對數據分布特征測度的分析

陳龍禹

摘要：統計數據經過整理和顯示后，我們對數據分布的類型和特點就有了一個大致的了解，但這種了解只是表面上的，還缺少代表性的數量特征值準確地描述出統計數據的分布。對統計數據分布的特征，可以從三個方面進行測度和描述：一是分布的集中趨勢；二是分布的離散程度；三是分布的偏態和測度。這三個方面分別反映了數據分布的測度特征。

關鍵詞：數據分布；特征測度；分析

中圖分類號：F270 文獻標識碼：A

文章編號：1005-913X（2014）08-0192-01

一、集中趨勢的測度

（一）分類數據：眾數

眾數主要用于測度分類數據的集中趨勢，同時也適用于順序數據以及數值型數據集中趨勢的測度位。需注意的是，只有當數據較多，具有明顯集中趨勢時，計算眾數才有意義，才可以利用它來作為某種決策的參考依據。如紡織企業職工“性別”中“女性”人數最多，則“女性”為眾數。再如鞋廠在制定各種尺碼鞋子的生產計劃時，市場上銷量最多的型號是眾數，也是生產廠家或經銷商應該重點生產和銷售的型號。

（二）數值型數據：平均數

平均數用于反映所有數值型數據的一段水平。根據計算方法的不同，有算術平均數和幾何平均數之分。平均數表明所有變量值的集中趨勢，受極端值的影響，它是集中趨勢的最主要測度值，主要用于數值型數據集中趨勢的測度。

（三）眾數、中位數和平均數的比較

1.眾數、中位數和均值的關系

從分布的角度看，眾數始終是一組數據分布的最高峰值，中位數是處于一組數據中間位置上的值，而均值則是全部數據的算術平均。因此，對同一組數據計算眾數、中位數和均值，三者之間具有以下關系：在單蜂分布條件下，如果數據的分布是對稱的，則眾數、中位數和均值必定相等，即眾數=中位數=均值；如果數據是左偏分布，說明數據存在極小值，必然拉動均值向極小值一方靠，而眾數和中位數由于位置是代表值，不受極值的影響，因此三者之間的關系表現為：均值<中位數<眾數；如果數據是右偏分布，說明數據存在極大值，必然拉動均值向極大值一邊靠，則眾數<中位數<均值，如圖1所示。

2.眾數、中位數和均值的特點與應用場合

眾數、中位數和算術平均數各自具有不同的特點，掌握它們之間的關系和各自的不同特點，有助于在實際應用中選擇合理的測度值來描述數據的集中趨勢。

（1）雖然對于順序數據以及數值型數據也可以計算眾數，但眾數主要適合于作為分類數據的集中趨勢測度值，而且眾數只有在數據量較多時才有意義，當數據量較少時，不宣使用眾數。

（2）中位數以及其他分位數主要適用于作為順序數據的集中趨勢測度值，雖對于順序數據也可以使用眾數，但以中位數為宜。

（3）算數平均數適合用于數值型數據的集中趨勢測度值，特別是當分布比較法則，不存在極端值比較偏離現象時，用算述平均數達標集中趨勢最合適，但平均值的主要缺點是易受數據極端值的影響，對于偏態分布的數據，平均數的代表性差。因此，當數據位偏態分布，特別是偏斜的程度較大時，可以考慮選擇眾數或中位數等位置代表，這時它們的代表性要比平均數好。

（4）算術平均數包含的信息是最多的、最豐富的，算術平均數具有兩個重要的數學性質，即所有觀測值與算術平均數的離差和等于零；所有觀測值與算術平均勢的離差平方和為最小。

二、離散程度的測度

集中趨勢只是統計總體數據分布的特征之一。介于個體的差異性，總體中的各數據還呈現出與集中趨勢的代表值和分散的離中趨勢，這是數據的另一特征，它所反映的是各變量值遠離其中心值的程度。因此，對統計數據的分析，除了要反映其分布的集中趨勢外，還要反映統計數據的離散程度，以達到對數據變動規律的全面描述。

根據所依據數據類型的不同，數據離散程度的主要指標有極差、平均差、四分位差、方差、標淮差以及離散系數等。測度離散程度的主要作用如下。一是反映現象總體中變量分布的離中趨勢。總體各單位的標志值存在差異，標志變動度表明總體各單位標志值的分散程度。變量值的差異越大，離散趨勢也越大；反之，變量值越小，離散趨勢也越小。二是衡量均值的代表性。均值作為總體數量標志的代表，其代表性取決于總體各數據的差異程度。總體中各數據的變異程度越大，均值的代表性就越小；反之，總體中各數據的變異程度越小，均值的代表性就越大。三是測定現象變動的均勻性或穩定性程度。離散程度能夠表明生產過程的節奏性和其他活動的均衡性，可作為企業產品質量控制和評價經濟管理工作的依據。

三、偏態與峰態的測度

（一）偏態的測度

在客觀實際生活中，一些經濟變量的次數分配往往是非對稱型的，如收入分配、市場占有份額、資源配置等等，這些經濟變量經分組后，總體各單位在不同的分組變量值下分布并不均勻對稱，而呈現出偏斜的分布狀況，統計上將其稱為偏態分布。利用眾數、中位數和平均數之間的關系就可以判斷分布是對稱、左偏還是右偏。顯然，判斷偏態的方向并不困難，但要測度偏斜的程度則需要計算偏態系數。統計分折中測定偏態系數的方法很多。

（二）峰態的測度

峰態是指數據分布的尖峭狀況和程度。峰態是次數分布的另一個數量特征。這個特征是：某種次數分布與正態分布相比較，是尖頂還是平頂，其尖頂或平頂的程度如何。蜂度是次數分布曲線頂端的尖峭程度。峰度通常分為三種：正態峰度、尖峰度和平峰度。如果分布的形狀比正態分布更高更瘦，則稱為尖峰分布；如果分布的形狀比正態分布更矮更胖，則稱為平峰分布。峰態系數是統計中描述次數分布狀態的又一個重要特征值，用以測定鄰近數值周圍變量值分布的集中或分散程度。

參考文獻：

[1] 陳文麗，韓立巖.λ-可加模糊測度的一般形式及分布特征[J].模糊系統與數學，2007（1）.

[2] 張 紅，王新生，余瑞林.基于Voronoi圖的測度點狀目標空間分布特征的方法[J].華中師范大學學報（自然科學版），2005（3）.

[責任編輯：文 筠]

摘要：統計數據經過整理和顯示后，我們對數據分布的類型和特點就有了一個大致的了解，但這種了解只是表面上的，還缺少代表性的數量特征值準確地描述出統計數據的分布。對統計數據分布的特征，可以從三個方面進行測度和描述：一是分布的集中趨勢；二是分布的離散程度；三是分布的偏態和測度。這三個方面分別反映了數據分布的測度特征。

關鍵詞：數據分布；特征測度；分析

中圖分類號：F270 文獻標識碼：A

文章編號：1005-913X（2014）08-0192-01

一、集中趨勢的測度

（一）分類數據：眾數

眾數主要用于測度分類數據的集中趨勢，同時也適用于順序數據以及數值型數據集中趨勢的測度位。需注意的是，只有當數據較多，具有明顯集中趨勢時，計算眾數才有意義，才可以利用它來作為某種決策的參考依據。如紡織企業職工“性別”中“女性”人數最多，則“女性”為眾數。再如鞋廠在制定各種尺碼鞋子的生產計劃時，市場上銷量最多的型號是眾數，也是生產廠家或經銷商應該重點生產和銷售的型號。

（二）數值型數據：平均數

平均數用于反映所有數值型數據的一段水平。根據計算方法的不同，有算術平均數和幾何平均數之分。平均數表明所有變量值的集中趨勢，受極端值的影響，它是集中趨勢的最主要測度值，主要用于數值型數據集中趨勢的測度。

（三）眾數、中位數和平均數的比較

1.眾數、中位數和均值的關系

從分布的角度看，眾數始終是一組數據分布的最高峰值，中位數是處于一組數據中間位置上的值，而均值則是全部數據的算術平均。因此，對同一組數據計算眾數、中位數和均值，三者之間具有以下關系：在單蜂分布條件下，如果數據的分布是對稱的，則眾數、中位數和均值必定相等，即眾數=中位數=均值；如果數據是左偏分布，說明數據存在極小值，必然拉動均值向極小值一方靠，而眾數和中位數由于位置是代表值，不受極值的影響，因此三者之間的關系表現為：均值<中位數<眾數；如果數據是右偏分布，說明數據存在極大值，必然拉動均值向極大值一邊靠，則眾數<中位數<均值，如圖1所示。

2.眾數、中位數和均值的特點與應用場合

眾數、中位數和算術平均數各自具有不同的特點，掌握它們之間的關系和各自的不同特點，有助于在實際應用中選擇合理的測度值來描述數據的集中趨勢。

（1）雖然對于順序數據以及數值型數據也可以計算眾數，但眾數主要適合于作為分類數據的集中趨勢測度值，而且眾數只有在數據量較多時才有意義，當數據量較少時，不宣使用眾數。

（2）中位數以及其他分位數主要適用于作為順序數據的集中趨勢測度值，雖對于順序數據也可以使用眾數，但以中位數為宜。

（3）算數平均數適合用于數值型數據的集中趨勢測度值，特別是當分布比較法則，不存在極端值比較偏離現象時，用算述平均數達標集中趨勢最合適，但平均值的主要缺點是易受數據極端值的影響，對于偏態分布的數據，平均數的代表性差。因此，當數據位偏態分布，特別是偏斜的程度較大時，可以考慮選擇眾數或中位數等位置代表，這時它們的代表性要比平均數好。

（4）算術平均數包含的信息是最多的、最豐富的，算術平均數具有兩個重要的數學性質，即所有觀測值與算術平均數的離差和等于零；所有觀測值與算術平均勢的離差平方和為最小。

二、離散程度的測度

集中趨勢只是統計總體數據分布的特征之一。介于個體的差異性，總體中的各數據還呈現出與集中趨勢的代表值和分散的離中趨勢，這是數據的另一特征，它所反映的是各變量值遠離其中心值的程度。因此，對統計數據的分析，除了要反映其分布的集中趨勢外，還要反映統計數據的離散程度，以達到對數據變動規律的全面描述。

根據所依據數據類型的不同，數據離散程度的主要指標有極差、平均差、四分位差、方差、標淮差以及離散系數等。測度離散程度的主要作用如下。一是反映現象總體中變量分布的離中趨勢。總體各單位的標志值存在差異，標志變動度表明總體各單位標志值的分散程度。變量值的差異越大，離散趨勢也越大；反之，變量值越小，離散趨勢也越小。二是衡量均值的代表性。均值作為總體數量標志的代表，其代表性取決于總體各數據的差異程度。總體中各數據的變異程度越大，均值的代表性就越小；反之，總體中各數據的變異程度越小，均值的代表性就越大。三是測定現象變動的均勻性或穩定性程度。離散程度能夠表明生產過程的節奏性和其他活動的均衡性，可作為企業產品質量控制和評價經濟管理工作的依據。

三、偏態與峰態的測度

（一）偏態的測度

在客觀實際生活中，一些經濟變量的次數分配往往是非對稱型的，如收入分配、市場占有份額、資源配置等等，這些經濟變量經分組后，總體各單位在不同的分組變量值下分布并不均勻對稱，而呈現出偏斜的分布狀況，統計上將其稱為偏態分布。利用眾數、中位數和平均數之間的關系就可以判斷分布是對稱、左偏還是右偏。顯然，判斷偏態的方向并不困難，但要測度偏斜的程度則需要計算偏態系數。統計分折中測定偏態系數的方法很多。

（二）峰態的測度

峰態是指數據分布的尖峭狀況和程度。峰態是次數分布的另一個數量特征。這個特征是：某種次數分布與正態分布相比較，是尖頂還是平頂，其尖頂或平頂的程度如何。蜂度是次數分布曲線頂端的尖峭程度。峰度通常分為三種：正態峰度、尖峰度和平峰度。如果分布的形狀比正態分布更高更瘦，則稱為尖峰分布；如果分布的形狀比正態分布更矮更胖，則稱為平峰分布。峰態系數是統計中描述次數分布狀態的又一個重要特征值，用以測定鄰近數值周圍變量值分布的集中或分散程度。

參考文獻：

[1] 陳文麗，韓立巖.λ-可加模糊測度的一般形式及分布特征[J].模糊系統與數學，2007（1）.

[2] 張 紅，王新生，余瑞林.基于Voronoi圖的測度點狀目標空間分布特征的方法[J].華中師范大學學報（自然科學版），2005（3）.

[責任編輯：文 筠]

摘要：統計數據經過整理和顯示后，我們對數據分布的類型和特點就有了一個大致的了解，但這種了解只是表面上的，還缺少代表性的數量特征值準確地描述出統計數據的分布。對統計數據分布的特征，可以從三個方面進行測度和描述：一是分布的集中趨勢；二是分布的離散程度；三是分布的偏態和測度。這三個方面分別反映了數據分布的測度特征。

關鍵詞：數據分布；特征測度；分析

中圖分類號：F270 文獻標識碼：A

文章編號：1005-913X（2014）08-0192-01

一、集中趨勢的測度

（一）分類數據：眾數

眾數主要用于測度分類數據的集中趨勢，同時也適用于順序數據以及數值型數據集中趨勢的測度位。需注意的是，只有當數據較多，具有明顯集中趨勢時，計算眾數才有意義，才可以利用它來作為某種決策的參考依據。如紡織企業職工“性別”中“女性”人數最多，則“女性”為眾數。再如鞋廠在制定各種尺碼鞋子的生產計劃時，市場上銷量最多的型號是眾數，也是生產廠家或經銷商應該重點生產和銷售的型號。

（二）數值型數據：平均數

平均數用于反映所有數值型數據的一段水平。根據計算方法的不同，有算術平均數和幾何平均數之分。平均數表明所有變量值的集中趨勢，受極端值的影響，它是集中趨勢的最主要測度值，主要用于數值型數據集中趨勢的測度。

（三）眾數、中位數和平均數的比較

1.眾數、中位數和均值的關系

從分布的角度看，眾數始終是一組數據分布的最高峰值，中位數是處于一組數據中間位置上的值，而均值則是全部數據的算術平均。因此，對同一組數據計算眾數、中位數和均值，三者之間具有以下關系：在單蜂分布條件下，如果數據的分布是對稱的，則眾數、中位數和均值必定相等，即眾數=中位數=均值；如果數據是左偏分布，說明數據存在極小值，必然拉動均值向極小值一方靠，而眾數和中位數由于位置是代表值，不受極值的影響，因此三者之間的關系表現為：均值<中位數<眾數；如果數據是右偏分布，說明數據存在極大值，必然拉動均值向極大值一邊靠，則眾數<中位數<均值，如圖1所示。

2.眾數、中位數和均值的特點與應用場合

眾數、中位數和算術平均數各自具有不同的特點，掌握它們之間的關系和各自的不同特點，有助于在實際應用中選擇合理的測度值來描述數據的集中趨勢。

（1）雖然對于順序數據以及數值型數據也可以計算眾數，但眾數主要適合于作為分類數據的集中趨勢測度值，而且眾數只有在數據量較多時才有意義，當數據量較少時，不宣使用眾數。

（2）中位數以及其他分位數主要適用于作為順序數據的集中趨勢測度值，雖對于順序數據也可以使用眾數，但以中位數為宜。

（3）算數平均數適合用于數值型數據的集中趨勢測度值，特別是當分布比較法則，不存在極端值比較偏離現象時，用算述平均數達標集中趨勢最合適，但平均值的主要缺點是易受數據極端值的影響，對于偏態分布的數據，平均數的代表性差。因此，當數據位偏態分布，特別是偏斜的程度較大時，可以考慮選擇眾數或中位數等位置代表，這時它們的代表性要比平均數好。

（4）算術平均數包含的信息是最多的、最豐富的，算術平均數具有兩個重要的數學性質，即所有觀測值與算術平均數的離差和等于零；所有觀測值與算術平均勢的離差平方和為最小。

二、離散程度的測度

集中趨勢只是統計總體數據分布的特征之一。介于個體的差異性，總體中的各數據還呈現出與集中趨勢的代表值和分散的離中趨勢，這是數據的另一特征，它所反映的是各變量值遠離其中心值的程度。因此，對統計數據的分析，除了要反映其分布的集中趨勢外，還要反映統計數據的離散程度，以達到對數據變動規律的全面描述。

根據所依據數據類型的不同，數據離散程度的主要指標有極差、平均差、四分位差、方差、標淮差以及離散系數等。測度離散程度的主要作用如下。一是反映現象總體中變量分布的離中趨勢。總體各單位的標志值存在差異，標志變動度表明總體各單位標志值的分散程度。變量值的差異越大，離散趨勢也越大；反之，變量值越小，離散趨勢也越小。二是衡量均值的代表性。均值作為總體數量標志的代表，其代表性取決于總體各數據的差異程度。總體中各數據的變異程度越大，均值的代表性就越小；反之，總體中各數據的變異程度越小，均值的代表性就越大。三是測定現象變動的均勻性或穩定性程度。離散程度能夠表明生產過程的節奏性和其他活動的均衡性，可作為企業產品質量控制和評價經濟管理工作的依據。

三、偏態與峰態的測度

（一）偏態的測度

在客觀實際生活中，一些經濟變量的次數分配往往是非對稱型的，如收入分配、市場占有份額、資源配置等等，這些經濟變量經分組后，總體各單位在不同的分組變量值下分布并不均勻對稱，而呈現出偏斜的分布狀況，統計上將其稱為偏態分布。利用眾數、中位數和平均數之間的關系就可以判斷分布是對稱、左偏還是右偏。顯然，判斷偏態的方向并不困難，但要測度偏斜的程度則需要計算偏態系數。統計分折中測定偏態系數的方法很多。

（二）峰態的測度

峰態是指數據分布的尖峭狀況和程度。峰態是次數分布的另一個數量特征。這個特征是：某種次數分布與正態分布相比較，是尖頂還是平頂，其尖頂或平頂的程度如何。蜂度是次數分布曲線頂端的尖峭程度。峰度通常分為三種：正態峰度、尖峰度和平峰度。如果分布的形狀比正態分布更高更瘦，則稱為尖峰分布；如果分布的形狀比正態分布更矮更胖，則稱為平峰分布。峰態系數是統計中描述次數分布狀態的又一個重要特征值，用以測定鄰近數值周圍變量值分布的集中或分散程度。

參考文獻：

[1] 陳文麗，韓立巖.λ-可加模糊測度的一般形式及分布特征[J].模糊系統與數學，2007（1）.

[2] 張 紅，王新生，余瑞林.基于Voronoi圖的測度點狀目標空間分布特征的方法[J].華中師范大學學報（自然科學版），2005（3）.

[責任編輯：文 筠]