邊邊大角定理及其應用
2014-09-22 04:10:48吳迎新
黑河教育 2014年8期
吳迎新
一、邊邊大角定理
兩組對應邊相等，并且其中一組邊的對角相等是兩個三角形全等的必要條件，但不是兩個三角形全等的充分條件。那么是不是對以上條件“加強”一下，可以成為充分條件呢？回答是肯定的。請看這個新的命題。
定理如果兩個三角形的兩組邊對應相等，并且其中較大一組邊的對角相等，則這兩個三角形全等。
已知：在△ABC與△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。
求證：△ABC ≌△ABC。
證明：按∠B的大小分成三種情況證明
（1）∠B >90°，如圖（1）
圖（1）
過A作CB延長線的垂線，垂足為D，過A作CB延長線的垂線，垂足為D。
在△ABD 與△ABD 中
∵ ∠B = ∠B
∴ ∠ABD =∠ABD
又AB = AB， ∠D =∠D=90°
∴ △ABD≌△AB D
∴AD = ADDB =DB
在△ACD 與△ACD中，
AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°
∴△ACD ≌△ACD
∴DC = D C
∴BC = B C
在△ABC與△ABC中.
AB = ABAC =A CBC = B C
∴ △ABC ≌△ABC.
命題成立。
（2）∠B = 90°，如圖（2）
圖（2）
這里AB 、AB為直角邊，正符合斜邊直角邊定理條件，
∴△ABC ≌△ABC
命題成立。
（3）∠B <90°，如圖（3）
圖（3）
∵ AC >AB
∴∠C<∠B∠C<∠B
即 ∠C<90°∠C <90°
仿（1）同理可證△ABC ≌△ABC。
綜上所述，定理成立。
由于∠B、∠B分別是所述兩邊中較大一組所對的角，因此定理可稱為邊邊大角定理。
二、邊邊大角定理的應用
下面通過斯坦納-雷米歐司定理的證明可以看到邊邊大角定理的應用。
兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形。這一命題簡單清晰，很容易理解。早在歐幾里得《幾何原本》中已有論述，但是沒有證明。雷米歐司求證無門，求教于斯圖姆，但也不得其路，還是斯坦納率先用反證法給出證明。因此這一定理史稱“斯坦納-雷米歐司定理”。從1840年開始，至今發表的證明不下百種，可見人們的關注程度。這個定理真可謂數學園地中深受人們喜愛的一朵奇葩。
下面請看“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法。
圖（4）
已知：如圖（4）在△ABC中，BD、CE分別平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。
求證：AB =AC 。
證明：（海塞）
作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，連接BF ,
∵ BD = CE
∴△BDF ≌△ECB
∴BF =BE,∠BEC =∠FBD
設∠ABD =∠DBC =α，
∠ACE =∠ECB =β
則∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α
=180°-（2α+β）+α
=180°-（α+β）
∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）
∴∠FBC =∠CDF
∵2α+2β<180°
∴α+β<90°
即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )
連結CF，又有BC =DF，CF =FC，
∴△FBC ≌△CDF( ** )
∴BF =CD
∴BE =CD
∴△EBC ≌△DBC
∴∠B =∠C
∴ AB =AC.
( * )這里說明兩個對應相等的角都是鈍角，因而是“大角”，很有必要。
( ** )這里證明的根據就是“邊邊大角定理”。
以上的證明是首個給出的直接證法，非常經典。
新的證明方法其價值不僅在于證明本身，而且在于其所展示的知識之間的聯系和思維方法的啟發。“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法就是一個典型。
（責任編輯 付淑霞）
endprint
一、邊邊大角定理
兩組對應邊相等，并且其中一組邊的對角相等是兩個三角形全等的必要條件，但不是兩個三角形全等的充分條件。那么是不是對以上條件“加強”一下，可以成為充分條件呢？回答是肯定的。請看這個新的命題。
定理如果兩個三角形的兩組邊對應相等，并且其中較大一組邊的對角相等，則這兩個三角形全等。
已知：在△ABC與△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。
求證：△ABC ≌△ABC。
證明：按∠B的大小分成三種情況證明
（1）∠B >90°，如圖（1）
圖（1）
過A作CB延長線的垂線，垂足為D，過A作CB延長線的垂線，垂足為D。
在△ABD 與△ABD 中
∵ ∠B = ∠B
∴ ∠ABD =∠ABD
又AB = AB， ∠D =∠D=90°
∴ △ABD≌△AB D
∴AD = ADDB =DB
在△ACD 與△ACD中，
AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°
∴△ACD ≌△ACD
∴DC = D C
∴BC = B C
在△ABC與△ABC中.
AB = ABAC =A CBC = B C
∴ △ABC ≌△ABC.
命題成立。
（2）∠B = 90°，如圖（2）
圖（2）
這里AB 、AB為直角邊，正符合斜邊直角邊定理條件，
∴△ABC ≌△ABC
命題成立。
（3）∠B <90°，如圖（3）
圖（3）
∵ AC >AB
∴∠C<∠B∠C<∠B
即 ∠C<90°∠C <90°
仿（1）同理可證△ABC ≌△ABC。
綜上所述，定理成立。
由于∠B、∠B分別是所述兩邊中較大一組所對的角，因此定理可稱為邊邊大角定理。
二、邊邊大角定理的應用
下面通過斯坦納-雷米歐司定理的證明可以看到邊邊大角定理的應用。
兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形。這一命題簡單清晰，很容易理解。早在歐幾里得《幾何原本》中已有論述，但是沒有證明。雷米歐司求證無門，求教于斯圖姆，但也不得其路，還是斯坦納率先用反證法給出證明。因此這一定理史稱“斯坦納-雷米歐司定理”。從1840年開始，至今發表的證明不下百種，可見人們的關注程度。這個定理真可謂數學園地中深受人們喜愛的一朵奇葩。
下面請看“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法。
圖（4）
已知：如圖（4）在△ABC中，BD、CE分別平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。
求證：AB =AC 。
證明：（海塞）
作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，連接BF ,
∵ BD = CE
∴△BDF ≌△ECB
∴BF =BE,∠BEC =∠FBD
設∠ABD =∠DBC =α，
∠ACE =∠ECB =β
則∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α
=180°-（2α+β）+α
=180°-（α+β）
∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）
∴∠FBC =∠CDF
∵2α+2β<180°
∴α+β<90°
即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )
連結CF，又有BC =DF，CF =FC，
∴△FBC ≌△CDF( ** )
∴BF =CD
∴BE =CD
∴△EBC ≌△DBC
∴∠B =∠C
∴ AB =AC.
( * )這里說明兩個對應相等的角都是鈍角，因而是“大角”，很有必要。
( ** )這里證明的根據就是“邊邊大角定理”。
以上的證明是首個給出的直接證法，非常經典。
新的證明方法其價值不僅在于證明本身，而且在于其所展示的知識之間的聯系和思維方法的啟發。“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法就是一個典型。
（責任編輯 付淑霞）
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一、邊邊大角定理
兩組對應邊相等，并且其中一組邊的對角相等是兩個三角形全等的必要條件，但不是兩個三角形全等的充分條件。那么是不是對以上條件“加強”一下，可以成為充分條件呢？回答是肯定的。請看這個新的命題。
定理如果兩個三角形的兩組邊對應相等，并且其中較大一組邊的對角相等，則這兩個三角形全等。
已知：在△ABC與△ABC中，AB = AB AC =A CAC>AB ∠B = ∠B。
求證：△ABC ≌△ABC。
證明：按∠B的大小分成三種情況證明
（1）∠B >90°，如圖（1）
圖（1）
過A作CB延長線的垂線，垂足為D，過A作CB延長線的垂線，垂足為D。
在△ABD 與△ABD 中
∵ ∠B = ∠B
∴ ∠ABD =∠ABD
又AB = AB， ∠D =∠D=90°
∴ △ABD≌△AB D
∴AD = ADDB =DB
在△ACD 與△ACD中，
AD = ADAC =A C ∠D =∠D=90°
∴△ACD ≌△ACD
∴DC = D C
∴BC = B C
在△ABC與△ABC中.
AB = ABAC =A CBC = B C
∴ △ABC ≌△ABC.
命題成立。
（2）∠B = 90°，如圖（2）
圖（2）
這里AB 、AB為直角邊，正符合斜邊直角邊定理條件，
∴△ABC ≌△ABC
命題成立。
（3）∠B <90°，如圖（3）
圖（3）
∵ AC >AB
∴∠C<∠B∠C<∠B
即 ∠C<90°∠C <90°
仿（1）同理可證△ABC ≌△ABC。
綜上所述，定理成立。
由于∠B、∠B分別是所述兩邊中較大一組所對的角，因此定理可稱為邊邊大角定理。
二、邊邊大角定理的應用
下面通過斯坦納-雷米歐司定理的證明可以看到邊邊大角定理的應用。
兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形。這一命題簡單清晰，很容易理解。早在歐幾里得《幾何原本》中已有論述，但是沒有證明。雷米歐司求證無門，求教于斯圖姆，但也不得其路，還是斯坦納率先用反證法給出證明。因此這一定理史稱“斯坦納-雷米歐司定理”。從1840年開始，至今發表的證明不下百種，可見人們的關注程度。這個定理真可謂數學園地中深受人們喜愛的一朵奇葩。
下面請看“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法。
圖（4）
已知：如圖（4）在△ABC中，BD、CE分別平分∠B和∠C, 并且BD =CE 。
求證：AB =AC 。
證明：（海塞）
作∠BDF =∠BCE，并使DF = BC ，連接BF ,
∵ BD = CE
∴△BDF ≌△ECB
∴BF =BE,∠BEC =∠FBD
設∠ABD =∠DBC =α，
∠ACE =∠ECB =β
則∠FBC =∠FBD +∠DBC =∠BEC+α
=180°-（2α+β）+α
=180°-（α+β）
∠CDF =∠CDB +∠BDF =180°-(α+2β) +β=180°-（α+β）
∴∠FBC =∠CDF
∵2α+2β<180°
∴α+β<90°
即∠FBC =∠CDF > 90° ( * )
連結CF，又有BC =DF，CF =FC，
∴△FBC ≌△CDF( ** )
∴BF =CD
∴BE =CD
∴△EBC ≌△DBC
∴∠B =∠C
∴ AB =AC.
( * )這里說明兩個對應相等的角都是鈍角，因而是“大角”，很有必要。
( ** )這里證明的根據就是“邊邊大角定理”。
以上的證明是首個給出的直接證法，非常經典。
新的證明方法其價值不僅在于證明本身，而且在于其所展示的知識之間的聯系和思維方法的啟發。“斯坦納-雷米歐司定理”的海塞證法就是一個典型。
（責任編輯 付淑霞）
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