一種用于高精度隨動控制系統的軌跡預測方法

巫佩軍， 楊文韜， 余馳， 楊耕

(1.清華大學自動化系，北京 100084;2.慶安集團有限公司，陜西西安 710000)

0 引言

在某些高精度隨動控制系統運行中，往往面臨目標被短時遮擋導致軌跡不連續，或給定周期過大的現象，從而導致隨動系統跟蹤響應變慢、特性變差等問題。為了達到對目標的穩定持續跟蹤、提升對目標的跟蹤質量，在工程上一般采用軌跡預測的方法。實用的方法主要有卡爾曼濾波［1］、最小二乘［2］和模型預測［3］等。其中，卡爾曼濾波預測算法對目標的軌跡預測效果較好，且不需要存儲以前的數據，還可以獲得系統其它狀態信息。但算法需要精確的系統模型，建模誤差會給系統帶來較大影響。最小二乘預測算法運算簡單，計算量少，易于工程實現［4］，但擬合函數的通用性不強，在軌跡類型發生變化時預測效果變差。模型預測控制是一種基于模型的控制算法，在控制時域內最小化目標函數以求出最優控制律。建模誤差也會對這一方法的控制效果帶來影響。

此外，普通隨動控制器運算能力較低，難以完成比較復雜的控制算法，因此難以滿足系統具有較高控制精度這一需求［5］。為了改進此問題，本文以兩自由度高精度隨動控制系統為研究對象，提出了一種適用于不同類型軌跡的預測算法。首先對被跟蹤軌跡進行微分判定并分類，據此選擇適當的擬合函數以及預測步長;其次，采用最小二乘法作為軌跡預測方法，通過提供完整的目標軌跡信息，或等效提升位置給定速率，提升系統的性能。文中以連續可導的正弦波和不可導的三角波兩種軌跡為例預測，結合仿真驗證和實物實驗，對軌跡預測效果進行綜合分析，驗證了該預測方法的可行性。

1 兩自由度隨動控制系統

兩自由度隨動控制系統結構如圖1所示。隨動控制器接收上位機的跟蹤指令，通過對指令和反饋信號的處理，對執行機構水平、俯仰電機發出控制指令;執行機構按照指令，通過傳動裝置，將被控對象移動到指定位置來跟蹤目標;水平、俯仰編碼器，將采集到的被控對象位置信息，反饋給隨動控制器;隨動控制器還會將系統工作狀態傳回上位機。

圖1 隨動控制系統原理圖Fig.1 Schematic of servo control system

不考慮負載擾動和測量噪聲，隨動數字控制系統如圖2所示。Tr、Ty、Tu分別代表輸入r(t)、輸出y(t)和控制u(t)指令周期。Tu由D/A轉換器和控制器的速度決定，為隨動控制系統控制指令周期;Ty一般由傳感器的速度決定，是系統采集信號的周期;Tr為隨動系統收到的指令周期。當Tr＜Tu，Ty時，采用軌跡預測的方法，可以等效提升軌跡給定指令周期，從而提升系統性能。

圖2 隨動數字控制系統Fig.2 Digital servo control system

2 軌跡預測

最小二乘法軌跡預測，是一種利用已知軌跡，采用多項式函數擬合，預測未來軌跡的方法。由于其擬合多項式不隨著軌跡變化，所以在確定了擬合多項式后，針對不同類型的軌跡，其預測效果也不相同。在基本預測方法的基礎上，通過對軌跡類型的判斷，選用不同的擬合函數，會提升預測效果。

2.1 預測原理

己知前n個時刻的位置給定(xi，yi)，i=1，2，…，n，假定多項式擬合函數T(t)，使得擬合誤差(實際位置與擬合曲線的距離)的平方和D最小。擬合函數為

其中:ai為待定系數，ti為時間。擬合誤差平方和為

擬合問題變為:求待定系數ai，使得D取最小值。根據多元函數極值的必要條件:函數在某點具有偏導數且偏導數為零。我們以估計x軸位置為例，得

整理后得到

于是，上述擬合問題轉化為求以下方程的解［a0，a1，…，ar］［6－7］為

仿真中分別為對正弦波和三角波的預測，仿真結果如圖3所示，圖中菱形為位置給定值，圓點是對位置給定值的估計(圖4、圖5、圖7同)。從圖中可以看到，軌跡預測可提高實際系統中給定信號的頻率。這種軌跡預測方法，對于連續的、平滑變化的位置給定(圖3(a))，具有較好的預測效果，可以準確預測連續兩次位置給定之間的位置信息。但是對于三角波(圖3(b))，由于其在尖點處不可導，對于此點之后的估計并不準確。即在知道尖點處的位置給定時，沒有任何信息可以預示位置給定斜率的劇烈變化，因此在下一次位置給定到來之前的時間內，對于位置的估計值都是不準確的。

圖3 軌跡預測仿真Fig.3 Simulation of trajectory prediction

實際系統中，位置給定對應于跟蹤目標的實際位置。由于被跟蹤的目標具有較大慣性，因此其位置是連續變化的，這就使得本文提出的預測方法更為有效。

2.2 預測算法的選擇

由于目標軌跡具有多變化、不確定和隨機性，采用基于最小二乘法的多項式擬合預測目標移動軌跡時，如果能夠根據目標的已知軌跡，優化預測步長，亦即優化擬合多項式函數T(t)的多項式階數，對于提升預測方法的準確性，有較大幫助。這是因為對于任意軌跡，若設置的多項式階數過高，則式(4)左側的方陣A的階次會變高。經仿真驗證，當A的階次超過10階時，A往往會變為病態矩陣，此時求出的多項式系數［a0，a1，…，ar］會不準確，導致預測效果變差。

同時，由于已知的歷史數據具有誤差，預測結果也會引入誤差。此時，對于同一軌跡采用不一樣的多項式擬合函數，歷史數據誤差帶來的影響也不同，適當的選取擬合多項式，會減小這一誤差。我們以原函數為一階多項式為例，說明采用一階、二階擬合多項式后，帶來的誤差不同。

設原多項式為Y(t)=t+1，已知的3個點為

采用一階、二階多項式擬合函數在t+2處的值，所得結果如表1所示。

表1 一、二階擬合多項式擬合結果Table 1 Fitting results with first and second order polynomials

可見，不同擬合多項式擬合結果不同。對于由歷史數據誤差帶來的擬合誤差，選取合適的擬合多項式，會減小這一偏差。以下以目標軌跡為三角波和正弦波為例，說明擬合函數對不同軌跡預測效果的影響。

若歷史軌跡為三角波，對軌跡微分可知，在大多數位置，微分結果為常數。此時，可適當降低擬合多項式階數，采用一階或二階多項式參與擬合，會提升軌跡預測效果。圖4為不同階次對三角波軌跡預測結果影響對比。

由圖4可見，對于三角波軌跡預測，一階多項式得到的結果要優于高階多項式。同樣的，若歷史軌跡為正弦波，軌跡任意階可導，則可以采用較高階數的多項式參與擬合。經仿真驗證，當多項式階數為3時，仿真效果較為理想。

圖4 不同階次擬合多項式的三角波軌跡預測結果Fig.4 Triangle wave trajectory prediction results with different order of polynomials

圖5為不同擬合函數下正弦波軌跡預測結果對比。

圖5 不同階次擬合多項式的正弦波軌跡預測結果Fig.5 Sine wave trajectory prediction results with different order of polynomials

由圖5可以看出，對于正弦波的預測，若擬合函數階次過低，在正弦尖峰處，預測效果變差。實驗說明，利用最小二乘法做軌跡預測時，選擇的擬合函數的階次過高或過低，都會導致預測結果變差。對于不同類型的曲線，其擬合多項式的最佳階次也不相同。

實際系統的目標軌跡，并不是單一的類型。由于篇幅限制，我們以正弦類軌跡與三角波類軌跡的混合軌跡作為預測目標，利用改進后的預測算法進行試驗，其結構如圖6所示。以下以三角波類、正弦波類混合軌跡為例，介紹這一方法。

圖6 改進后的預測算法流程Fig.6 Improved prediction algorithm flow

在預測開始時，首先進行軌跡分類算法選擇。利用已知歷史數據，采用不同階次的多項式，進行擬合預測。若一階多項式擬合結果誤差小，則認定為三角波類軌跡;若三階多項式擬合結果誤差小，則認定為正弦波類軌跡;若二階多項式擬合結果誤差小，則認為是在兩類波形之間過渡。在預測過程中，對比每個采樣點處軌跡預測值與實際值之間的誤差:若誤差小于設定閾值，則繼續采用當前預測方法;否則調整預測方法，利用其他階次多項式擬合歷史數據，將得到的預測值與實際值對比，選擇誤差最小的擬合方法，利用當前數據點進行預測。利用歷史軌跡得到預測軌跡，并將預測結果輸入隨動控制器。這種加入軌跡判定的方法，比固定擬合函數的辦法，預測效果更好。仿真結果如圖7所示。

圖7 采用不同擬合函數預測結果Fig.7 Prediction result with different order of polynomial

圖7可以看出，對于不同類型的混合軌跡，采用不同擬合函數預測時，比起單一擬合函數，在不連續軌跡處，預測軌跡偏離較小;對于連續軌跡尖峰(變化較慢處)，預測結果也更為準確。在仿真中只是針對此類軌跡，示意性的采用了3種不同階次的多項式擬合函數。對于更加復雜的情況，可以采用更多不同階次，甚至不同種類的擬合函數。

3 實際系統驗證結果

實際系統的原理構成圖如圖1。電動機采用混合式兩相步進電機。實際位置每0.5 ms采集一次(Ty=0.5 ms)，位置給定每20 ms更新一次(Tr=20 ms)，控制指令每2 ms更新一次(Tu=2 ms)。在不加入位置預測的情況下，系統響應如圖8(a)所示(放大圖中粗實線為給定值，細實線為實際軌跡)，其中系統最大跟蹤誤差(最高點處誤差)為0.081°，跟蹤時延為0.035 s。

圖8 系統響應曲線Fig.8 System response curve

加入了軌跡預測模塊后的系統，在預測準確的情況下，等效于提高了系統的位置給定速率Tr。此時系統的響應如圖8(b)所示，系統最大跟蹤誤差(最高點處誤差)為0.0202°，跟蹤時延為0.008 s。系統性能有明顯提高。

4 結語

針對高精度隨動控制系統中，目標軌跡給定時間間隔較大或目標軌跡不連續，造成的控制精度下降的問題，本文提出了一種利用改進最小二乘法預測軌跡，等效提升軌跡給定速率，或完善軌跡信息，從而提升系統性能的方法。通過對已知軌跡微分實現分類，并對不同類型的軌跡采用不同的預測方法。仿真證明這一方法對于系統性能的提升有較大幫助，且實現簡單，無需系統模型。與傳統的最小二乘法軌跡預測相比，預測結果更好。雖然對于連續不可導的軌跡，本預測方法在不可導處有較大誤差。若跟蹤目標具有較大慣性，其位置連續，則預測效果較好;若跟蹤目標慣性較小軌跡會發生突變，則不宜采用本文提出的預測方法。

在實際應用中，跟蹤目標軌跡可能還有其他類型，因此可在本文方法的基礎上，加入不同的擬合函數，如選取正交多項式為基;或加入其他擬合手段，再給軌跡分類后，采用適合的辦法進行預測。

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