談高中函數(shù)中的奇偶性和對(duì)稱性

湯珠峰

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性、對(duì)稱性則是函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn).大家知道，函數(shù)的奇偶性具有對(duì)稱關(guān)系，而對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.

在蘇教版的教材中，關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的介紹是通過函數(shù)的奇偶性來引入的.這也是在研究這類問題時(shí)，要有機(jī)地將兩者結(jié)合起來的原因.因此諸如函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b等類似的結(jié)論都不能直接使用.所以在教學(xué)及解題中，就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的奇偶性出發(fā)，去判斷一個(gè)函數(shù)是否能關(guān)于某個(gè)點(diǎn)或是某條直線對(duì)稱，幫助學(xué)生正確面對(duì)問題，找到解決問題的有效途徑.

【例題】（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試題）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)P（a、b）成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”.

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（3）已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖像”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說明理由，并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）.

分析：函數(shù)圖像的平移，對(duì)于學(xué)生來說是從初中認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的圖像就已經(jīng)掌握的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)該很容易理解題設(shè)的正確性.

解析：（1）通過平移容易得到所求函數(shù)的解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由題設(shè)可知，對(duì)稱中心的研究可以歸結(jié)為研究原來函數(shù)是否為奇函數(shù)或者是如何將原函數(shù)看做某個(gè)奇函數(shù)通過適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q得到的.這就要求學(xué)生對(duì)于一些常見的奇函數(shù)的例子必須清楚，如僅含奇數(shù)次的多項(xiàng)式函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等.由題發(fā)現(xiàn)，研究的對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，要使其成為奇函數(shù)，就必須只留下奇數(shù)次的項(xiàng).

因此，假設(shè)g（x）=x3-3x2經(jīng)過適當(dāng)平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上討論可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.從而g（x）=x3-3x2關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱.

由上面的證明方法，我們可以得到一個(gè)關(guān)于三次函數(shù)的重要結(jié)論：

三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱中心為點(diǎn)（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定經(jīng)過適當(dāng)平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此時(shí)要求該函數(shù)為一奇函數(shù).由不等式2x+2a14-a-x>0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a=2.此時(shí)f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（2，1）.

（3）此命題是假命題.

舉反例說明.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x的圖像關(guān)于直線y=-x成軸對(duì)稱圖像，但是對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數(shù).

修改后的真命題“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=（x+a）是偶函數(shù)”.

接著，我們回到一開始給出的常用結(jié)論，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b，這個(gè)結(jié)論可以用上面的方法加以證明.

分析：只需構(gòu)造函數(shù)y=f（x+a）-b，說明它是一個(gè)奇函數(shù).

證明：由條件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函數(shù)的定義可知，函數(shù)f（x+a）-b為奇函數(shù).于是函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱.

關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性問題的考查，在2013年的各省市高考試題中出現(xiàn)很多，應(yīng)該引起大家重視.

【例1】（2013年高考新課標(biāo)1（理））若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值是.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)，

所以為偶函數(shù)，所以，所以，從而，所以.令，得或或，根據(jù)單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，取到最大值為.

【例2】（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理））已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是：

A.的圖像關(guān)于中心對(duì)稱

B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

C.的最大值為

D.既奇函數(shù)，又是周期函數(shù).

解析：對(duì)于選項(xiàng)（A）：，顯然是個(gè)奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于中心對(duì)稱；對(duì)于選項(xiàng)（B）：是偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性、對(duì)稱性則是函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn).大家知道，函數(shù)的奇偶性具有對(duì)稱關(guān)系，而對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.

在蘇教版的教材中，關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的介紹是通過函數(shù)的奇偶性來引入的.這也是在研究這類問題時(shí)，要有機(jī)地將兩者結(jié)合起來的原因.因此諸如函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b等類似的結(jié)論都不能直接使用.所以在教學(xué)及解題中，就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的奇偶性出發(fā)，去判斷一個(gè)函數(shù)是否能關(guān)于某個(gè)點(diǎn)或是某條直線對(duì)稱，幫助學(xué)生正確面對(duì)問題，找到解決問題的有效途徑.

【例題】（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試題）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)P（a、b）成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”.

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（3）已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖像”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說明理由，并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）.

分析：函數(shù)圖像的平移，對(duì)于學(xué)生來說是從初中認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的圖像就已經(jīng)掌握的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)該很容易理解題設(shè)的正確性.

解析：（1）通過平移容易得到所求函數(shù)的解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由題設(shè)可知，對(duì)稱中心的研究可以歸結(jié)為研究原來函數(shù)是否為奇函數(shù)或者是如何將原函數(shù)看做某個(gè)奇函數(shù)通過適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q得到的.這就要求學(xué)生對(duì)于一些常見的奇函數(shù)的例子必須清楚，如僅含奇數(shù)次的多項(xiàng)式函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等.由題發(fā)現(xiàn)，研究的對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，要使其成為奇函數(shù)，就必須只留下奇數(shù)次的項(xiàng).

因此，假設(shè)g（x）=x3-3x2經(jīng)過適當(dāng)平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上討論可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.從而g（x）=x3-3x2關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱.

由上面的證明方法，我們可以得到一個(gè)關(guān)于三次函數(shù)的重要結(jié)論：

三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱中心為點(diǎn)（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定經(jīng)過適當(dāng)平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此時(shí)要求該函數(shù)為一奇函數(shù).由不等式2x+2a14-a-x>0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a=2.此時(shí)f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（2，1）.

（3）此命題是假命題.

舉反例說明.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x的圖像關(guān)于直線y=-x成軸對(duì)稱圖像，但是對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數(shù).

修改后的真命題“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=（x+a）是偶函數(shù)”.

接著，我們回到一開始給出的常用結(jié)論，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b，這個(gè)結(jié)論可以用上面的方法加以證明.

分析：只需構(gòu)造函數(shù)y=f（x+a）-b，說明它是一個(gè)奇函數(shù).

證明：由條件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函數(shù)的定義可知，函數(shù)f（x+a）-b為奇函數(shù).于是函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱.

關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性問題的考查，在2013年的各省市高考試題中出現(xiàn)很多，應(yīng)該引起大家重視.

【例1】（2013年高考新課標(biāo)1（理））若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值是.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)，

所以為偶函數(shù)，所以，所以，從而，所以.令，得或或，根據(jù)單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，取到最大值為.

【例2】（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理））已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是：

A.的圖像關(guān)于中心對(duì)稱

B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

C.的最大值為

D.既奇函數(shù)，又是周期函數(shù).

解析：對(duì)于選項(xiàng)（A）：，顯然是個(gè)奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于中心對(duì)稱；對(duì)于選項(xiàng)（B）：是偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性、對(duì)稱性則是函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn).大家知道，函數(shù)的奇偶性具有對(duì)稱關(guān)系，而對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.

在蘇教版的教材中，關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性的介紹是通過函數(shù)的奇偶性來引入的.這也是在研究這類問題時(shí)，要有機(jī)地將兩者結(jié)合起來的原因.因此諸如函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b等類似的結(jié)論都不能直接使用.所以在教學(xué)及解題中，就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的奇偶性出發(fā)，去判斷一個(gè)函數(shù)是否能關(guān)于某個(gè)點(diǎn)或是某條直線對(duì)稱，幫助學(xué)生正確面對(duì)問題，找到解決問題的有效途徑.

【例題】（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試題）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)P（a、b）成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”.

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（3）已知命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖像”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說明理由，并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）.

分析：函數(shù)圖像的平移，對(duì)于學(xué)生來說是從初中認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的圖像就已經(jīng)掌握的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)該很容易理解題設(shè)的正確性.

解析：（1）通過平移容易得到所求函數(shù)的解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由題設(shè)可知，對(duì)稱中心的研究可以歸結(jié)為研究原來函數(shù)是否為奇函數(shù)或者是如何將原函數(shù)看做某個(gè)奇函數(shù)通過適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q得到的.這就要求學(xué)生對(duì)于一些常見的奇函數(shù)的例子必須清楚，如僅含奇數(shù)次的多項(xiàng)式函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等.由題發(fā)現(xiàn)，研究的對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，要使其成為奇函數(shù)，就必須只留下奇數(shù)次的項(xiàng).

因此，假設(shè)g（x）=x3-3x2經(jīng)過適當(dāng)平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上討論可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.從而g（x）=x3-3x2關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱.

由上面的證明方法，我們可以得到一個(gè)關(guān)于三次函數(shù)的重要結(jié)論：

三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱中心為點(diǎn)（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定經(jīng)過適當(dāng)平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此時(shí)要求該函數(shù)為一奇函數(shù).由不等式2x+2a14-a-x>0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a=2.此時(shí)f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（2，1）.

（3）此命題是假命題.

舉反例說明.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x的圖像關(guān)于直線y=-x成軸對(duì)稱圖像，但是對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）-b，即y=x+a-b總不是偶函數(shù).

修改后的真命題“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=（x+a）是偶函數(shù)”.

接著，我們回到一開始給出的常用結(jié)論，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b，這個(gè)結(jié)論可以用上面的方法加以證明.

分析：只需構(gòu)造函數(shù)y=f（x+a）-b，說明它是一個(gè)奇函數(shù).

證明：由條件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函數(shù)的定義可知，函數(shù)f（x+a）-b為奇函數(shù).于是函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱.

關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性問題的考查，在2013年的各省市高考試題中出現(xiàn)很多，應(yīng)該引起大家重視.

【例1】（2013年高考新課標(biāo)1（理））若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值是.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)，

所以為偶函數(shù)，所以，所以，從而，所以.令，得或或，根據(jù)單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，取到最大值為.

【例2】（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理））已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是：

A.的圖像關(guān)于中心對(duì)稱

B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

C.的最大值為

D.既奇函數(shù)，又是周期函數(shù).

解析：對(duì)于選項(xiàng)（A）：，顯然是個(gè)奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于中心對(duì)稱；對(duì)于選項(xiàng)（B）：是偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint