、比較分析法、因果聯(lián)想法、變化條件結(jié)合法、擴大成果法以及特殊化方法等，教師要循序漸進地訓(xùn)練學(xué)生提出問題，也要注意自身角色的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)教學(xué)，鼓勵學(xué)生提出質(zhì)疑與進行批判，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑提問能力。此外，呂教授認為要注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實際生活密切相關(guān)的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境，加強對應(yīng)用情境的因素與結(jié)構(gòu)的分析，重視提取應(yīng)用情境中的數(shù)學(xué)信息，強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣化及在數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境。但他同時也指出，數(shù)學(xué)課本中的一些知識背景遠離農(nóng)村，按照這些知識背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境對偏遠民族地區(qū)的學(xué)生來說比較陌生，會成為他們認知活動不可逾越的障礙，所以如何發(fā)掘民族地區(qū)的民族數(shù)學(xué)文化，用之形成地方數(shù)學(xué)教材，補充國家統(tǒng)編教材的不足，應(yīng)成為民族地區(qū)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育研究的一個特色話題，既注重知識的實際運用，又能拓展應(yīng)用空間。

大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者都是從義務(wù)教育階段或者是高中教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)來研究的，來自西北大學(xué)的曲安京教授則從大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)談起，指出越來越多的大學(xué)數(shù)學(xué)系將數(shù)學(xué)史列為本專業(yè)的必修課或者是指定選修課，但偏重古典數(shù)學(xué)史，對1750年以后的數(shù)學(xué)進展介紹的不多，而且對近代以來的數(shù)學(xué)史，主要是羅列一些歷史人物與事件，很少出現(xiàn)專題案例分析，在很大程度上會限制大學(xué)生的求知欲。因此，他以大學(xué)數(shù)學(xué)的一些核心內(nèi)容，如抽象代數(shù)、拓撲學(xué)、微分幾何等的數(shù)學(xué)史為案例進行介紹，提供一種可能有效的學(xué)習(xí)和研究方式，以期改進目前大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)。

如何基于國際視角來看中國數(shù)學(xué)課程與美國數(shù)學(xué)課程之間的差異，來自美國普渡大學(xué)的忻燕蘋教授等基于“乘除法的關(guān)系”對中國數(shù)學(xué)教材與美國數(shù)學(xué)教材進行了跨文化的比較研究。她以4套美國常用的系列教材、2套基于改革的美國教材與1套中國教材中有關(guān)“乘除法的關(guān)系”的內(nèi)容設(shè)計進行比較分析，考察不同的國家文化對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響。她指出，和美國學(xué)生相比，中國學(xué)生更善于解答常規(guī)問題和一些類型的非常規(guī)問題。同時，她還對教學(xué)模塊進行了定量與定性的分析，從問題圖式、答題要求、代數(shù)準備三個維度對練習(xí)模塊進行分析，從而指出在教學(xué)部分與練習(xí)部分，和美國教材相比，中國教材明顯含有較多的例題與習(xí)題，但比較集中，而美國常用的4套教材的重點并不是很明確，各個部分所占的篇幅差別不大。此外，忻教授指出，這一跨文化的研究也表明了美國學(xué)生的學(xué)習(xí)成績還可能和其教材的設(shè)計有直接的關(guān)系。因此，基于改革的教學(xué)，要強調(diào)學(xué)生能夠在一定的指導(dǎo)下自行建構(gòu)知識。就乘除法互為逆運算而言，中、美兩國教材的一個比較顯著的差異是中國教材通過圖式獲得講授乘法推理，利用一組窮盡的例題在具體水平和符號水平上明確地定義乘除法運算的互逆關(guān)系，而一些美國教材會試圖將代數(shù)引入小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并不重視和強調(diào)向?qū)W生講授符號表征和代數(shù)思維。

三、清末中學(xué)的數(shù)學(xué)教科書

1904年，《奏定學(xué)堂章程》頒布實施，為清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書的發(fā)展起到承前啟后的作用，不僅體現(xiàn)出自身特征，也反映了國人追求西方新數(shù)學(xué)教育的夢想以及接受新事物的矛盾心態(tài)。來自內(nèi)蒙古師范大學(xué)的代欽教授從清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書及其發(fā)展特點講起，指出《奏定學(xué)堂章程》（癸卯學(xué)制）的實施改變了中國長期封建制的官學(xué)、私學(xué)、書院等學(xué)校形式，為中國建立現(xiàn)代形式的學(xué)校制度奠定了基礎(chǔ)，開始以算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角等進行分支分科設(shè)置，進行分科教學(xué)。代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書發(fā)端于《奏定學(xué)堂章程》頒布之前，在清末已經(jīng)出現(xiàn)了中學(xué)堂水平的數(shù)學(xué)教科書，盡管還不成體系，但為今后數(shù)學(xué)教科書的翻譯、編譯和編寫奠定了基礎(chǔ)，尤其是基督教士對新式數(shù)學(xué)教科書的肇始與發(fā)展產(chǎn)生關(guān)鍵性的作用，出現(xiàn)了《數(shù)學(xué)啟蒙》二卷本（1853）、《幾何原本》十五卷本（1857）、《算學(xué)入門》（1898）等。

此外，代教授指出，在清末數(shù)學(xué)教科書的建設(shè)方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書由國人自編的居多，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書幾乎是從日本、美國與歐洲等國教科書翻譯或者編譯過來的，認為清末是中國傳統(tǒng)文化和西方現(xiàn)代文化碰撞與交融的大變革時期，也是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育走向近代化的轉(zhuǎn)型時期，其中學(xué)數(shù)學(xué)教科書具有以下的一些特點：從宏觀層面上看，具有新穎性、多元性、滯后性與合作性；從微觀層面來看，主要體現(xiàn)在編排與符號的使用方面，大多時候仍使用豎排形式，不利于數(shù)學(xué)或自然科學(xué)書籍的編寫，而且在內(nèi)容取舍方面，會在翻譯時刪減外國原著中某些命題證明、例題解答等不適合中國國情的內(nèi)容。因此，代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書似乎更突顯了一些形式方面的內(nèi)容，但其背后卻體現(xiàn)著教科書編譯者對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的迷戀和對西方數(shù)學(xué)文化的追求之間復(fù)雜而尖銳的矛盾心態(tài)。

伴隨華人數(shù)學(xué)教育學(xué)者水平的不斷提升，華人數(shù)學(xué)教育的研究成果不斷顯現(xiàn)，在國際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也占據(jù)重要的位置，發(fā)揮著重要的角色，但是我們不應(yīng)止足不前，要有創(chuàng)新與反思的精神，以期攀登科學(xué)高峰。

（作者單位：北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：孫建輝）

此外，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授根據(jù)其對我國課堂教學(xué)有關(guān)問題的研討與反思提出了“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)模式，以培養(yǎng)創(chuàng)新型的數(shù)學(xué)人才。呂教授指出，在這一數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以質(zhì)疑提問、自主合作探索為主，教師導(dǎo)學(xué)的方法有啟發(fā)誘導(dǎo)、矯正解惑講授等，主要存在設(shè)置教學(xué)情境（觀察、分析）、提出數(shù)學(xué)問題（探究、猜想）、解決數(shù)學(xué)問題（求解、反饋）、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做、學(xué)用）等環(huán)節(jié)，核心是將質(zhì)疑提問、培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、提高學(xué)生提出問題與解決問題的能力貫穿于教學(xué)的全過程，其中模式中各要素的內(nèi)在聯(lián)系是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的前提，核心是提出數(shù)學(xué)問題，目標是解決數(shù)學(xué)問題，歸宿是應(yīng)用數(shù)學(xué)問題。也就是說，“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)模式是以數(shù)學(xué)情境為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)問題為紐帶的啟發(fā)式教學(xué)。同時，呂教授還指出，在采用這一教學(xué)模式進行教學(xué)操作時，要把握一些關(guān)鍵點，即創(chuàng)設(shè)與使用數(shù)學(xué)情境、發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問題、分析與解決數(shù)學(xué)問題、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用、靈活運用基本的教學(xué)理念。所謂數(shù)學(xué)情境，就是指從事數(shù)學(xué)活動的環(huán)境，我們不能“為情境而設(shè)置情境”，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不要脫離課堂教學(xué)目標，同時要恰當(dāng)?shù)靥幚怼扒榫皩?dǎo)學(xué)”與“棄情境”回歸數(shù)學(xué)的關(guān)系，注重“虛擬情境”中的數(shù)學(xué)信息探析。常用的提出數(shù)學(xué)問題的方法有歸納類比法、比較分析法、因果聯(lián)想法、變化條件結(jié)合法、擴大成果法以及特殊化方法等，教師要循序漸進地訓(xùn)練學(xué)生提出問題，也要注意自身角色的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)教學(xué)，鼓勵學(xué)生提出質(zhì)疑與進行批判，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑提問能力。此外，呂教授認為要注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實際生活密切相關(guān)的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境，加強對應(yīng)用情境的因素與結(jié)構(gòu)的分析，重視提取應(yīng)用情境中的數(shù)學(xué)信息，強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣化及在數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境。但他同時也指出，數(shù)學(xué)課本中的一些知識背景遠離農(nóng)村，按照這些知識背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境對偏遠民族地區(qū)的學(xué)生來說比較陌生，會成為他們認知活動不可逾越的障礙，所以如何發(fā)掘民族地區(qū)的民族數(shù)學(xué)文化，用之形成地方數(shù)學(xué)教材，補充國家統(tǒng)編教材的不足，應(yīng)成為民族地區(qū)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育研究的一個特色話題，既注重知識的實際運用，又能拓展應(yīng)用空間。

大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者都是從義務(wù)教育階段或者是高中教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)來研究的，來自西北大學(xué)的曲安京教授則從大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)談起，指出越來越多的大學(xué)數(shù)學(xué)系將數(shù)學(xué)史列為本專業(yè)的必修課或者是指定選修課，但偏重古典數(shù)學(xué)史，對1750年以后的數(shù)學(xué)進展介紹的不多，而且對近代以來的數(shù)學(xué)史，主要是羅列一些歷史人物與事件，很少出現(xiàn)專題案例分析，在很大程度上會限制大學(xué)生的求知欲。因此，他以大學(xué)數(shù)學(xué)的一些核心內(nèi)容，如抽象代數(shù)、拓撲學(xué)、微分幾何等的數(shù)學(xué)史為案例進行介紹，提供一種可能有效的學(xué)習(xí)和研究方式，以期改進目前大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)。

如何基于國際視角來看中國數(shù)學(xué)課程與美國數(shù)學(xué)課程之間的差異，來自美國普渡大學(xué)的忻燕蘋教授等基于“乘除法的關(guān)系”對中國數(shù)學(xué)教材與美國數(shù)學(xué)教材進行了跨文化的比較研究。她以4套美國常用的系列教材、2套基于改革的美國教材與1套中國教材中有關(guān)“乘除法的關(guān)系”的內(nèi)容設(shè)計進行比較分析，考察不同的國家文化對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響。她指出，和美國學(xué)生相比，中國學(xué)生更善于解答常規(guī)問題和一些類型的非常規(guī)問題。同時，她還對教學(xué)模塊進行了定量與定性的分析，從問題圖式、答題要求、代數(shù)準備三個維度對練習(xí)模塊進行分析，從而指出在教學(xué)部分與練習(xí)部分，和美國教材相比，中國教材明顯含有較多的例題與習(xí)題，但比較集中，而美國常用的4套教材的重點并不是很明確，各個部分所占的篇幅差別不大。此外，忻教授指出，這一跨文化的研究也表明了美國學(xué)生的學(xué)習(xí)成績還可能和其教材的設(shè)計有直接的關(guān)系。因此，基于改革的教學(xué)，要強調(diào)學(xué)生能夠在一定的指導(dǎo)下自行建構(gòu)知識。就乘除法互為逆運算而言，中、美兩國教材的一個比較顯著的差異是中國教材通過圖式獲得講授乘法推理，利用一組窮盡的例題在具體水平和符號水平上明確地定義乘除法運算的互逆關(guān)系，而一些美國教材會試圖將代數(shù)引入小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并不重視和強調(diào)向?qū)W生講授符號表征和代數(shù)思維。

三、清末中學(xué)的數(shù)學(xué)教科書

1904年，《奏定學(xué)堂章程》頒布實施，為清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書的發(fā)展起到承前啟后的作用，不僅體現(xiàn)出自身特征，也反映了國人追求西方新數(shù)學(xué)教育的夢想以及接受新事物的矛盾心態(tài)。來自內(nèi)蒙古師范大學(xué)的代欽教授從清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書及其發(fā)展特點講起，指出《奏定學(xué)堂章程》（癸卯學(xué)制）的實施改變了中國長期封建制的官學(xué)、私學(xué)、書院等學(xué)校形式，為中國建立現(xiàn)代形式的學(xué)校制度奠定了基礎(chǔ)，開始以算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角等進行分支分科設(shè)置，進行分科教學(xué)。代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書發(fā)端于《奏定學(xué)堂章程》頒布之前，在清末已經(jīng)出現(xiàn)了中學(xué)堂水平的數(shù)學(xué)教科書，盡管還不成體系，但為今后數(shù)學(xué)教科書的翻譯、編譯和編寫奠定了基礎(chǔ)，尤其是基督教士對新式數(shù)學(xué)教科書的肇始與發(fā)展產(chǎn)生關(guān)鍵性的作用，出現(xiàn)了《數(shù)學(xué)啟蒙》二卷本（1853）、《幾何原本》十五卷本（1857）、《算學(xué)入門》（1898）等。

此外，代教授指出，在清末數(shù)學(xué)教科書的建設(shè)方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書由國人自編的居多，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書幾乎是從日本、美國與歐洲等國教科書翻譯或者編譯過來的，認為清末是中國傳統(tǒng)文化和西方現(xiàn)代文化碰撞與交融的大變革時期，也是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育走向近代化的轉(zhuǎn)型時期，其中學(xué)數(shù)學(xué)教科書具有以下的一些特點：從宏觀層面上看，具有新穎性、多元性、滯后性與合作性；從微觀層面來看，主要體現(xiàn)在編排與符號的使用方面，大多時候仍使用豎排形式，不利于數(shù)學(xué)或自然科學(xué)書籍的編寫，而且在內(nèi)容取舍方面，會在翻譯時刪減外國原著中某些命題證明、例題解答等不適合中國國情的內(nèi)容。因此，代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書似乎更突顯了一些形式方面的內(nèi)容，但其背后卻體現(xiàn)著教科書編譯者對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的迷戀和對西方數(shù)學(xué)文化的追求之間復(fù)雜而尖銳的矛盾心態(tài)。

伴隨華人數(shù)學(xué)教育學(xué)者水平的不斷提升，華人數(shù)學(xué)教育的研究成果不斷顯現(xiàn)，在國際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也占據(jù)重要的位置，發(fā)揮著重要的角色，但是我們不應(yīng)止足不前，要有創(chuàng)新與反思的精神，以期攀登科學(xué)高峰。

（作者單位：北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：孫建輝）

此外，貴州師范大學(xué)呂傳漢教授根據(jù)其對我國課堂教學(xué)有關(guān)問題的研討與反思提出了“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)模式，以培養(yǎng)創(chuàng)新型的數(shù)學(xué)人才。呂教授指出，在這一數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以質(zhì)疑提問、自主合作探索為主，教師導(dǎo)學(xué)的方法有啟發(fā)誘導(dǎo)、矯正解惑講授等，主要存在設(shè)置教學(xué)情境（觀察、分析）、提出數(shù)學(xué)問題（探究、猜想）、解決數(shù)學(xué)問題（求解、反饋）、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做、學(xué)用）等環(huán)節(jié)，核心是將質(zhì)疑提問、培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、提高學(xué)生提出問題與解決問題的能力貫穿于教學(xué)的全過程，其中模式中各要素的內(nèi)在聯(lián)系是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境的前提，核心是提出數(shù)學(xué)問題，目標是解決數(shù)學(xué)問題，歸宿是應(yīng)用數(shù)學(xué)問題。也就是說，“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)模式是以數(shù)學(xué)情境為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)問題為紐帶的啟發(fā)式教學(xué)。同時，呂教授還指出，在采用這一教學(xué)模式進行教學(xué)操作時，要把握一些關(guān)鍵點，即創(chuàng)設(shè)與使用數(shù)學(xué)情境、發(fā)現(xiàn)與提出數(shù)學(xué)問題、分析與解決數(shù)學(xué)問題、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用、靈活運用基本的教學(xué)理念。所謂數(shù)學(xué)情境，就是指從事數(shù)學(xué)活動的環(huán)境，我們不能“為情境而設(shè)置情境”，數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不要脫離課堂教學(xué)目標，同時要恰當(dāng)?shù)靥幚怼扒榫皩?dǎo)學(xué)”與“棄情境”回歸數(shù)學(xué)的關(guān)系，注重“虛擬情境”中的數(shù)學(xué)信息探析。常用的提出數(shù)學(xué)問題的方法有歸納類比法、比較分析法、因果聯(lián)想法、變化條件結(jié)合法、擴大成果法以及特殊化方法等，教師要循序漸進地訓(xùn)練學(xué)生提出問題，也要注意自身角色的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)教學(xué)，鼓勵學(xué)生提出質(zhì)疑與進行批判，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑提問能力。此外，呂教授認為要注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實際生活密切相關(guān)的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境，加強對應(yīng)用情境的因素與結(jié)構(gòu)的分析，重視提取應(yīng)用情境中的數(shù)學(xué)信息，強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的多樣化及在數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新的應(yīng)用性數(shù)學(xué)情境。但他同時也指出，數(shù)學(xué)課本中的一些知識背景遠離農(nóng)村，按照這些知識背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境對偏遠民族地區(qū)的學(xué)生來說比較陌生，會成為他們認知活動不可逾越的障礙，所以如何發(fā)掘民族地區(qū)的民族數(shù)學(xué)文化，用之形成地方數(shù)學(xué)教材，補充國家統(tǒng)編教材的不足，應(yīng)成為民族地區(qū)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育研究的一個特色話題，既注重知識的實際運用，又能拓展應(yīng)用空間。

大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者都是從義務(wù)教育階段或者是高中教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)來研究的，來自西北大學(xué)的曲安京教授則從大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)談起，指出越來越多的大學(xué)數(shù)學(xué)系將數(shù)學(xué)史列為本專業(yè)的必修課或者是指定選修課，但偏重古典數(shù)學(xué)史，對1750年以后的數(shù)學(xué)進展介紹的不多，而且對近代以來的數(shù)學(xué)史，主要是羅列一些歷史人物與事件，很少出現(xiàn)專題案例分析，在很大程度上會限制大學(xué)生的求知欲。因此，他以大學(xué)數(shù)學(xué)的一些核心內(nèi)容，如抽象代數(shù)、拓撲學(xué)、微分幾何等的數(shù)學(xué)史為案例進行介紹，提供一種可能有效的學(xué)習(xí)和研究方式，以期改進目前大學(xué)數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)。

如何基于國際視角來看中國數(shù)學(xué)課程與美國數(shù)學(xué)課程之間的差異，來自美國普渡大學(xué)的忻燕蘋教授等基于“乘除法的關(guān)系”對中國數(shù)學(xué)教材與美國數(shù)學(xué)教材進行了跨文化的比較研究。她以4套美國常用的系列教材、2套基于改革的美國教材與1套中國教材中有關(guān)“乘除法的關(guān)系”的內(nèi)容設(shè)計進行比較分析，考察不同的國家文化對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響。她指出，和美國學(xué)生相比，中國學(xué)生更善于解答常規(guī)問題和一些類型的非常規(guī)問題。同時，她還對教學(xué)模塊進行了定量與定性的分析，從問題圖式、答題要求、代數(shù)準備三個維度對練習(xí)模塊進行分析，從而指出在教學(xué)部分與練習(xí)部分，和美國教材相比，中國教材明顯含有較多的例題與習(xí)題，但比較集中，而美國常用的4套教材的重點并不是很明確，各個部分所占的篇幅差別不大。此外，忻教授指出，這一跨文化的研究也表明了美國學(xué)生的學(xué)習(xí)成績還可能和其教材的設(shè)計有直接的關(guān)系。因此，基于改革的教學(xué)，要強調(diào)學(xué)生能夠在一定的指導(dǎo)下自行建構(gòu)知識。就乘除法互為逆運算而言，中、美兩國教材的一個比較顯著的差異是中國教材通過圖式獲得講授乘法推理，利用一組窮盡的例題在具體水平和符號水平上明確地定義乘除法運算的互逆關(guān)系，而一些美國教材會試圖將代數(shù)引入小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，并不重視和強調(diào)向?qū)W生講授符號表征和代數(shù)思維。

三、清末中學(xué)的數(shù)學(xué)教科書

1904年，《奏定學(xué)堂章程》頒布實施，為清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書的發(fā)展起到承前啟后的作用，不僅體現(xiàn)出自身特征，也反映了國人追求西方新數(shù)學(xué)教育的夢想以及接受新事物的矛盾心態(tài)。來自內(nèi)蒙古師范大學(xué)的代欽教授從清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書及其發(fā)展特點講起，指出《奏定學(xué)堂章程》（癸卯學(xué)制）的實施改變了中國長期封建制的官學(xué)、私學(xué)、書院等學(xué)校形式，為中國建立現(xiàn)代形式的學(xué)校制度奠定了基礎(chǔ)，開始以算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角等進行分支分科設(shè)置，進行分科教學(xué)。代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書發(fā)端于《奏定學(xué)堂章程》頒布之前，在清末已經(jīng)出現(xiàn)了中學(xué)堂水平的數(shù)學(xué)教科書，盡管還不成體系，但為今后數(shù)學(xué)教科書的翻譯、編譯和編寫奠定了基礎(chǔ)，尤其是基督教士對新式數(shù)學(xué)教科書的肇始與發(fā)展產(chǎn)生關(guān)鍵性的作用，出現(xiàn)了《數(shù)學(xué)啟蒙》二卷本（1853）、《幾何原本》十五卷本（1857）、《算學(xué)入門》（1898）等。

此外，代教授指出，在清末數(shù)學(xué)教科書的建設(shè)方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書由國人自編的居多，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書幾乎是從日本、美國與歐洲等國教科書翻譯或者編譯過來的，認為清末是中國傳統(tǒng)文化和西方現(xiàn)代文化碰撞與交融的大變革時期，也是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育走向近代化的轉(zhuǎn)型時期，其中學(xué)數(shù)學(xué)教科書具有以下的一些特點：從宏觀層面上看，具有新穎性、多元性、滯后性與合作性；從微觀層面來看，主要體現(xiàn)在編排與符號的使用方面，大多時候仍使用豎排形式，不利于數(shù)學(xué)或自然科學(xué)書籍的編寫，而且在內(nèi)容取舍方面，會在翻譯時刪減外國原著中某些命題證明、例題解答等不適合中國國情的內(nèi)容。因此，代教授指出，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書似乎更突顯了一些形式方面的內(nèi)容，但其背后卻體現(xiàn)著教科書編譯者對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的迷戀和對西方數(shù)學(xué)文化的追求之間復(fù)雜而尖銳的矛盾心態(tài)。

伴隨華人數(shù)學(xué)教育學(xué)者水平的不斷提升，華人數(shù)學(xué)教育的研究成果不斷顯現(xiàn)，在國際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也占據(jù)重要的位置，發(fā)揮著重要的角色，但是我們不應(yīng)止足不前，要有創(chuàng)新與反思的精神，以期攀登科學(xué)高峰。

（作者單位：北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

（責(zé)任編輯：孫建輝）