鐵心變壓器研究性實驗設計

沈一騎

（南京大學電子科學與工程學院，江蘇南京 210093）

鐵心變壓器研究性實驗設計

沈一騎

（南京大學電子科學與工程學院，江蘇南京 210093）

鐵心變壓器由于鐵心的作用致使等效電路和功率關系比較復雜。經(jīng)過多年研究，提出將鐵心能量損耗和儲放等效到原、副邊繞組，將鐵心變壓器等效為空心變壓器，并設計等效電路進行驗證；提出單獨測量變壓器各項復功率的方法并對所測功率進行修正，以檢驗功率關系。實驗表明，鐵心變壓器的等效處理和復功率的測量是成功的。據(jù)此設計了鐵心變壓器研究性自主性實驗，并介紹了這一創(chuàng)新實驗的設計思想。

空心變壓器；鐵心變壓器；研究性自主性實驗

鐵心變壓器是工頻交流電路中的常用器件，由于含有鐵心，等效電路和功率關系比較復雜。電路分析教材［1］對空心變壓器有比較詳細的論述，對鐵心線圈只作了簡單介紹；電工學教材［2］詳細論述了鐵心變壓器原理，但對功率關系介紹不夠。雖有大量文獻從工程角度對鐵心變壓器進行計算和設計，但一般不涉及等效電路和功率關系等基礎理論問題［3－8］。要研究鐵心變壓器的等效電路和功率關系，必須解決2個難點；一是對鐵心的處理，因為鐵心涉及非線性和附加能量的損耗和儲放；二是需要單獨測量各項功率，因為變壓器的功率是融合在一起的不易分開。我們經(jīng)過多年研究，提出了問題的解決方法，并經(jīng)實驗驗證是比較理想的。這一工作除了有一定的應用價值外，還可設計成研究性自主性實驗，一方面對普通變壓器實驗有所補充，另一方面還可培養(yǎng)學生的科研能力和實驗技巧。我們在電路分析研究性實驗設置的研究中，已完成了多個研究性自主性實驗的設計［9－12］，本文將介紹鐵心變壓器研究性自主性實驗的理論計算和實驗思想。

1 空心變壓器等效電路和復功率的理論計算

空心變壓器等效電路的理論計算可參見文獻［1］。圖1為空心變壓器的電路模型。

圖1 空心變壓器電路模型

設Z11、Z220為原、副邊繞組阻抗，ZM、ZL為互感抗和負載阻抗，并設副邊阻抗Z22＝Z220＋ZL，則原、副邊回路方程為：

圖2 空心變壓器等效電路

故不管ψ1和ψ2為何值，都有P12＝－P21和Q12＝Q21，即原、副邊互感項的有功功率一為吸收一為發(fā)出、無功功率為同時吸收或發(fā)出，而且兩者大小均相等。

由式（6）可知P22＝－P21，即副邊互感項發(fā)出有功功率供副邊阻抗Z22吸收，故原邊互感項必吸收有功功率，因而由P11＋P12＝P知，電源發(fā)出的有功功率只供給原邊繞組阻抗和原邊互感項吸收。原邊互感項所吸收的有功功率并不與原邊繞組阻抗一樣通過發(fā)熱損耗，而是通過互感傳輸給副邊互感項，故副邊互感項所發(fā)出的有功功率實際上是由電源發(fā)出的。對于無功功率，由于Q22＝－Q21，及Z11、Z22均為感性，若假設Q22＞0，即在半周期內副邊阻抗吸收（另半周則為發(fā)出）無功功率由副邊互感項提供，副邊及原邊互感項均發(fā)出無功功率（Q21＝Q12＜0；原、副邊的引入阻抗為容性），因而由Q11＋Q12＝Q且Q11＞0、Q12＜0，電源無功功率Q＜Q11，即電源和原邊互感項共同提供無功功率給原邊阻抗。由于電源和原、副邊互感項同時發(fā)出無功功率，與有功功率不同，副邊互感項所發(fā)出的無功功率不是由電源發(fā)出并由原邊互感項通過互感傳輸?shù)模莵碜匀菪缘母边呉胱杩梗拖瘛肮β室蛩靥岣邔嶒灐保?2］在改變電容使電路功率因素為1時發(fā)生諧振，無功功率只在電容、電感之間轉換一樣。當然副邊互感項的無功功率間接與電源、互感有關，不然就不會有副邊的引入阻抗［1］。

2 鐵心變壓器等效為空心變壓器

由于鐵心為磁性材料，空心變壓器加入鐵心后問題變得極為復雜，主要表現(xiàn)在鐵心中主磁通與施感電流不成正比，造成原、副繞組電感和互感都變?yōu)榉蔷€性；除原、副繞組外鐵心中也有能量損耗和儲放（即有功功率和無功功率）；施感電流為非正弦周期電流以及有磁路外漏磁通產生的漏磁電感等，故鐵心變壓器已難以采用空心變壓器而是采用交流鐵心線圈電路的分析方法［2］進行計算。該法在進行若干近似后得出了電壓變換和電流變換的近似公式，并在已知鐵心中能量損耗ΔPFe（鐵損）和能量儲放QFe后將鐵心等效為RL電路，其阻抗為Z鐵心＝ΔPFe/I2＋j QFe/I2，I為繞組電流。此法實用性很大，但由于作了較多的近似以及ΔPFe、QFe等較難測量，實際上難以像空心變壓器一樣給出鐵心變壓器原、副邊等效電路、繞組和鐵心的有功功率和無功功率等比較精確的表達式。鐵心變壓器能否采用空心變壓器的方法進行分析，關鍵問題是如何處理鐵心。既然鐵心可等效為RL電路，或許可把鐵心的作用全部等效到原、副邊繞組和互感中，將鐵心變壓器等效為空心變壓器。如原邊繞組阻抗Z11應包含原邊繞組電阻R1和電感L1以及鐵心的作用，顯然Z11≠R1＋jωL1。在得到原、副邊繞組和互感的等效阻抗后采用空心變壓器的方法進行計算，不用再考慮鐵心。這種等效方法是否可行，需要進行實驗驗證。由于鐵心的等效機制不明，不能進行理論計算，故原、副邊繞組和互感的等效阻抗均需實測（為簡便計，以下鐵心變壓器各等效阻抗的名稱和符號均與空心變壓器相同）。

3 鐵心變壓器等效電路的實驗設計與驗證

在鐵心變壓器等效為空心變壓器后，仍可采用圖1、圖2表示鐵心變壓器的電路模型和等效電路。由于Z11、Z220和ZM均為非線性，其阻值與工作狀態(tài)有關。根據(jù)鐵心變壓器“鐵心中主磁通的最大值在變壓器空載或有載時近于恒定”的磁動勢平衡原理，因此在測量Z11、Z220和ZM時若能保證主磁通與有載工作時相同，即能保證Z11、Z220和ZM與鐵心變壓器的實際值一致。圖3為Z11、Z220和ZM的測量電路。為了使測量Z11（Z220）時，原（副）邊繞組中不含互感電壓，副（原）邊必須開路，故Z11、Z220和ZM的測量值實際上是空載阻抗。圖3a、3c由電源電壓激勵且副邊開路，根據(jù)交流鐵心線圈電路理論有U1≈4.44fN1Φm，即主磁通最大值Φm取決于U1，再根據(jù)磁動勢平衡原理，Φm也即鐵心變壓器空載或有載時的主磁通。圖3b由副邊開路電壓激勵且原邊開路，U20≈4.44 fN2，為由U20產生的主磁通。由鐵心變壓器電壓變換公式U1/U20≈N1/N2可得＝Φm，故Z11、Z220和ZM在測量時的主磁通確實與有載時相同（其中f為電源頻率、N1、N2為原、副邊繞組的匝數(shù)和為原、副邊的開路電流。）

圖3 鐵心變壓器等效阻抗測量

原、副邊繞組阻抗Z11、Z220中的電阻分量分別為R11＝943Ω和R220＝40.9Ω，而原、副邊繞組的導線電阻僅為R1＝80.2Ω和R2＝4.5Ω，比R11、R220約小10倍，說明鐵心能量損耗確實以電阻形式等效到了原、副邊繞組之中。

3.1 采用空載阻抗計算變壓器的有載理論值

按圖4電路測量有載鐵心變壓器原、副邊的“五量”作為標準值（簡稱有載數(shù)據(jù)），取阻性負載ZL＝1.5kΩ。

圖4 有載鐵心變壓器的測量

將所得Z11、Z22和ZM代入式（3）、（4），計算有載時原、副邊電流的理論值并與實測值比較。此點的意義在于檢驗實驗設計思想是否正確，因而非常重要，直接關系到了實驗設計的成敗。計算可得

與實測值比較相對誤差小于1%，這說明：

（1）將鐵心的作用等效到原、副邊繞組和互感阻抗是正確的；

（2）有載、空載時主磁通保持不變，使等效阻抗的工作狀態(tài)不變，即用空載阻抗代替有載阻抗是正確的。

3.2 用RLC元件構建原、副邊等效電路

由于式（3）中的Z11＋ZY1＝2.235＋j7.906kΩ，故原邊等效電路（圖2a）可等效為一個RL串聯(lián)電路，R＝2.235kΩ、L＝25.178H。由于沒有大電感，可以借用RC串聯(lián)電路進行實驗。若取R不變，由容抗等于感抗可取C＝0.40μF，故所測電流的有效值即為I1、所測幅角的負值即為的幅角。實驗中實取R＝2.22kΩ、C＝0.42μF，測得“五量”為（括號內為與“有載數(shù)據(jù)”比較的相對誤差）：

同理，副邊的Z22＋ZY2＝1.517＋j0.003kΩ≈1.517 kΩ，等效電路僅為單電阻電路，所測“五量”為：

由此可見“五量”的相對誤差小于6%（其中包含元件取值誤差），完全可以說明原、副邊等效電路確能代表空心（鐵心）變壓器，這對精確計算含變壓器的電路是很有意義的。

3.3 用原、副邊繞組和RC元件構建等效電路

原邊引入阻抗ZY1＝1.292－j0.504kΩ，可用R＝1.292kΩ、C＝6.32μF的RC串聯(lián)電路替代，Z11仍用原邊繞組，由Z11、ZY1串聯(lián)構成的原邊等效電路即如圖2a所示，這似乎是最為理想的等效電路。其實不然，因為原邊繞組是非線性的，只有當繞組端電壓仍為220V時才能保證Z11不變，雖然交流電路中有可能出現(xiàn)分電壓與總電壓（220V）相等的情況。實驗中實取R＝1.29kΩ、C＝6.32μF，測得“五量”為：

同理可得副邊等效電路，測得“五量”為：

此種等效電路的電流和功率相對誤差增加較大，不宜用于精確計算。但由于不超過15%，在要求不太高時尚可接受。造成誤差的原因，是繞組工作狀態(tài)改變引起了阻值的改變，如實際UZ11測量＝213.7V≠220V，使Z11增大了約10%，從而造成了I1的減小。

總之，用空載得到的鐵心變壓器等效阻抗所作理論計算和以此構成RC等效電路的所測數(shù)據(jù)，均與鐵心變壓器有載工作時的數(shù)據(jù)一致，這表明將鐵心變壓器等效為空心變壓器的設想是成功的。但若要在等效電路中采用變壓器繞組作阻抗，則需保證繞組工作狀態(tài)與變壓器有載時一致，不然會引起較大誤差。

4 鐵心變壓器復功率的實驗設計與驗證

變壓器的復功率包括原、副邊繞組和互感項的復功率、電源和負載的復功率，再分為有功功率和無功功率，理論計算和相互關系都比較復雜。功率的測量如圖4所示，只能測量原邊電源和副邊負載的有功功率，故變壓器功率關系的實驗研究幾近空白。為了對變壓器的各項功率和相互關系有比較清晰的了解，我們除了采用“有載數(shù)據(jù)”和“空載數(shù)據(jù)”對變壓器的各項功率進行理論計算外，還著重研究各項功率的測量方法。

4.1 有載時原邊繞組有功功率P11和無功功率Q11的測量

變壓器在有載工作時的各項功率實際上是融合在一起的，難以直接單獨測量。如圖4電路有載時原邊繞組（或稱原邊等效阻抗，已包含鐵心作用）中就含有原邊互感項，所測的功率包含了原邊繞組有功功率P11和原邊互感項有功功率P12兩部分。那么P11可否單獨測量？由于空載時副邊電流為0，原邊互感項不起作用，故可采用圖3a電路測量空載時的原邊繞組有功功率P110，再對P110進行適當修正以得到P11。

修正的方法實際上是根據(jù)要求對電流、電壓相量進行變換。由于已知“有載數(shù)據(jù)”和“空載數(shù)據(jù)”，似乎可隨意給出不同相量如、之間的關系，如令但這僅僅是數(shù)量關系，沒有物理意義，因而并不合適。這種變換必須以鐵心變壓器工作原理為依據(jù)。如可令，因為此式即鐵心變壓器的電壓變換，復常數(shù)A＝N1/N2（變壓器變比）；可令，因為根據(jù)磁動勢平衡原理在時可得電流變換，而實驗中并不滿足，即電流變換不成立，故不能直接令，只能采用，即，因而實際上等價于電流變換；同理，根據(jù)變壓器的可逆性，可令，我們即以此3種變換對所測的功率進行修正。復常數(shù)A、B、C反映了鐵心變壓器的性質，A不隨負載而變；B、C雖隨負載而變，但由于都是常量，測定B、C隨負載的變化曲線也很容易；如果在一定負載范圍內B、C變化不大還可近似其為常數(shù)，故在負載確定時A、B、C都是確定的，如根據(jù)“有載數(shù)據(jù)”和“空載數(shù)據(jù)”可得

對圖3a電路，功率表的讀數(shù)即P110為

故原邊繞組的有功功率為

由于有載和空載時原邊繞組Z11基本不變，又Z11的幅角為，故原邊繞組的無功功率為

例如圖3a電路所測P讀＝0.654W，修正后可得P11＝0.687W（2.5%）、Q11＝6.125Var（2.5%），括號內為與理論計算值比較的相對誤差。

4.2 有載時副邊繞組有功功率P220和無功功率Q220的測量

圖3b電路可測量有載時副邊繞組的有功功率P220，其功率表讀數(shù)為

故副邊繞組的有功功率為

由于Z220的幅角為，故副邊繞組的無功功率為

例如由圖3b電路所測P讀＝0.873W，修正后可得

4.3 有載時原邊互感項有功功率P12和無功功率Q12的測量

圖5電路可測量有載時原邊互感項的有功功率P12。由

圖5 鐵心變壓器互感項復功率測量

例如由圖5電路所測P讀＝－5.52W，修正后可得P12＝0.913W（1.6%）、Q12＝－0.365Var（1.6%）

4.4 有載時副邊互感項有功功率P21和無功功率Q21的測量

由圖5電路也可測量有載時副邊互感項的有功功率P21。由于

即副邊互感項的有功功率為

無功功率為

例如由圖5電路所測P讀＝－5.52W，修正后可得

4.5 驗證功率平衡與相互關系

（1）原邊：電源發(fā)出有功功率P1＝1.59W；原邊繞組、互感項吸收有功功率P11＝0.687W、P12＝0.913W，共吸收有功功率P11＋P12＝1.60W；與P1相比誤差為0.3%。電源發(fā)出無功功率Q1＝P1tanψ1＝5.62Var；原邊繞組吸收無功功率Q11＝6.125Var、原邊互感項吸收無功功率Q12＝－0.365Var（實為發(fā)出），共吸收無功功率Q11＋Q12＝5.76Var；與Q1相比誤差為2.5%。

（2）副邊：副邊互感項吸收有功功率P21＝－0.969W（實為發(fā)出）；副邊繞組吸收有功功率P220＝0.0263W；負載ZL吸收有功功率P2＝0.96 W，副邊繞組和負載共吸收有功功率P220＋P2＝0.986 W；與P21相比誤差為1.8%。副邊互感項吸收無功功率Q21＝－0.171Var（實為發(fā)出）；副邊繞組吸收無功功率Q220＝0.166Var；負載ZL吸收無功功率Q2＝0，副邊繞組和負載共吸收無功功率Q220＋Q2＝0.166 Var；與Q21相比誤差為2.9%。

由此可見，所測各項功率完全滿足功率平衡的要求，也完全證實了理論對于各項功率相互關系的分析。

5 結束語

我們經(jīng)過多年研究，提出將鐵心能量損耗和儲放等效到原、副邊繞組中去，從而將鐵心變壓器等效為空心變壓器，并設計了原、副邊等效電路進行驗證；提出了單獨測量變壓器各項復功率的方法并對功率進行修正，以檢驗功率關系。我們已將鐵心變壓器的理論計算和實驗驗證設計為研究性自主性實驗，并在多年的實踐中取得了滿意的教學效果。

（References）

［1］邱關源.電路［M］.5版.北京：高等教育出版社，2006.

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［12］沈一騎，孔令紅.電路與電工原理研究性實驗教程［M］.南京：南京大學出版社，2012.

Design for research experiment of ferromagnetic core transformer

Shen Yiqi
（School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing 210093，China）

Ferromagnetic core can cause the equivalent circuit and power relations to become more complicated.Through the research work for many years，the core energy loss and storage were equivalent to the primary winding and the secondary winding，and the ferromagnetic core transformer was equivalent to air core transformer.The equivalent circuit was designed to check them.The method to measure various complex power of transformer separately was used to revise the measured power in order to check out power relationship.The experimental results show that the equivalent treatment for ferromagnetic core transformer and the complex power measurement are feasible.According to the above mention，the research and autonomy experiment for ferromagnetic core transformer was designed and the design philosophy was presented.

air core transformer；ferromagnetic core transformer；research and autonomy experiment

G424.31

A

1002－4956（2014）1－0153－05

2013－12－05

江蘇省高等學校教改研究課題（2013JSJG169）資助

沈一騎（1957—），男，浙江杭州，學士，高級工程師，電工實驗室主任，主要從事電路理論和實驗的教學與研究工作.