數學課程的實踐與反思

邵曼

伴隨《義務教育數學課程標準（2011年版）》的正式頒行，我國這一課程標準已實施數年，自然也產生了不少有關數學課程的教學實踐與教學反思。為此，北京教育學院張丹教授、成都大學張曉霞教授、南京師范大學馬復教授、首都師范大學劉曉玫教授、西南大學黃燕蘋教授、北京師范大學曹一鳴教授及江蘇省教研室李善良教授和其他數學教育工作者一道對1—12年級的數學課程實踐進行探討，總結與提煉我國小學與初高中數學教育的經驗，反思存在的問題。

一、1—6年級數學課程的實踐與反思

1.關于小學數學課程及教師專業發展

廣西師范大學副教授葉蓓蓓開場就談起她的研究“新中國小學數學課程內容知識量的演變”的動機主要源于她的導師——呂世虎教授的研究，她表示呂教授曾研究過中學數學課程內容知識量成“多少多少”這樣的正弦曲線變化，所以她很希望了解小學數學內容的知識量是否也呈現相同的變化趨勢。在她的研究中，她嘗試回答了這樣三個問題，即新中國小學數學課程內容知識量的發展變化、這些發展變化所具有的特點及其對當今小學數學課程內容改革的啟示。她選定1952年12月教育部頒布的《小學算術教學大綱（草案）》和《小學珠算教學大綱（草案）》）（簡稱52大綱，以下用簡稱）、63大綱、78大綱、86大綱、92大綱，2001年7月教育部頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（簡稱01標準，以下用簡稱）、11標準等大綱作為具有代表性的小學大綱，以文獻分析的形式形成課程內容知識量分析框架，梳理課程內容知識量的變化情況，思考課程內容知識量的變化對小學數學課程改革的啟示。

她表示，沿著其導師呂世虎（2012）的研究思路，在定義了課程內容的“知識領域”、“知識單元”、“知識點”等概念的基礎上，可以提出“知識領域”和“知識單元”之間的“知識塊”概念，得到小學數學課程內容知識量的分析框架，包括數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等4個知識領域，數與計算、代數初步、量與計算、平面幾何、立體幾何、統計初步、概率初步、應用題、實踐活動等9個知識塊以及包括整數的認識在內的21個知識單元。并且，她對代表性的課程大綱（課程標準）進行了系統的內容分析。經過分析，發現1949年至今的小學數學教學大綱（課程標準）已涵蓋了數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等4個知識領域。除了保持不變的知識單元，如整數的認識、整數的四則運算、分數的認識、分數的四則運算、小數的認識、小數的四則運算、百分數度量單位的認識、度量單位的相互轉化、平面幾何的認識、平面幾何的相關計算、立體幾何的認識、立體幾何的相關計算、應用題等外，其他知識單元在代表性大綱中的趨向是逐步增加的。另外，在她的研究中，還會發現小學數學課程內容知識點的發展并不按照正弦走向，在63大綱達到頂峰后開始減少，因此，她認為小學數學課程內容知識量的變化在一次劇增、劇減過程后基本上保持穩定，“數與代數”知識領域下的“數與計算”是小學數學課程的主要內容，“數與計算”知識塊下的“整數的四則運算”知識單元占據大部分的內容量。“量與計量”是小學數學課程特有的內容，且一直保持著相對穩定的知識量，“平面幾何”知識塊下的“平面圖形的認識”是小學幾何知識的主要內容。“應用題”知識塊（單元）作為中國小學數學課程的獨有內容在歷年改革中得到保留，這是因為對課程內容知識量演變的探討最終還是要回歸到教學實踐的實際意義上來。鑒于此，她認為在小學數學課程內容的選擇上，我們應處理好傳統與現代的關系，使內容的現代化與小學生的認知水平相適應，而且小學數學課程內容知識類型的拓展應處理好“陳述性知識”向“過程性知識”的漸進。知識類型的拓展應與小學教師的專業知識水平相適應，在小學數學課程內容知識量的確定方面，應該通過廣泛的調查與恰當的試驗等多種方式，要結合我國小學數學的實際。

小學數學課程的操作離不開教師的努力，有關教師教學專業性的研究也日益得到關注，香港中文大學講師張僑平的報告主要圍繞小學數學教師教育中的MPCK（數學學科教學知識）研究而展開。他表示，小學學生和教師對待諸如“寫一個盡可能大的數”這樣的問題的看法會不盡相同，因為這個年齡段的學生很可能是憑借直覺去感知問題的。但是，他強調說，一些學生出于直覺感知而出人意料的做法往往會被教師的“常規性”抹殺掉。他以化簡分數的例子作進一步的解釋說明，如在化簡時，很多學生憑借直觀將分子、分母的6劃去，得出的結論，類似的還有，分子、分母同時劃去6，得到。這些做法在教師看來是非常規的，因此很容易將孩子的創造性抹殺掉。他指出，由于數學與學生純粹的生活經驗之間存在一定的斷裂性，學生們也總會產生很多的疑問，如數學的“0”是無，中文的“零”為何是有？0是自然數嗎，是又如何，不是又如何？為什么“0”作除數是沒意義的呢，什么叫沒意義？小學生，尤其是低年級的學生對數學的興趣摻雜著與他們原有生活經驗相異的好奇，因此我們在培訓教師時應讓他們適當地考慮學生自己的理解。生活的語言到數學的語言再到符號之間是存在縫隙和裂痕的，教師應該起到橋接和填補的作用，如為什么要先乘除后加減，為什么要先通分才能運算，為什么是三角形、四邊形，而不是三邊形、四角形等，這些看起來稀松平常的知識，細想起來卻很難回答。那么，教師如何才能算盡職？他借用韓愈的話總結道，教師除了授業，最終還是要解惑的，即教師須有足夠的知識儲備為學生解疑答惑，并針對這些疑惑設計教學。那在教學中應該如何促進學生的理解？他表示我們要關注不同學生的層次需求，可以進行“做表”教學，將表格的內容分成四大部分，分別是學生的疑惑、教師的裝備、如何帶領學生、教學如何發展。最后，他指出，教學要時刻注意對教學方法和成效的反思，加深對一些基本問題的認識，多用自省模式發問，如“有數感、空間感這回事嗎？能教嗎？怎么教？”他認為，MPCK是隨著教師的發展而逐漸積累的，這種教學經驗由新手的只能把一堂課教完，可以慢慢地過渡到揮灑自如的狀態，需要一個長時間的過程。

關于小學數學教學思想的問題，美國天普大學助理教授丁美霞與美國威得恩大學助理教授李小保在對比中、美兩國的教材后有了新的理解。什么是基本數學思想？丁美霞指出，在他們的研究中，這個概念指的是基本原則、性質、關系、結構等，如等值概念、基本運算定律、逆運算之間的關系等。那為什么將研究的重心聚焦于基本數學思想呢？她指出，有些學生不能理解復雜概念的原因往往可以追溯到他們在小學階段對這些基本數學思想的膚淺或不完整的理解。學生，甚至有些教師對基本數學思想尚不能完全理解。李小保則用具體的事例解釋了他們的研究緣起，他表示2008年他們曾做過一項對比研究，即分別考查美國和中國的小學生“8+4=？+5”這個問題。研究發現，美國從幼兒園到六年級的145個學生中無一人做對，同樣的問題在對安徽、江蘇等省的學生考查時卻得到了截然相反的結果，因為大部分的學生都可以得出正確答案。據此，他分析道，這有可能是中、美兩國數學教材的不同引起的差異性。另外，他還指出，很多美國職前教師普遍混淆結合律和交換律，特別是不能用文字題來說明和演示乘法結合律。那么，如何優化學生的學習環境，更好地發展他們對基本數學思想的理解，從而為后繼的學習打好基礎呢？鑒于教材提供的學生學習以及教師增長知識的機會，他認為教材是學習環境中的關鍵因素之一，對教材的比較研究尤為重要，可以打破本土化教學的局限性，給數學教學帶來更為廣闊的視野。

基于此，他們對比研究了美國教材改革之前和改革之后的不同版本的教材，以及中國的人民教育出版社版（以下簡稱人教版）、江蘇教育出版社版（以下簡稱蘇教版）、北京師范大學出版社版（以下簡稱北師大版）的數學教材，主要研究等于號、乘法分配律、結合律、逆運算關系。綜合這幾個研究，他們發現中、美兩國教材在意義的初始學習（情境支持）、明確化的學習（數學基本思想）、跨時間的學習（結構聯系）等三個方面存在著差異。美國大多數的小學數學教材甚至是在教師用書中，等于號往往被處理為運算符號，而不作為關系符號，因此他們在面對如“5=5”正確與否的問題時，總會產生疑惑，因為在他們的思維中，“5+0=5”這個命題才是真正成立的。我們可以看出，等于號在他們的思維中并沒有形成關系的概念，僅僅停留在運算層面，很難架構其以后要學習的方程概念。與此相比，中國的教材（主要是人教版、蘇教版、北師大版）把等于號放在一個比較的故事情境中介紹，明確等于號屬于關系符號，這種處理方式有利于學生對等于號的理解，并為日后學習方程概念奠定基礎。對于明確化的學習研究層面，他們表示美國在學習這一部分內容時，會教給學生不同的拆分組合策略，但具體解法背后隱藏的數學基本思想并沒有得到很好的揭示，而中國四年級的教材會通過深度問題的提出，亮出數學的基本思想。在第三個層面，即跨時間的學習研究中，他們表示，中國的教材會隨著學生學習的深入有明顯的重點轉移，如中國的教材編排是先學加減后學乘除，但美國并沒有這樣的轉移，他們的學生在四年級時會加減乘除一起學。最后，他們指出他們下一步的研究方向是將中國教材對數學基本思想的呈現與實際課堂教學、學生學習成績、亞洲國家的教材相聯系，提煉和傳播中國教材對數學基本思想呈現的方法以及其他教學實踐模式，在全球化的背景下建立跨國合作的研究模式。

丁美霞和李小保兩位助理教授研究的數學基本思想是泉州師范學院副教授蘇明強報告中指出的“四基”中的“一基”，其他“三基”為基礎知識、基本技能與基本活動經驗。蘇副教授詳細解釋了“四基”中每一基的含義：基礎知識指的是概念、性質、公式、法則、定律定理等，基本技能指的是運算、測量、畫圖與問題的解決，基本思想指的是抽象思想、推理思想、建模思想等數學思維能力，基本活動經驗指的是操作活動、思維活動與實踐活動。他認為，“四基”由“雙基”進一步規劃、發展而來，其內涵產生了新的變化。那么“四基”之間是什么關系呢？基本活動經驗形成基本思想，促進學生對基礎知識與基本技能的掌握，學生在基礎知識儲備的增加與基本技能的鞏固過程中不斷積累的基本活動經驗，又成為獲取基本思想的源泉。他和他的團隊認為，“四基”應該至少在教材分析、學情分析、教學設計、評價反思等4個范圍內應用，但他不無遺憾地表示，“四基”的思想雖然早已提出，但仍有大多數教師愿意用“雙基”思想來觀察課堂。這里，他舉出3個案例來進一步闡述如何用“四基”思想進行教學。第一個案例是“關于0的認識”，他表示蘇教版、人教版、北師大舊版的教材是給出情境，然后馬上給出符號“0”，缺少中間過程；而北師大新版教材對“關于0的認識”這一課作了一些改進，不但給出小貓釣魚的情境，還給出具體的情境，把關注點從貓轉移到魚的數量上面。盡管如此，他認為這其中還缺少一步，即以三角形、圓圈或者其他符號去代替貓，只有有了這樣的一個過程，才能真正化具體為抽象，從生活真正進入數學。第二個案例是“同分母分數的加法”，他認為同分母分數的加減法與整數加減法有所不同，加并不等于，小學生在這方面的學習有違于以往的認知，因此須以一定的操作活動輔助教學，讓學生在實際的生活中慢慢地了解和認識一定的數學規則。第三個案例是我們在學習“平行四邊形的面積”時，很多人弄不清楚周長一樣的圖形，其面積是否一樣，周長相等的長方形與平行四邊形的面積是否一樣。在啟發學生探究“平行四邊形的面積”時，他傾向于設計這樣的問題：如果這是什么圖形就好了？這種設問符合小學學生的心理，將未知轉化為已知，按照以往的熟悉圖形進行轉化，如轉化為長方形，在轉化過程中體會雖然“圖中的平行四邊形與跟它周長相同的長方形底長是相同的，但由于高不同，面積也就不同”的道理。學會這種轉化思想，在切換到立體圖形時，學生也會潛移默化地根植這樣的函數思想，這便是張丹教授所說的“一種數學直覺”。

2.關于小學數學教學研究及特色實踐

不論是小學數學課程的內容還是教師對教學思想的把握，最終都要回歸到教學實踐中，臺南市鹽水小學教師何鳳珠、北京教育學院教授張丹、北京市海淀區教師進修學校小學數學教研室主任孫京紅、紹興文理學院講師俞宏毓以及山東省日照市教學研究室副主任李軍在教學實踐過程中形成他們不同的教學特色。

何鳳珠老師出場幽默地表示，“以上幾位教師都是講數學課程的，我在這里讓大家放松一下，讓大家品嘗一下數學里的小點心，挑動一下數學的味蕾”。她首先展示了紅青蛙棋、跳棋、迷宮軌道等益智玩具的圖片，指出使用益智玩具進行數學教學，充分地利用孩子愛玩的天性，可以激發出他們的創造性，培養他們的觀察能力、推理能力、操作能力、想象能力以及思維能力。此外，她舉例說，我們可以將益智游戲引入四則運算的課堂教學活動中，讓學生將1～9的數字放入格子中，鍛煉他們自我設計題目、自主運算的能力，還可以將五連塊巧用在空間幾何中，增進學生對面積、周長等的理解。在她看來，這些置于教室角落中的益智類玩具可以將數學的氛圍帶入課堂，使學生在玩耍中充分思考數學玩具的精髓，促進他們邏輯推理能力的提高。同時，何老師指出，她們學校還推出了親子同樂活動，鼓勵學童周末或假日借益智玩具與家人共同研究，寫出玩具分享心得。她感慨道，很多她想了很久都沒有想出的玩具破解辦法竟然輕而易舉地被學生在短短的幾天就破解出來了，而且利用這些零碎的時間體會數學思想的存在，可以提高學生發現問題和解決問題的能力。

張丹教授隨即拋出了她在教學實踐中發現的一個有趣現象——分數教學的悖論問題。她以一個課堂實例進一步地解釋這種悖論，她說，在五年級講分數的意義時，教師基本上會將分數的意義等同于分數的定義，即把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或基本的數，叫做分數。基于這樣的定義，她拋出了如何理解諸如這樣的假分數呢？按照這種定義，似乎并不應該有假分數的存在，學生也容易產生困惑。基于此，她認為整體把握分數的意義應該要從四個維度來考量，使學生對分數的理解從部分與整體的關系轉移到兩個量之間的關系，從數量比轉移到分數比。也就是說，既可以將分數理解為是分數單位的累加，如就是用作為單位測量三次的結果，又可以將分數看成是一種運算過程，還可以將分數作為一種運算結果。經過對海淀區3所學校的教學測試，她發現這種對分數意義的整體教學設計還是會取得良好的效果。最后，她表示這個研究只是一個開始，系列活動設計的有效性還需要得到更多群體的檢驗，對分數的“運算”和“商”的理解還需要加強，對小學階段學生在分數的理解方面要進行更為精細的個案研究。

俞宏毓老師則認為研究要回歸到課堂的具體實踐，她以“長方形、正方形的面積與周長”作為小切口，探尋教學過程中的邏輯順序問題。她認為在小學數學中，“面積與周長”問題是受中西方數學教育界普遍關注的教學主題之一。2012年下半年，在顧泠沅教授的主持下，上海青浦教師進修學院的科研員和教研員、青浦實驗小學的數學教師以及她本人，以“長方形、正方形的面積與周長”為教育主題，在青浦實驗小學進行教學指導活動，以青浦實驗小學三年級6個平行班的基礎相當的學生為研究對象，以教師發展指導者、執教教師、研究人員為主要參與者進行研究。俞老師表示，她的研究主要運用課堂和指導會議錄像、錄像帶分析法、前后測試卷、量的統計加質的分析、訪談錄音、質的分析等數學分析方法，采用研究準備會、前測、訪談學生、課后指導會議、后測的形式對兩位教師——年輕教師PN與經驗教師PE的執教情況進行跟蹤記錄和研究分析。在對兩位教師的后測結果進行比較分析后，她發現，教師PN經教師發展指導者指導后，其課堂教學的效果差異顯著。而教師PE拘泥于教材，沒有完全接受教師發展指導者的改進思路，教學效果并不理想。從后測來看，教師PN三次課的成績差異顯著，教師PE后兩次課執教班級的測試成績明顯不如教師PN執教班級的。

關于面積運算正確率的比較，俞老師表示在第一次課后指導會議上，指導者便指出正方形是長方形的特殊情形，建議教學要從長方形突破，將正方形的面積放到練習中，但在測試中發現，第一次課時，兩位教師的正確率都不高，而第二和第三次課時，教師PE的課堂練習中的應用題和后測試題一模一樣，而教師PN的課堂練習中沒有出現應用題，但在第三次課，教師PE的正確率并不比教師PN高。她還發現，在教學中，教師PE傾向于就事論事，在周長和面積的教學中局限于長方形和正方形，學生遇到組合圖形時會手足無措；而教師PN經指導改進后，在教學中會強調周長的“一段一段相加”和面積的“一塊一塊相加”的本質，學生在理解周長、面積三要素的本質后，不僅會求組合圖形的周長與面積，而且還會出現幾種不同的求法。最后，俞老師提出了她自己的建議。她認為：第一，教學應遵從兒童的認知發展規律，即應遵從兒童認知從簡單到復雜、從規則到不規則這樣一個發展規律。在教學概念和方法的學習上，應該是從一維到二維再到三維，先有周長再有面積和體積，先加減再乘除進行運算。第二，數學教學中應注重數與形的結合。從前測的結果及訪談內容可以看出，小學數學中數與形結合得并不夠好，學生在學數和運算時和形是脫離的，應該嘗試數和形的有機結合。第三，數學教學中應該注意學習方法的遷移，如數學概念、處理問題的方法等都可以進行類比學習和遷移。

李軍副主任同樣在課堂的具體實踐上下足功夫，他的研究是圍繞著數學小課題進行的。他表示，課程改革的新觀念深入人心，但新課程倡導的自主探索、合作交流、動手實踐卻很難落到實處。這種落差不但有評價機制、教師素質、觀念沒有切實轉變等原因的影響，還有教師在課堂上沒有給學生留有充分的時間和空間去經歷數學過程的作用。他指出，有的學生通過提前預習會對所學的知識有個大概的了解，有的學生則會人云亦云，不會有自己的思想，還有的學生淺嘗輒止、研究不深，這就使得很多內容僅僅停留于形式上。另外，他表示，在學生眼中，數學往往等同于做練習題，將課本內容教好是教師教學的唯一目的。那么怎樣才能學好數學呢，借用荷蘭數學家弗賴登塔爾“學習數學的唯一正確方法是實行‘再創造”的思想，他認為可以通過提出數學問題，形成研究課題，使學生經歷、體驗數學研究的過程來實現。在這個過程中，學生不斷地找到有用的數學方法、數學原理，經歷數學概念的形成過程，不斷地提升數學素養。為了更好、更深入地實施新課程，從有利于學生的發展、有利于日常教學相結合、有利于提高教師的研究水平和教學水平出發，我們要不斷地提高教學效率，倡導學校和教師積極的參與，邊實踐邊調整，經常進行交流和總結，不斷擴大戰果。他認為教師在教學時要注意以下一些教學原則，如注意課上與課下相結合、課本內容與課本外內容相結合、因材施教與面向全體相結合等。基于這些教學原則，他認為更應該重視課堂的作用、學生的作用、教師的作用以及研究成果的展示交流。課堂應用于課前，學生在課前可以進行初步的預習研究，而課堂更多的是起到展示、交流和提升的作用。他認為，課堂不能僅僅是學生展示交流研究的成果，還要輔之以補充練習。另外，數學小課題研究的課堂數學不能代替全部的常規課堂教學，常規教學也發揮著不可替代的作用，二者互相補充，才能相得益彰。最后，他解讀了小學數學小課題研究的意義，認為小課題研究可以增強教師的課程意識和指導學生的能力，使學生真正經歷發現和提出問題、分析和解決問題的完整過程，培養學生的創新精神、數學精神、表達與交流能力，改變單一的課堂教學組織形式，使自主探究、合作交流、動手實踐等學習方式產生實效。

傳統的常規教學不易看出學生在問題研究能力上的差異，通過研究成果的展示交流，學生可以在互相討論中引發更深入的思考。特色教學提倡學生和教師在課堂上的互動，教師在學生的研究過程中提供針對性的指導，對出現的問題進行解釋、說明，與學生一道進行梳理、總結、補充、完善，甚至與學生進行激烈的辨析。

二、7—9年級數學課程的實踐與反思

隨著學生年級的升高，其認知水平也會發生一定的變化，那么從小學升入初中，數學課程教學實踐會有哪些不同，初中學生學習數學會有哪些特點與規律，這些都是值得我們深入思考的問題。

1.有關中學數學教科書的思考

教材是教師教學的主要依據，但教師往往會選擇其他的學習材料進行教學補充，補充材料與教材之間會有一些差異，基于此，澳門大學教育學院助理教授江春蓮就初中數學教科書呈現問題與課堂教學實際使用問題的難度進行分析，認為可以引申出兩個大問題，一是數學教科書呈現問題與課堂教學實際使用問題的難度有何差異，二是這些實際呈現問題的來源除教科書外，還有哪些。她通過選取長春某中學初二年級的3位教師，在問題、探究、背景、推理、運算、知識點等維度的框架下，對他們的勾股定理教學過程進行觀察，發現這些教師在課堂上實際使用問題是教材給出問題的3～5倍，并且在背景與推理的維度下，教師補充題目與教材題目難度相當，而在其他維度，尤其是運算維度上存在差異。她認為，就教師某一堂課的實際教學來說，基本上會遵循由易到難的規律，這是比香港版教材強的地方。然而，她也不無遺憾地表示，通過收集學生的課后作業，就會發現很多課外參考書的練習題不是按照由易到難的順序編排的，不太符合學生的認知順序，而且教材中的題目在數量上不能滿足學生的要求，教師提供的問題在探究和運算兩個維度上顯著高于教材難度。她饒有興趣地講述了自己在華中師范大學第一附屬中學的工作經歷，提出教師之間布置作業量的分配以及占用學生多少學習時間的問題也是一個很有趣的研究方向。

江春蓮以豐富的課堂實戰經歷以及較為詳實的課堂數據剖析了教科書與課堂教學使用問題難度之間的關系，而人民教育出版社中學數學室主任李海東則從編者的角度，對教科書應該起到的“彰顯育人價值、提升數學素養”的作用為教科書的編者點明了應該努力的方向。他認為，教材是非常重要的教學資源，不論是課程改革還是教材改革都離不開教材。在回顧了十八大提出“立德樹人”這一教學根本任務后，他指出教育界也都在做一些立德樹人的研究，但都是在一些大教育的框架下。對數學教育來說，育人目標的核心是學生的數學素養，但對數學素養的研究雖多，卻鮮有明確的結論，大都停留在知識技能層面、數學能力層面、情感態度價值觀層面或者混合前三者進行多維度表述。那么為了提升學生的數學素養，我們的教科書應該怎么編呢？他認為應該按照大綱的具體教學要求呈現知識和技能，在此基礎上，思考如何去體現教科書的教育價值。第一，突出重點和主線，構建符合數學邏輯和學生心理的教科書體系。這種體系可以讓學生在浩如煙海的數學知識中看到它們之間的聯系，注意各領域內容的前后順序、內容之間的聯系與綜合、數學內容與相關學科內容的聯系以及核心的數學概念和重要的數學思想方法，循序漸進。從這個角度來看，良好的體系結構是教科書育人的載體。第二，加強學習方法的引導，使學生逐步地領悟數學研究的“基本套路”。在教科書的編寫過程中，注意挖掘數學核心知識蘊含的思維教育價值，加強學習方法的引導，以問題引導學習，使學生經歷數學概念的概括過程、數學原理的抽象過程，從中體會數學研究方法，領悟數學研究的“基本套路”。這其實是要發揮數學核心知識本身蘊含的教育價值，有些數學知識本身就有其發生發展的過程，讓學生體會這一研究過程，必須進行學習方法的指導。比如在研究幾何問題時，教師要時刻地注意學生對圖形性質、判定等概念的理解程度，重視從何種角度切入，要遵循從實驗到論證、從一般到特殊的規律，利用性質和判定的互逆關系，以便為學生思考問題提供落腳點。第三，反映背景，重視過程，加強應用，以便使學生獲得數學基本思想。第四，發揮章引言的“先行組織者”和章小結的“概括提升”作用，體現知識的整體性。他特別重視小結的作用，認為這對幫助學生“由厚到薄”地再認識本章內容、幫助教師提升教學的思想性具有重要的作用。第五，加強探究，重視“綜合與實踐”，積累數學基本活動經驗，培養創新意識。最后，他重申，教科書是重要的學習資源，而教材建設是一個長期的過程，希望在大家的共同努力下，可以編寫出高質量、利教利學的數學教科書，提升學生的數學素養，為發揮數學的育人功能作出更大的貢獻。

2.有關數學學習方式與基本活動經驗的研究

課程改革不但要關注教材的改良和提升，還應致力于扭轉學生的學習方式，四川省成都市教育學會中學數學專業委員會副理事長王富英、山東省青島市普通教育教研室教研員安志軍在這個層面上談起了自己的教學心得。

教師講數學，學生跟在后面被動思維，這是中國課堂十分普遍的課堂教授形式，學生在這種形式下往往是知其然而不知其所以然。王富英副理事長認為，我們要盡快地脫離這種獨白式、問答式、對話式的教授階段，轉變為解釋性的、啟發式的和對話性的學生講數學階段。何為學生講數學呢？他指出，學生講數學是指在課堂上圍繞一個共同的數學問題，學習者用口頭語言向他人表達和解釋自己的理解、想法與發現，教師與同伴通過傾聽、提問、質疑、評價等方式與之對話交流的學習活動方式。學生講數學的過程是對話交流和視域融合的過程，是在學習共同體內完成的，同時講數學的過程也是一個理解的過程。此外，他認為學生講數學的基本環節包括獨學、講解及評價。學生自己進行學案導讀、課上講解，與其他不講課的學生形成共鳴，同時得到反饋和啟示，從而使講課的學生和不講課的學生都更能清晰明了地認識數學問題。經過這樣一個過程，學生講數學就解決了“學什么”、“怎樣學”、“學得如何”這三個問題。他從學生以講數學的形式學習一元二次方程的實戰教學說起，指出學生講數學是一種更為豐富、能夠充分發揮學生學習主體性的學習活動，并不是簡單地回答教師所提出的問題，而是在自己獨立思考和組內討論的基礎上，以個性化的方式展示和解釋他們的思維過程及其思想特點，同時，教師和其他學生以其各自的視角和理解參與這一知識意義的建構過程。這種“導學講評式教學”融合了東西方的教育理念，既關注學生的參與，又傳承中國數學課堂中注重數學本質與思想方法的優秀傳統，改變國外學者對中國課堂教學的看法，這是國際學者對這一學習方式的看法，他如此總結道。教育部中小學教材審定委員馬復教授指出，這種教學方式的重心在于學生的學，有效地整合了多種學習方式，使我們看到中國人自己建構的教學模式。

青島作為國家級實驗區，自2001年課程改革以來，就重視對數學學習方式的轉變，在踐行新課程理念方面作出富有創意的探索。他們的工作不僅體現在實踐及對實踐的思考，也濃縮成富有經驗的實踐成果，來自青島市普通教育教研室的安志軍教研員帶來了他們系統性的實踐經驗。安教研員指出，中國的數學教育，既要發揚自家之長，又要牢記“他山之石，可以攻玉”。她認為，在經濟時代，學會學習才是最重要的，努力轉變學生的學習方式應成為教師教學的首要目標。她代表青島市初中數學教師從四個方面分享了她們的研究過程。

第一，重視學生的主體地位，提升學生的主動性。學生是學習的主體，要為自己的活動代言，他們只有積極地參與到數學活動中，才會有思維的飛躍，形成自己解決問題的策略。結合北京師范大學出版社出版的教材，她的團隊進行了一系列的探索。在考察鄉村學校后，她們發現在這個沒有電腦、電子白板、實物展示臺，也無法打印紙張的課堂，依然體現出學生自主學習的探究過程。即使在農村，即使沒有現代化的手段，新課程改革的理念依然得到貫徹。她以一道教學實例給予進一步的解釋，如“求測池塘AB的距離”這道習題，參考答案僅僅是利用全等或相似三角形來求解，但學生卻會綜合運用三角形、四邊形、勾股定理、中位線等。這說明只要我們肯給學生一個更自由的空間，學生的思維可能會更開闊。此外，安教研員還給出了一些學校會運用的典型的教學方式，如一生一師教學法、和諧互助教學法、猜想探索教學法等。在小組活動中，教師要重視學生主觀能動性的發揮。和諧互動教學法共有五個環節，包括交流預習、互助探究、分層提高、總結歸納、鞏固提高。猜想探索教學法主要立足于已有的知識，是對所要學的知識的猜想，然后綜合運用這些知識進行探究。綜合以上來看，安教研員總結道，“我們的課堂形式有了很大的變化，教師對學生主體的認知有了很大的變化”。

第二，開展數學建模活動，促進教與學方式的轉變。安教研員認為，要充分利用教學資源，引領學生慢慢感悟教學思想。在建模活動中，教師秉承北師大新世紀數學教材的新課程理念，提供大量的實際背景，逐步地滲透和引導學生不斷地感悟，使學生經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的數學活動過程，通過數學建模改善學習方式。比如，在教授“拋物線”這一課時，教師可以讓學生進行小組合作制作所設計的橋梁模型，通過展示小組同學的繪圖作品，通過具體的情境設置，讓學生在繪圖過程中慢慢地感知拋物線的頂點等相關概念。另外，她也指出，教師要使學生經歷數學建模的過程，積累數學活動經驗，通過建模活動、數學建模競賽等形式，進一步發展學生的數學建模思想。

第三，注重信息技術與課程內容的整合，提升學習品質。她認為，信息技術與學科整合研究的目的是要充分發揮信息技術的優勢，逐步實現教育內容的呈現方式、教師的教學方式、學生的學習方式和師生互動方式的變革。她指出，基于技術所作的翻轉課堂的一些教學材料，把單純的知識講述變成對問題的指導和解決，會使學生的學習方式發生很大的變化，很多學生在家時會利用電子書包按照其自身需要進行學習。

第四，運用多種評價方式，落實“雙基”。安教研員認為，針對傳統評價方式的單一性和封閉性，我們采取開卷、閉卷兩種形式進行評價，在每一節課、每一周、每一個月都會進行這樣的評價。一個分數或等級所能反映出來的信息畢竟有限，但評語卻可以彌補評分的不足，對用分數或等級難以反映的問題，可以用評語來反映。因此，他們為章節測驗和期中、期末階段性評價設計了開放的評價結果——試卷成績（或等級）+卷后感悟+卷后100分，引導師生用發展的態度對待每一次數學測驗的分數或等級，給學生更多的機會。在實際運用中，她表示對學習有困難的學生，卷后100分會極大地鼓舞他們學數學的興趣和熱情，有助于更好地落實“雙基”。與此同時，她指出還應注意運用多種評價形式對過程、思想方法、情感態度、價值觀等進行評價，通過口試、動手操作、設計題目、數學小論文、數學手抄報、成長記錄等多種形式、多角度的檢測，全面地了解學生，給予有針對性的分析和指導，使學生的語言表達能力、實踐能力、思辨能力、分析問題、解決問題的能力得到有效的鍛煉與提高。

最后，安教研員發出感言，“忙碌伴隨著充實，汗水孕育了豐碩。今天，當我們在歲月的從容中駐足回望，靜靜沉思，我們發現，欣喜和嘆惋已蔥蘢了我們曾經的旅程。我們不知道歲月還將對我們有哪些饋贈，但我們堅信：在穿行歲月的腳步中，我們將繼續堅持進行學生學習方式轉變的實踐與研究”。

很多教師會注意要轉變學生的學習方式，讓學生自主思考問題，經歷數學學習的活動過程，而學生對數學學習的這種內化離不開在數學基本活動經驗中習得的知識與能力。北京師范大學副教授郭玉峰就此問題向大家作了報告。她指出，截止到2014年4月13日，關于數學活動經驗的文獻檢索非常多，但對其內涵界定、特征、分類、實踐以及如何落實等方面有各種各樣的看法。她從數學活動基本經驗最重要的一個方面，即為何在義務教育數學課程標準中提出數學基本活動經驗的問題進行系統深入的研究。那么，數學基本活動經驗既然作為人類文化發展經驗中的一種，是否能夠被傳承和改造呢？也就是說甲的數學基本活動經驗是否可以傳承給乙，成為乙的數學基本活動經驗呢？對這個問題，她認為講給學生聽的數學在一定程度上不是他自己的數學，學生學習數學不能依靠傳遞的方式，必須經過自己的探究思考形成自身內化的數學。經驗與能力因帶有各自的個性色彩和特征，向來是教學研究中的一個熱點，那么經驗可否與能力一樣成為研究對象呢？她表示，數學基本活動經驗同樣可以成為研究對象，也有外顯特征，從行為上講是形成一種習慣，從思維上講是形成一定的思維方式或思維模式。

郭玉峰副教授誠懇地談道，誠如大家所知的，數學基本活動經驗包括實踐和思維經驗，并指出她將自己的研究限定在思維經驗方面。如何理解“基本”呢？從大的方面講，即是數學的歸納和演繹這兩種最基本的推理活動。學生需要經歷這兩種推理活動，從中感悟數學概念、命題等，在逐步的歸納推理中得到某種猜想，進而證明猜想的過程；從小的方面講，指在觀察聯想的基礎上，在多個特例的基礎上得到一般規律的猜想，或類比不同的事物，發現某些共同特征，進而提出猜想，對猜想不斷地調整，并試圖證明猜想。在此思維活動過程中，我們可以獲得一定的經驗，長期經歷后沉淀形成一定的數學思維方式或思維模式，這是她研究界定的數學基本活動經驗。基于這樣的前提，才有可能有操作性的定義，才有可能對學生的思考問題方式進行研究。

在這種界定下，她從水平、豎直兩個維度給出兩種研究的基本框架。水平維度是指數學基本活動經驗包含的具體層面或包含因子，分為觀察聯想、歸納猜想、表達、驗證或證明。觀察聯想指的是觀察并聯想事物的共性、特性以及事物之間的關系，這是很多教師所欠缺的，歸納猜想指的是從特例中歸納出一半。此外，她指出還有類比，即從兩類不同的事物中得出相似性，得到另一類事物的特征。猜想過后需要表達，借助口頭、符號、文字表達和歸納猜想的結論。以上即為水平維度的框架。豎直維度的指標，即層次水平的假設，有三個假設，第一個層次水平為“模仿階段”，即沒有形成有效的思維方式，不能有意識地觀察和想象，也不會從特例入手探求規律和結論，只會模仿；第二個層次水平可定義為“性質階段”，可以進行一定的歸納推理，但并不深入，只是流于事物表面；第三個層次水平為“實質階段”，學生可以進行有目的的觀察，發現一般規律，對歸納猜想的結論進行推翻、驗證或證明，由此及彼、觸類旁通地展開聯想。在這種操作性定義和量化指標之下，她指出自己曾在2011年底對1 295名初中學生的數學基本活動經驗進行考查，研究發現，學生數學基本活動經驗的水平現狀表現總體一般，這與2011年義務教育課程標準所表述的“中國學生在基礎知識、基本技能的掌握做得較好，能力培養方面次之，經驗的培養和積累是遠遠不夠的”的結論相吻合。基于此，她認為，初中學生的抽象水平還很有限，演繹推理不宜過早地接入，大跨度聯想應是我們進一步培養的目標。她強調這種數學基本活動經驗的積累是形成學生一定判斷能力的基礎，也是學生學會一眼“看”出結果的基礎，更是學生實現未來大跨度聯想的基礎，但這一研究任務任重而道遠，它的出現不是空穴來風，是基礎知識、基本技能等數學課程目標發展到一定階段的產物，是時代的產物，需要進一步的研究。

3.中國數學比較研究

數學這種極具抽象的學科怎樣才可以作為一種語言來表達？北京十一學校教師章巍給予了解答，他表示他的研究源于一次教研活動中對一個問題的討論，教研組教師在討論“如果題目不給出圖形，學生的理解是否會有偏差”這個問題時爭執不下，這讓他敏感地感知到，這不僅是去掉一個圖形的問題，而是去掉一種數學語言形式的問題。那么，究竟哪種語言對學生的影響最強，強到什么程度，這些數據對教師今后的教學有什么作用，這些問題構成她研究的支撐點。章老師指出，無論用什么方式引導學生，都必須要讓學生獨立自主地去讀數學，閱讀實際上是數學教學的核心環節，而數學閱讀與一般的文字閱讀不同。著名的數學家克萊因曾說過，“數學語言是一種慎重的精心設計的有益的有很高的抽象性的語言”，認為我們所理解的中小學的數學語言一般分為三種形式，即文字語言、符號語言、圖形語言，而在描述一種數學問題時，往往會采用三種語言并行的方式。那么，如果我們只呈現一種或兩種語言，對學生的數學學習會產生什么影響，每種語言在數學學習中起到的作用又是如何？他將被試群體選定為北京某中學八年級的學生，通過全區的調研成績，對學生的成績進行差異性分析，分成高、中、低三個組，選擇四個數學對象，對每一種對象用2～3種數學語言進行表達，排列組合后，構成不同的測試卷。章老師回憶道，對“最距離”的定義方式，第一種是文字表達，第二種是借助數學符號表達式，第三種是用圖形（線段長度）來表達，三種方式的基本含義相同，提出的問題也是相同的。研究發現，當文字語言與符號語言兩相比對時，學生更容易接受文字語言而不是符號語言，中、低等學生，特別是中等學生對語言轉換的反應最強烈；把文字語言和圖形語言放在一起時，整體差異不是很大，只有在高分組的其中一個數學對象表現出顯著差異；將符號語言和圖形語言作整體分析時，發現差異明顯，學生對圖形語言的數學理解優于對符號語言的，特別是在中、低等學生身上，受影響較為強烈。因此，她認為，與我們正常的生活語言不同，數學文字作為語言方式傳遞時有特定的語言表達習慣，文字語言對學生有一定的影響，符號語言則是最難理解的語言形式，這是由符號的抽象性造成的。最后，章老師指出，圖形語言是最易理解的語言形式，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學過程中都發揮著重要的作用。此外，他認為教師應該教給學生必要的數學閱讀方法，既要把握閱讀速度，又要體味編排意圖，充分地鼓勵學生進行數學表達。

如何看待中國與美國初中數學課程教學任務特征的不同，北京師范大學博士研究生邵珍紅對課堂教學、高質量教學以及課堂中的教學任務作了深入研究，并利用中、美兩國初中教學之間的差異，以期在這種知彼為己的研究方式中探究中、美兩國初中課堂數學的任務特征。她選取的研究對象包含中國2011—2012年5個城市學區109位教師的218節初中數學課以及美國2011年4個城市學區224節初中數學課，并選出中、美兩國各15節高質量的數學課。她指出，本研究通過比較相對高質量的中、美數學課堂中的數學任務，進而探求以下一些問題，如數學任務中“實際生活”背景知識的使用有何異同、數學任務的表現形式有何異同、數學任務的認知水平有何異同……通過對比，她發現同樣是15節課，中國129個數學任務中有84%解決的是純數學問題，僅有的解決實際生活的問題大多起到新課引入的作用；而美國39個教學任務中大部分解決的都是實際生活問題。在任務表現方面，邵珍紅強調，中國的聯系任務稍多于學習任務，而美國的學習任務占了60%，聯系任務僅占12.5%。關于中、美數學任務認知水平的異同，數據顯示，中國占據較大比重的是“無聯系的程序型”類任務，其次為“聯系的程序型”類任務；美國占較大比重的是“做數學”，其次為“聯系的程序型”類任務，可以看出中、美兩國的數學學習任務均是高認知水平的數學任務占多數。在這里，她強調，數學任務特征之間存在差異是很正常的，這個研究只是實然地反映了客觀事實，并未斷定孰是孰非、孰優孰劣。她認為，即便如此，中國的數學課堂教學研究如能了解國際、立足本土、不斷完善，便更能提高課堂教學的質量。

4.數學教師觀念變化的調查研究

義務教育課程從20世紀末、21世紀初開始醞釀，2001年開始試點，一直到2003年數學課程改革才在全國范圍內鋪開，10多年來課程改革到底給我們的數學教育帶來了怎樣的變化，這是值得我們深入反思的。重慶師范大學副教授童莉以此為切入點，對課改10多年來初中數學教師課堂教學觀念的變化作了調查研究。她解釋說，“我最終選擇回歸課堂角度，是因為教師的課堂教學觀念是一個十分重要的視角，從中可以窺見教學課程的理念如何落實、學生如何反饋”。她的研究范圍主要包括以下幾個問題，如數學課改前初中數學教師有著怎樣的課堂教學觀？課改10年后初中數學教師課堂教學觀念有了什么變化？對比課改前后，初中數學教師的課堂教學觀念發生了怎樣的變化？基于這樣的研究，她及她的團隊選擇問卷調查法與課堂觀察法進行研究，今天主要跟大家交流的是問卷調查法，即以問卷形式對比10年課改前后數學教師的課堂教學觀念的變化，選擇經歷10年課程改革的重慶市初中數學教師，共210位，男女比例基本一致。她認為，課堂是教育情境中的師生與環境（教室及其中的設施）互動而構成的基本系統。而課堂教學生態系統，就是在一定的教學時空內，由教室中的教師、學生與其教學環境之間相互作用、相互影響而構成的動態開放的系統。在這個體系中，數學課堂教學觀念是數學教師對課堂教學生態系統的認識，是數學教師思考數學課堂教學問題所獲得的結果，包括數學教師對數學課堂教學的認識及其思維方式，也包括數學教師認為應該“如何教學”的價值和選擇結果。通過問卷的調查數據，我們可以看出77.5%的初中數學教師認為自己的課堂教學觀念發生了很多或較大的變化，其中新課程改革對數學教師的師生觀和教學觀的影響巨大，而對教師的課程觀、評價觀和環境觀的影響相對來說要稍小一些。

三、10—12年級數學課程的實踐與反思

1.有關課程實施和課程標準的研究

課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據，體現國家對不同階段的學生在知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等方面的基本要求。西北師范大學教授呂世虎、中國人民大學附屬中學特級教師周建華、北京師范大學教授曹一鳴與在讀博士生嚴虹、首都師范大學教授王尚志、常州市科學教育研究院教研員孫福明等圍繞高中新課程實施、課程標準以及新課標之下的數學教材發表了他們各自的看法。

高中數學新課程已經實施10年，高中數學新課程教與學的現狀如何，教師和學生有哪些變化？針對這些問題，呂教授對我國高中數學新課標的實施現狀進行調查研究，并與之前的相關研究進行比較，旨在積累新課標實施的過程性研究資料，為高中數學新課標的修訂和完善提供借鑒。他的研究主要選擇13個省、自治區、市的446位教師和5 685位學生，從八個維度對他們進行教師和學生的問卷考查，并進行數據分析，與2001年的研究結果相比照，指出高中數學新課程實施以來，教師的教學方式在很大程度上已經由傳統的“以講授為主”逐漸轉變成“師生共同探究”和“小組合作”等多元化的方式。綜合來看，他認為高中數學新課程倡導的目標多數的實現情況較好，師生對數學新教材的整體評價較好，但高中數學課程的選擇性并沒有得到很好的落實，教材容量和習題數量及難度需要調整。雖然教師的教學方式發生了積極的轉變，但教師給學生自主學習的空間仍然不足，評價仍受考試制約，評價體制需要進一步完善，實現多元評價等。此外，他也指出當前學生的負擔依然較重，要實現學生學習方式的多樣化，增加教師培訓的機會。

必修課與選修課相結合是課程改革的重要思想，也是課程標準的重要要求。特級教師周建華指出，大多數教師開設選修課是因為學校的任務驅動，但實際上選修課的教學價值體現為提升學生思維邏輯的嚴謹性，提高教師自身的數學素養，激發學生學習數學的興趣，拓展學生的知識面，增強他們的邏輯推理能力，加強優化意識，培養自主探究學習。同時，他表示開設選修課的困難在于數學課時緊、任務重，導致教師教授進度快，而且教材缺失，資料有限，難度大，又不是高考的內容，這些都直接導致了學生缺少學習選修課的動力。在開設選修課的收獲方面，他認為教師的最大收獲在于可以豐富自身的知識，使得知識系統化，加深對數學的理解，拓展視野，促進教師合作，更好地發現學生的數學潛力，提升學科素質。對學生來說，選修課對提升他們的自主學習能力起著非常大的作用，可以培養他們獨立思考、研究問題、組織問題的能力。另外，不少教師會采用新的教學方法開設選修課，如采用小組合作討論的形式，每節課讓小組圍繞一個主題匯報和互相提問。此外，他指出，一些教師認為開設選修課有利于學生數學思維的培養，激發他們的學習興趣，補充必修課程探索與研究中的相關問題，拓展數學視野，在學習形式和相關知識與方法上有促進的作用。但部分教師也認為，要想提高選修課的教學質量，應該適當地增加選修課的課時，給教師充足的備課時間，出版校本教材，盡可能地進行分層教學，在教學中多選一些有實際背景且有一定趣味的問題。

嚴虹在回顧了20世紀80年代后期以來的基礎教育改革之后，認為課程標準或教育標準被放置在突出的位置上，“標準”一詞一時間成了基礎教育改革，尤其是課程改革的關鍵詞，并指出她和曹一鳴教授的研究基于包括我國在內的遍及5大洲12個國家現行的高中數學課程標準文本，對高中數學課程內容分布從知識領域、單元領域、知識主題三個層面進行比較研究。基于知識領域內容、單元領域、知識主題分布的比較研究和分析，她認為，從內容條目數量來看，我國僅在“微積分”領域低于12個國家的平均水平，其他領域均高于平均水平，其中“其他”的內容條目是平均水平的2倍。從內容條目比重來看，我國在內容條目比重中，其中“圖形與幾何”、“統計與概率”與平均水平相當，在“數與代數”、“微積分”上略低于平均水平，在“其他”中比平均水平高出較多。從知識領域分布內容來看，我國的數學課程整體上分布比較合理。從知識單元內容分布來看，我國數學課程較為重視“函數”、“解析幾何”、“統計”等內容，也比較重視“算法初步”、“集合”、“基本邏輯用語”、“向量”、“推理與證明”等工具性數學知識的內容。從知識主題內容的分布來看，我國數學課程重視“數學文化”的滲透及工具性知識的學習。

“立德樹人”工程主要圍繞培養什么人、怎樣培養人這一核心，統籌推進好學校的品德、語文、歷史、藝術、體育五個學科，科學設置好小學、初中、高中、本專科、研究生五個階段，統籌運用好教育專家、管理干部、教研人員、一線教師、社會力量五個資源，統籌利用好課堂、校園、社團、家庭、社會五個陣地。王尚志教授的研究即源于此，他認為課程是落實這個舉措的主要載體，高中課程標準是近期的突破口，并指出他的研究背景基于下列四個方面，一是21世紀中國學生應具備的核心素養是修訂課標的基礎，二是考試與課時的脫節以及誰決定誰的問題，三是數學課程應體現數學、數學教育的作用及特點，四是學生、教育、教學是構成數學課程的三個基點。此外，他認為《成功的基礎》（美國總統數學顧問委員會報告）表明，引導社會發展需要數學能力，數學能力將會給國家在醫學健康、技術商業、航行太空、防御金融等方面帶來發展優勢，而數學教育也會在個人的發展中起到十分重要的作用，在與數學有密切聯系的科學和工程方面，勞動力需求的增長速度和總的職業需求增長速度相比的比值為3：1。但借R.柯朗的話，他指出，今天數學教育的傳統地位陷入了嚴重的危機，數學教學有時也變成了空洞的解題訓練，而不能導入真正的理解與深入的獨立思考，過分專門化和強調抽象的趨勢忽視了數學應用與其他領域的聯系，而數學學科不是一系列的技巧，技巧不能代表數學。基于此，王教授指出，解決數學教育問題是個系統工程，需要跳出數學教育的圈子來解決數學教育的問題。《國家中長期教育改革與發展規劃綱要（2010-2020年）》指出，創造條件開設豐富多彩的選修課，提高課程的選擇性，促進學生全面而有個性的發展。那么，高中數學課程怎樣才能在國家課程、地方課程與校本課程中體現出選擇性？他認為，不同的專業方向需要不同的數學，選擇性應是此次高中課程改革的核心，但也要關注整體性的問題。他指出，這種整體性主要是高中課程結構與內容的整體與關聯、高中數學課程與其他課程的聯系、高中數學課程與義務數學課程的關系……基于此，我們對模塊的稱呼應該有所變化，以便與課程內容掛鉤，如可以用“變量與函數”、“向量與代數”這樣的模塊名稱。對校本課程，王教授建議，可以分為分析類課程、代數類課程、幾何類課程、統計概率類課程、應用類課程、離散數學類課程、數學文化類課程等。對大學非數學系的數學課程，他認為應該突出主線，按照數學的課程內容進行“微積分與微分方程”、“線性代數”等類別劃分。隨后，王教授又點明說我們需要研究國際比較、歷史沿革，確定數學核心素養原則等一系列內容，并且認為數學核心素養能力包括通識能力、抽象概括能力、推理能力、建模能力在內的數學基本能力和高中學段的基本能力。

伴隨新課程改革，問題引領課堂教學成為提高課堂教學效率的不二選擇。孫福明教研員引用孔子“開而弗達”的教育思想以及弗賴登塔爾強調的“學習數學的唯一方法是實行‘再創造”引出“問題”的重要性，表明“問題”是教師引導和幫助的載體，是學生再創造的材料和臺階。那么，什么是問題引領課堂呢？孫教研員指出，根據教學目標的若干要求，圍繞核心問題，設計若干個有邏輯關聯、有層次梯度的子問題組成的系列問題，作為教學活動的主要方式，變成課堂互動的材料。他指出，教材呈現的是固化的知識形態，教師要把內隱在結果中的研究動機還原成研究問題，把內隱在結果知識中的研究方法還原成認知工具，把靜態的結果還原成動態的思考過程，以問題鏈接展示問題及問題解決背后蘊含的思維價值，引發學生感悟知識發生、發展過程中的方法與思想。此外，他還進一步強調，倘若教師能將課標規定的知識體系轉換為連續的問題鏈，就能使教學過程成為循序漸進、邏輯建構的認知途徑，使教學活動成為圍繞問題解決的一種能動性的主題建構活動。20世紀80年代流行的建構主義的四大要求，即情境、協作、會話、意義建構都離不開問題的線索、橋梁、支撐、助推作用。問題產生矛盾，問題讓學生積極反思、改善自己的認知結構，促使已有圖式的擴展和更新。對于問題鏈的形式，他認為可以分為兩種類型，一類是指問題鏈在思維序列上依次加深，環環緊扣，推動學生思維不斷爬坡的遞進式，另一類是指問題鏈在邏輯關系上并列的并列式。以“拋物線的標準方程”這一問題為例，他向大家解釋了如何按照“喚醒、關聯、誘思、明題、提升”等五大方面層層設問，并給出設計問題鏈條的幾條原則。第一，要思考教學問題中有哪些是牽一發而動全身、最能體現教學目標或概念本質的問題，如動機性問題、模塊性問題。第二，要圍繞核心問題設計問題鏈，以核心問題為主線，子問題要圍繞核心問題順勢展開，螺旋上升。這就要求我們要合理地選擇節點，盡可能地在最有價值的環節設計問題，確定的子問題之間的邏輯關系要盡可能地貼近學生的思維區間，確保難度梯度在學生的“最近發展區”。第三，問題鏈的設計應體現育人理念，為學生服務，針對學生的障礙點，指向學生的發展點，培養學生的問題意識和提出問題的思維習慣。最后，他強調在反思問題引領課堂的研究過程后，教師要科學地確定問題鏈的核心，統籌確立問題鏈的節點，有效地控制問題鏈的難度，以及合理地設置問題鏈的臺階。

2.中國學生的數學素養

由于黨的教育方針的貫徹執行、素質教育的落實、中國國際競爭力的提升，核心素養的基礎研究被日益重視起來。那么，學生數學素養的研究有何必要性？華南師范大學教授何小亞認為，雖然數學新課程改革已實施10余年，但“知識+解題能力”的應試教育依然大行其道，素質教育仍然沒有得到真正的落實。何教授認為素質教育缺失的原因主要是因為我們會把筆試成績作為評價學生、教師、校長、局長能力的唯一標準，而且在數學課程與數學教學中缺失數學素養，在課程標準及其解讀中并不對數學素養的內涵、要素和要求進行界定。此外，數學課程標準的修訂需要數學素養頂層設計方面的指導。何教授指出，可以利用文獻分析和系統分析的方法對國內外有關數學素養的研究進行梳理，回答什么是數學素養、數學素養由哪些要素組成、中國學生數學素養的具體要求有哪些類別等問題。他認為，文獻收集主要基于兩條線索，一是基于學生的數學素養研究，二是基于學校培養未來公民的數學素養研究。

何謂“素養”？“素質”既有先天的條件，又有后天的養成；而“素養”則只是后天學習獲得的結果，即“素質”包含“素養”。不僅如此，何教授還表示，國內對數學素養的界定與分類有幾種，一是由素養（素質）的概念出發，演繹出“素養（或素質）+數學教育術語”式的定義，二是考慮數學學科的特殊性，表現為“知識”取向的數學素養觀、“知識+能力”取向的數學素養觀、“多維度”取向的數學素養觀。國外學者對數學素養內涵的界定有哪些呢？何教授表示他們會給出一些相關的術語，主要有Numerate、Numeracy（數字計算），Literacy（知識能力：讀、寫、算），Quantitative Literacy（數量方面的知識能力），Mathematical Literacy（數學知識能力）等。對“數學素養”的解釋，不同時期有所不同，即使在同一時期，不同的國家與組織機構、不同學者的理解也是不同的。何教授指出，國內有關數學素養的研究可以分為三個階段：第一階段，20世紀70年代末以前，并沒有提出“數學素養”這一名詞，只是討論與數學素養相關的問題，如“雙基”、三大能力培養；第二階段，20世紀70年代到1983年以前，使用“數學素養”的名詞，但沒有給出明確的定義；第三階段，1983年以后，國內將“數學素養”作為一個研究對象，直接討論“數學素養”的含義。此外，何教授認為，數學素養還應分為不同的層次水平，包括數學過程與方法層次以及數學情感態度價值觀層次，前者是通過數學學習過程，把握數學思想方法，形成數學能力，發展數學思維和數學意識，提高問題解決能力，積累教學活動經驗；后者則是指個體對數學學科、數學活動、數學對象的興趣愛好、立場觀念等心理傾向。

3.教師專業發展的調查研究

關于教師專業發展的問題似乎已經數見不鮮，香港大學博士研究生魯小莉另辟蹊徑，從師徒制的角度對上海高中數學新教師的專業發展問題作了調查研究。她首先闡釋了教師專業發展的定義，認為是教師在情境中的學習過程，并總結了其他研究者探索出的影響教師情境學習的各種因素，認為教師的情境學習可以從認知、建構主義、情境三個研究視角來切入。因此，她基于教師信念、教師知識、教師實踐來刻畫教師的專業發展，那么高中數學教師職初兩年會在教師專業上獲得哪些發展，師徒制在新教師專業發展過程中的作用是什么，有哪些其他因素會影響新教師的專業發展，這是她帶給我們的問題。之后，她指出她以以學校、教師為單位的嵌入式案例研究和相關文件、半結構式訪談、觀察等作為數據資源，并將上海作為抽樣地點，選擇不同區的重點高中以及高中新數學教師作為研究對象，她解釋說這是為了保證研究具備強大的師資力量、良好的教師專業發展環境以及豐富的背景資源。經過研究，她發現不同的學校以不同的形式實施師徒制，不同教育背景的新教師的教師信念、教師知識以及教學實踐等都會表現出不同的特點。最后，她希望所作的研究對教師學習理論、教師學習與社會文化因素之間的關系有一些理論指導的意義，在教師教育、新教師學習、指導教師工作與學習方面具有實踐指導的意義。

4.高中數學教材試驗研究

深受常州市科學教育研究院教研員孫福明的思想影響，人民教育出版社主任編輯俞求是向大家闡述了高中數學教材的試驗研究，著重強調在新的課程標準下高中數學內容的順序問題。他回顧了高中數學課程標準實驗教材在試驗期間亟須解決的一些問題，如必修模塊的教學順序問題，模塊化教材的結構問題，映射、函數、反函數的數學問題，立體幾何的結構與教學要求問題，極限概念與微積分初步的教學問題，初中數學和高中數學的銜接問題，內容多、課時緊的矛盾以及內容體系的其他問題，指出強調概述已有的研究，并對這些問題作進一步的研究和分析是他進行試驗探究的初衷。他要在概述當前部分教材試驗中存在的問題中，對這些問題給予進一步的分析，提出解決問題的對策，以期對課程標準、實驗教科書的修訂和完善有所啟示。

有關必修模塊的教學順序問題，他指出，《普通高中數學課程標準（實驗）》對必修的5個模塊的教學順序沒有作出明確的規定，但這是高中數學教材試驗期間必須要研究確定的問題，而且在教材試驗中也出現了一些突出的問題，如某些地區連續三年按照不同的模塊順序進行教學，教師普遍認為不好把握這些模塊的順序。江蘇省常州市教育局教研室教研員孫福明也指出，按照常規的理解，教材必修1～5的模塊應是有順序的，而且這種順序應該體現編者的整體意圖和編者對高中數學的整體認識，但課程標準制定組提出以數學模塊1為基礎，其余4個模塊在不影響相關聯系和知識儲備的條件下，學校可以根據學生的選擇和本校的具體情況進行安排，原則上沒有順序要求，而且縱觀各地的教學秩序，幾乎都回歸到老教材原有的以學科體系為主的順序，例如有些地方的教學順序是必修14523，有些地方是必修15423等。他還表示說，在教材體系方面，知識塊的前后位置不盡妥當，這會給教學帶來不便，如三角知識安排在必修4及必修5中講授，但必修2的立體幾何及平面解析幾何中都會用到三角知識，這就造成立體幾何中對一般三角形的計算不能進行，而且高一物理學科也必須用三角知識。對此，俞求是闡述道，為了解決5個必修模塊的教學順序問題，許多教師也作了深入的研究，回顧數學1到5的必修模塊的相關內容，認為這5個模塊比較好的順序為14523，同時，他認為這一教學順序也有一個突出的問題，即課程標準提出的將算法思想貫穿于整個課程中的設想不能很好的落實，應在后續的教學中加以彌補。鑒于此，他認為，可調整必修2和必修3的順序，按照必修數學14532的順序進行教學，也可考慮把算法的基本內容提前教學來解決此問題。

除模塊順序的選擇問題外，俞求是指出，教師還對改變高中課程模塊化設置和調整教學內容的安排體系提出了意見。模塊教學難以使青年教師系統、整體、有一定高度地把握教材，客觀上會影響青年教師的培養，同時模塊教學會關注一般學生的學習狀態，但也會影響優秀學生對知識深刻與系統的認識和理解。孫福明教研員也如此認為。廣東省深圳外國語學校教師謝增生也曾表示，高中教材亟待解決的一個問題是模塊教學與知識體系的問題，模塊教學要求小步走，螺旋式上升，這種做法會使知識體系被打亂，一種知識被分成幾個不同的部分，分散于不同的模塊，導致跳躍式地教授知識，也會使許多工具性的內容或后置或刪除。對此，俞求是認為由于一個模塊的課時限制會導致教材內容與結構的邏輯性大大降低，從而影響教和學，他猜測如果進一步把模塊課時統一減少，會對教材內容的安排增加更多的困難，影響教材內容的系統性和邏輯性。

映射、函數、反函數的數學問題，這是俞求是認為的當前教材存在的第三個問題。映射和函數的安排順序、反函數概念的數學要求問題是高中新數學課程教學研究和討論較多的兩個問題。安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇指出，經過對比試驗發現，“函數”與“映射”這兩個概念的邏輯順序與學生接受這兩個概念的難易順序并不一致。另外，對“函數”概念，新教材上給出的就是“映射”觀點下的定義，從這個角度看，教師應先講授“映射”的概念為宜。對學生來說，因為不能知其所以然，其學習興趣明顯不高。與此同時，新課程標準倡導合情推理與演繹推理相結合，對直線和平面平行、平面和平面平行等判定定理的處理僅僅通過操作確認而不加以證明，俞求是對這一點不敢茍同，他認為合情推理只是確認得到結論成立的一種猜測，結論的正確性與否還有待嚴格的證明。

針對1—6年級、7—9年級、10—12年級的數學課程實踐，圍繞數學課程對發展公民核心素養的責任與貢獻、學生學習數學的特點與規律、數學課程內容的選擇與呈現、數學課程教學的過去與現在等問題，眾多的數學教育工作者與數學教師進行了深入的對話與交流，對我國數學課程的實施、數學教育的經驗進行總結與反思，這一任務重大而艱巨，但在這么多的數學教育者的努力下，一定會將我國的數學教育做得越來越好。

（作者單位：北京師范大學歷史學院）

（責任編輯：孫建輝）

4.高中數學教材試驗研究

深受常州市科學教育研究院教研員孫福明的思想影響，人民教育出版社主任編輯俞求是向大家闡述了高中數學教材的試驗研究，著重強調在新的課程標準下高中數學內容的順序問題。他回顧了高中數學課程標準實驗教材在試驗期間亟須解決的一些問題，如必修模塊的教學順序問題，模塊化教材的結構問題，映射、函數、反函數的數學問題，立體幾何的結構與教學要求問題，極限概念與微積分初步的教學問題，初中數學和高中數學的銜接問題，內容多、課時緊的矛盾以及內容體系的其他問題，指出強調概述已有的研究，并對這些問題作進一步的研究和分析是他進行試驗探究的初衷。他要在概述當前部分教材試驗中存在的問題中，對這些問題給予進一步的分析，提出解決問題的對策，以期對課程標準、實驗教科書的修訂和完善有所啟示。

有關必修模塊的教學順序問題，他指出，《普通高中數學課程標準（實驗）》對必修的5個模塊的教學順序沒有作出明確的規定，但這是高中數學教材試驗期間必須要研究確定的問題，而且在教材試驗中也出現了一些突出的問題，如某些地區連續三年按照不同的模塊順序進行教學，教師普遍認為不好把握這些模塊的順序。江蘇省常州市教育局教研室教研員孫福明也指出，按照常規的理解，教材必修1～5的模塊應是有順序的，而且這種順序應該體現編者的整體意圖和編者對高中數學的整體認識，但課程標準制定組提出以數學模塊1為基礎，其余4個模塊在不影響相關聯系和知識儲備的條件下，學校可以根據學生的選擇和本校的具體情況進行安排，原則上沒有順序要求，而且縱觀各地的教學秩序，幾乎都回歸到老教材原有的以學科體系為主的順序，例如有些地方的教學順序是必修14523，有些地方是必修15423等。他還表示說，在教材體系方面，知識塊的前后位置不盡妥當，這會給教學帶來不便，如三角知識安排在必修4及必修5中講授，但必修2的立體幾何及平面解析幾何中都會用到三角知識，這就造成立體幾何中對一般三角形的計算不能進行，而且高一物理學科也必須用三角知識。對此，俞求是闡述道，為了解決5個必修模塊的教學順序問題，許多教師也作了深入的研究，回顧數學1到5的必修模塊的相關內容，認為這5個模塊比較好的順序為14523，同時，他認為這一教學順序也有一個突出的問題，即課程標準提出的將算法思想貫穿于整個課程中的設想不能很好的落實，應在后續的教學中加以彌補。鑒于此，他認為，可調整必修2和必修3的順序，按照必修數學14532的順序進行教學，也可考慮把算法的基本內容提前教學來解決此問題。

除模塊順序的選擇問題外，俞求是指出，教師還對改變高中課程模塊化設置和調整教學內容的安排體系提出了意見。模塊教學難以使青年教師系統、整體、有一定高度地把握教材，客觀上會影響青年教師的培養，同時模塊教學會關注一般學生的學習狀態，但也會影響優秀學生對知識深刻與系統的認識和理解。孫福明教研員也如此認為。廣東省深圳外國語學校教師謝增生也曾表示，高中教材亟待解決的一個問題是模塊教學與知識體系的問題，模塊教學要求小步走，螺旋式上升，這種做法會使知識體系被打亂，一種知識被分成幾個不同的部分，分散于不同的模塊，導致跳躍式地教授知識，也會使許多工具性的內容或后置或刪除。對此，俞求是認為由于一個模塊的課時限制會導致教材內容與結構的邏輯性大大降低，從而影響教和學，他猜測如果進一步把模塊課時統一減少，會對教材內容的安排增加更多的困難，影響教材內容的系統性和邏輯性。

映射、函數、反函數的數學問題，這是俞求是認為的當前教材存在的第三個問題。映射和函數的安排順序、反函數概念的數學要求問題是高中新數學課程教學研究和討論較多的兩個問題。安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇指出，經過對比試驗發現，“函數”與“映射”這兩個概念的邏輯順序與學生接受這兩個概念的難易順序并不一致。另外，對“函數”概念，新教材上給出的就是“映射”觀點下的定義，從這個角度看，教師應先講授“映射”的概念為宜。對學生來說，因為不能知其所以然，其學習興趣明顯不高。與此同時，新課程標準倡導合情推理與演繹推理相結合，對直線和平面平行、平面和平面平行等判定定理的處理僅僅通過操作確認而不加以證明，俞求是對這一點不敢茍同，他認為合情推理只是確認得到結論成立的一種猜測，結論的正確性與否還有待嚴格的證明。

針對1—6年級、7—9年級、10—12年級的數學課程實踐，圍繞數學課程對發展公民核心素養的責任與貢獻、學生學習數學的特點與規律、數學課程內容的選擇與呈現、數學課程教學的過去與現在等問題，眾多的數學教育工作者與數學教師進行了深入的對話與交流，對我國數學課程的實施、數學教育的經驗進行總結與反思，這一任務重大而艱巨，但在這么多的數學教育者的努力下，一定會將我國的數學教育做得越來越好。

（作者單位：北京師范大學歷史學院）

（責任編輯：孫建輝）

4.高中數學教材試驗研究

深受常州市科學教育研究院教研員孫福明的思想影響，人民教育出版社主任編輯俞求是向大家闡述了高中數學教材的試驗研究，著重強調在新的課程標準下高中數學內容的順序問題。他回顧了高中數學課程標準實驗教材在試驗期間亟須解決的一些問題，如必修模塊的教學順序問題，模塊化教材的結構問題，映射、函數、反函數的數學問題，立體幾何的結構與教學要求問題，極限概念與微積分初步的教學問題，初中數學和高中數學的銜接問題，內容多、課時緊的矛盾以及內容體系的其他問題，指出強調概述已有的研究，并對這些問題作進一步的研究和分析是他進行試驗探究的初衷。他要在概述當前部分教材試驗中存在的問題中，對這些問題給予進一步的分析，提出解決問題的對策，以期對課程標準、實驗教科書的修訂和完善有所啟示。

有關必修模塊的教學順序問題，他指出，《普通高中數學課程標準（實驗）》對必修的5個模塊的教學順序沒有作出明確的規定，但這是高中數學教材試驗期間必須要研究確定的問題，而且在教材試驗中也出現了一些突出的問題，如某些地區連續三年按照不同的模塊順序進行教學，教師普遍認為不好把握這些模塊的順序。江蘇省常州市教育局教研室教研員孫福明也指出，按照常規的理解，教材必修1～5的模塊應是有順序的，而且這種順序應該體現編者的整體意圖和編者對高中數學的整體認識，但課程標準制定組提出以數學模塊1為基礎，其余4個模塊在不影響相關聯系和知識儲備的條件下，學校可以根據學生的選擇和本校的具體情況進行安排，原則上沒有順序要求，而且縱觀各地的教學秩序，幾乎都回歸到老教材原有的以學科體系為主的順序，例如有些地方的教學順序是必修14523，有些地方是必修15423等。他還表示說，在教材體系方面，知識塊的前后位置不盡妥當，這會給教學帶來不便，如三角知識安排在必修4及必修5中講授，但必修2的立體幾何及平面解析幾何中都會用到三角知識，這就造成立體幾何中對一般三角形的計算不能進行，而且高一物理學科也必須用三角知識。對此，俞求是闡述道，為了解決5個必修模塊的教學順序問題，許多教師也作了深入的研究，回顧數學1到5的必修模塊的相關內容，認為這5個模塊比較好的順序為14523，同時，他認為這一教學順序也有一個突出的問題，即課程標準提出的將算法思想貫穿于整個課程中的設想不能很好的落實，應在后續的教學中加以彌補。鑒于此，他認為，可調整必修2和必修3的順序，按照必修數學14532的順序進行教學，也可考慮把算法的基本內容提前教學來解決此問題。

除模塊順序的選擇問題外，俞求是指出，教師還對改變高中課程模塊化設置和調整教學內容的安排體系提出了意見。模塊教學難以使青年教師系統、整體、有一定高度地把握教材，客觀上會影響青年教師的培養，同時模塊教學會關注一般學生的學習狀態，但也會影響優秀學生對知識深刻與系統的認識和理解。孫福明教研員也如此認為。廣東省深圳外國語學校教師謝增生也曾表示，高中教材亟待解決的一個問題是模塊教學與知識體系的問題，模塊教學要求小步走，螺旋式上升，這種做法會使知識體系被打亂，一種知識被分成幾個不同的部分，分散于不同的模塊，導致跳躍式地教授知識，也會使許多工具性的內容或后置或刪除。對此，俞求是認為由于一個模塊的課時限制會導致教材內容與結構的邏輯性大大降低，從而影響教和學，他猜測如果進一步把模塊課時統一減少，會對教材內容的安排增加更多的困難，影響教材內容的系統性和邏輯性。

映射、函數、反函數的數學問題，這是俞求是認為的當前教材存在的第三個問題。映射和函數的安排順序、反函數概念的數學要求問題是高中新數學課程教學研究和討論較多的兩個問題。安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇指出，經過對比試驗發現，“函數”與“映射”這兩個概念的邏輯順序與學生接受這兩個概念的難易順序并不一致。另外，對“函數”概念，新教材上給出的就是“映射”觀點下的定義，從這個角度看，教師應先講授“映射”的概念為宜。對學生來說，因為不能知其所以然，其學習興趣明顯不高。與此同時，新課程標準倡導合情推理與演繹推理相結合，對直線和平面平行、平面和平面平行等判定定理的處理僅僅通過操作確認而不加以證明，俞求是對這一點不敢茍同，他認為合情推理只是確認得到結論成立的一種猜測，結論的正確性與否還有待嚴格的證明。

針對1—6年級、7—9年級、10—12年級的數學課程實踐，圍繞數學課程對發展公民核心素養的責任與貢獻、學生學習數學的特點與規律、數學課程內容的選擇與呈現、數學課程教學的過去與現在等問題，眾多的數學教育工作者與數學教師進行了深入的對話與交流，對我國數學課程的實施、數學教育的經驗進行總結與反思，這一任務重大而艱巨，但在這么多的數學教育者的努力下，一定會將我國的數學教育做得越來越好。

（作者單位：北京師范大學歷史學院）

（責任編輯：孫建輝）