半圓形凸起與沉積谷地相連地形對SH波的散射

呂曉棠，安靜波

（合肥學院 建筑工程系，合肥 230022）

研究彈性波入射時局部場地條件下的地面運動規律，既是彈性波散射理論研究的重要課題，又對工程實踐有廣泛的指導意義。二十世紀中后期以來，局部場地條件對地震動影響問題的研究取得了大量有意義的成果。波函數展開和復變函數法有效地解決了凸起、凹陷地形對平面SH波的散射問題［1－7］。半空間中圓弧形沉積盆地對SH波的散射［8］，楔形空間中圓弧形沉積對平面SH波的散射解析解［9］，都假定沉積谷地中為單一介質。在圓弧形層狀沉積河谷場地對平面SH波入射下動力響應分析［10］中，討論了沉積谷地土層排列順序對動力響應的放大作用。齊輝等［11－12］討論了直角域中SH波的散射問題。已有成果大都是針對某一種地形對彈性波的散射問題進行研究，對于由兩種或兩種以上地形共同組成的復雜場地對彈性波散射問題的討論并不多見。

在自然界中，廣泛存在凸起與沉積谷地相連等復雜地形。研究這些地形對SH波的散射問題，不僅具有一定的理論意義，而且有廣闊的工程應用前景。

本文利用復變函數和移動坐標法研究了半圓形凸起與半圓形沉積谷地相連地形對SH波的散射問題。求解時，將整個求解區域分為三部分。首先，在三個部分中分別構造滿足各自邊界條件的位移解，然后利用復變函數法和移動坐標法使之滿足“公共”邊界和半圓形沉積層的邊界條件，從而建立起求解該問題的無窮代數方程組。

1 問題的表述

半圓形凸起與半圓形沉積層相連地形的模型如圖1所示，半空間水平地表邊界記為S，半圓形凸起地形邊界記為C，半徑為a，圓心為O1；半圓形沉積層地形凹陷邊界記為，水平邊界記為，半徑為R，圓心為 O2；

圖1 半圓形凸起與半圓形沉積層相連地形模型Fig．1 Model of a semi-cylindrical hill adjoins a semi-cylindrical alluvial valley

求解該模型對穩態平面SH波的散射問題，就是要滿足水平邊界S，凸起邊界C上應力自由，并且在半圓形沉積層凹陷邊界上滿足應力、位移連續的邊界條件下，求解SH波的控制方程。采用“分區”的方法，將整個求解區域分割成3部分，如圖2所示。區域Ⅰ為包括邊界C和在內的圓形區域；半圓形沉積層為區域Ⅲ，包括沉積層水平邊界和凹陷邊界；余下部分為區域Ⅱ，包括邊界S和。其中，和為區域Ⅰ、Ⅱ的公共邊界和為區域Ⅱ、Ⅲ的公共邊界，在兩個公共邊界上應該分別滿足應力、位移連續的邊界條件。

圖2 求解區域的分割Fig．2 The division of the solution domain

2 問題的求解

2．1 控制方程

在各向同性、均勻、連續的介質中研究彈性波對夾塞的散射問題，其最為簡單的模型就是反平面剪切運動的SH波模型。引入復變量z＝x＋iy＝x－iy，在復平面（上，對于穩態情況，位移 W（x，y，t）要滿足運動方程

其中：W為位移函數，位移函數與時間的依賴關系為e－iωt（以下略去諧和因子 e－iωt）。k＝ω／cs，ω為位移 W（x，y，t）的圓頻率介質的剪切波速，ρ、μ分別為介質的質量密度和剪切模量。

在極坐標系下，相應的應力可表達為

2．2 相關問題

2．2．1 區域Ⅰ內的駐波

如圖2所示，以半圓形凸起的圓心O1為原點，建立 X1－O1－Y1坐標系，對應復平面（z1）；以半圓形凹陷的圓心O2為原點建立X2－O2－Y2坐標系，對應復平面（z2）。D為圓心O1、O2之間的距離。

在圓域Ⅰ內求解一個駐波解，要求其滿足上邊界C上應力自由，下邊界上應力任意的邊界條件，由文獻［6］可知，在復平面（z1）中，這樣的駐波解可寫為

相應的應力為

其中：

ki＝ω／csi，csi為剪切波速。本文中，當i＝1時代表沉積層外介質的各種參數，i＝2時代表半圓形沉積層的各種參數，例如ρ1，μ1代表沉積層外介質的質量密度和剪切模量；ρ2，μ2代表沉積層的質量密度和剪切模量。

2．2．2 區域Ⅱ內的波函數

在入射SH波的作用下，區域Ⅱ中存在散射波場W，由以下幾部分組成：由半空間水平界面產生的反射波 W（r）；由半圓形凹陷邊界產生的散射波，；并且區域Ⅱ中的總波場 W應該滿足半空間表面S上應力自由的邊界條件。

在復平面（z1，）中，滿足S上應力自由的散射波W，W可表示為

其中：d是在復平面（z1，z1）中，半圓形沉積層圓心的復坐標。

相應的應力為

由SH波散射的多極坐標法知，在復平面（z2，）

其中：d′是在復平面（z2，）中半圓形凸起圓心的復坐標。

相應的應力可依照此方法由式（8）、（9）得到。

2．2．3 區域Ⅲ中的駐波

SH波入射時，半圓形沉積層中產生駐波，這個駐波應該滿足沉積層水平邊界上應力自由的邊界條件。在復平面（z2，2）下，區域Ⅲ中這樣的駐波可表示為

相應的應力表達式為

2．2．4 入射波和散射波

在復平面（z1，）上，入射波和反射波可寫為

相應的應力可表示為

復平面（z2z2）上，入射波和反射波可寫為

相應的應力可表示為

2．3 邊界條件及定解方程組

在兩個公共邊界上分別滿足應力、位移連續的邊界條件，可得到求解本問題的定解方程組

將位移和應力的表達式代入式（22），在方程兩邊同時乘以 e－inθ，并在區間（－π，π）上積分，可得到決定未知系數Am，Bm，Cm，Fm的無窮代數方程組。

2．4 地面位移幅值

研究半圓形凸起與半圓形沉積層相連地形對SH波的散射問題，就要求給出水平面上任一觀察點上地震動變化與SH波的波數η和入射角α的關系。由于入射SH波的作用，圓域Ⅰ內的波場為W，區域Ⅲ中的波場為W，而彈性半空間區域Ⅱ中的總波場則可以寫成

入射波波數為

或者

其中：λ為入射波的波長，或寫為η＝2a／λ。

3 算例和結果分析

作為算例，圖3給出3組無量綱參數比：μ1／μ2＝2／1，即半圓形沉積層相對于半圓形凸起比較“軟”；μ1／μ2＝1／1，即半圓形沉積層與半圓形凸起具有相同的剪切模量和密度，此時可認為半圓形沉積層不存在，計算模型應退化為半空間中單獨的半圓形凸起地形；μ1／μ2＝1／2，即半圓形沉積層相對于半圓形凸起比較“硬”。

如圖3中，x／a＝－1點代表半圓形凸起地形與水平面相交處的幾何位置，x／a＝1點代表凸起與沉積層相交的位置；x／a＜1代表凸起地形表面上各點。1＜x／a＜3代表沉積層表面上各點，x／a＝3點代表沉積層與水平面相交處的幾何位置，x／a＜－1代表水平表面上諸點的位置。

圖3 地表位移幅值隨x／a的變化Fig．3 Variation of surface displacement amplitudes with x／a

圖3給出SH波以不同波數η，不同入射角α入射時，以上3種情況下半圓形凸起與沉積層相連地形地表位移幅值的變化情況。

（1）當 μ1／μ2＝1／1時，地表位移的變化規律與半空間中單獨凸起地形位移的變化規律［3］一致，可以認為消除了沉積層的影響。

（2）由圖 3（a）、（b）可見，當 η＝0．1和 η＝0．25時，除α＝90°的情況外，凸起部分位移幅值W均隨μ1／μ2的減小而降低，也就是說，當 μ1／μ2＝2／1即沉積層較“軟”時，對凸起部分W起到放大作用，使其大于單獨半圓形凸起即 μ1／μ2＝1／1的情況；而 μ1／μ2＝1／2即沉積層較“硬”時，可明顯降低凸起部分的位移。例如，當 η＝0．25，α＝60°時，μ1／μ2＝2／1相對于 μ1／μ2＝1／1的情況，凸起頂點位移幅值提高了10%；而μ1／μ2＝1／2相對于 μ1／μ2＝1／1的情況，凸起頂點位移幅值降低了25%。

（3）高頻 η＝0．75，1．25入射時，由圖 3（c）、（d）可見，沉積層對凸起部分位移有不同程度的影響，但影響程度比低頻情況小。同時，相對于單獨凸起的情況，凸起右側沉積層表面位移顯示出明顯的振蕩趨勢，而且沉積層越“軟”，表面位移越大。

（4）半圓形凸起右側沉積層的存在，對凸起左側半空間水平表面的位移也有顯著影響。η＝0．1時，沉積層越“軟”，對凸起左側水平表面位移的放大作用越明顯。隨著η值的增大，這種影響表現為不同程度的放大和縮小作用。

圖4給出SH波垂直入射，R／a＝1．0和 R／a＝0．5時，半圓形凸起頂點位移幅值隨波數變化的反應譜。由圖可見，當 μ1／μ2＝1／1時，凸起頂點位移幅值反應譜，其變化規律與文獻［3］一致。當R／a＝1．0時，在η＝0．1～1．25的頻段內，凸起頂點位移幅值隨 μ1／μ2值的減小而降低，說明半圓形沉積層較“硬”時，在此頻段內對凸起頂點位移有一定的減震作用。當R／a＝0．5時，這種減震作用仍然存在，但頻段變為η＝0．1～1．1。

圖4 凸起頂點位移幅值反應譜Fig．4 Response spectrum of the hill peak displacement amplitudes

4 結 論

本文采用復變函數法研究了SH波入射下半圓形凸起與沉積谷地相連地形的地震動情況。給出了在半圓形沉積層的影響下，凸起地形對SH波散射的位移場和應力場，通過具體算例，討論了入射波波數ka，入射角α，沉積層半徑與凸起半徑之比R／a以及周圍介質與沉積層的各種材料參數比等對凸起部分地表位移幅值的影響。具體算例表明：

（1）當SH波低頻斜入射時，較軟的沉積層對凸起部分表面位移放大作用明顯；而高頻情況下影響相對較小。

（2）當入射波頻率η＝0．1時，沉積層的存在對凸起左側水平表面位移的影響不能忽略。

（3）SH波垂直入射時，沉積谷地的半徑越大（相對于凸起），對凸起頂點位移的放大或縮小效應也體現在較長的入射頻段內。

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