用列表格法分析數量關系解決數學應用題

張以德

從小學到初中，大多數學生遇到文字比較長的應用題一直不知道怎樣去分析，去尋找題中的數量關系，不知道怎樣把實際問題化成一個數學問題，建立數學模型。從上學期開始，我嘗試采取用表格分析的方法，幫助學生解決列方程解應用題。先列表格，把求解目標、已知條件分列出來，使數量關系明朗化，列方程就容易了。

列表法就是借助于列出表格的形式進行解題的一種方法，在有些應用題里，各種數量間的關系比較隱蔽，一下子不容易看出，而且條件繁多，變化復雜，遇到這些題目時，可以采用列表法來分析條件。列表時，可以先根據題意畫出表格，然后把問題中所有的已知量、未知量、隱蔽條件和所求量，用通用的記號、符號、字母等來代替，逐一填入表格中。而把問題中無關要緊的語句去掉，使我們能集中注意力考慮問題，迅速地找到等量關系，從而使問題得到正確解決。下面舉幾個例子加以說明。

例1：廣東宏遠隊的朱芳雨是中國男籃的主力前鋒，在一場洲際杯比賽中，他一人獨得23分（不含罰球得分）.已知他投進3分球比2分球少4個，他一共投進了幾個3分球和幾個2分球？

認真閱讀上述題目，我們思考以下問題：

1.題中涉及哪幾個量？

2.投中3分球個數和2分球的個數關系如何？得分是多少？

3.題目中的相等關系是什么？（3分球得分+2分球得分=23；2分球個數-3分球個數=4）.

假設投中3分球個數為x個，填寫以下表格，根據表格和相等關系列出方程求解，并想一想你能列出其他方式的表格嗎？

到了七年級，學習了二元一次方程組，本題可以假設兩個未知數，利用以上兩個等量關系，列出兩個方程，構成方程組求解，更易于理解。

如此，我在問題情景中，初步體驗用表格分析問題各量間的相互關系，感受到列表格是解決問題的一個重要手段.

例2：某商店以2400元購進某種盒裝茶葉，1月份每盒按進價增加20%作為售價，售出50盒。2月份每盒以低于進價5元作為售價，售完余下的茶葉。在整個買賣過程中盈利350元。求每盒茶葉的進價。

第一步，靜心讀題理頭緒

題意敘述了購進茶葉以及分兩個月售完茶葉的過程；題目中有三類不同實際意義的數量：單價，茶葉的盒數，總價；理清這兩方面的頭緒后，就用表格框架表示出來。

第二步，分析數量填表格

先設購進茶葉的單價為每盒元x，再在表內填入已知數量：購進茶葉的總價2400元，1月份售出茶葉50盒。然后用的x代數式分別表示，1、2月份售出茶葉的單價，表示購進茶葉的盒數和二月份售出茶葉的盒數。在這基礎上，以單價與盒數相乘，分別表示1、2月份售出茶葉的總價，得到如下表格（見下表）：

第三步，兩個方面作比較

題目還有個條件：盈利350元。就是把兩個月售出的總價之和與購進的總價比較，售出的總價之和多350元。

第四步，平衡多少列方程

從“多=少+差”的角度平衡這兩方面，列出方程：

50（1+20%）x+（x-5）（2400/x-50）=2400+350

（下略，答案是：每盒茶葉的進價是40元）

用列表法分析條件，不但眉目清楚，而且條件也不會遺漏，對初學者來說，是比較實用的。下面再舉一例。

例3：七年級學生去距學校10千米的博物館參觀，一部分同學騎自行車先走，過了20分鐘，其余同學乘汽車出發，結果他們同時到達。已知汽車的速度是騎車同學速度的2倍，求騎車同學的速度。

思考：這是勻速運動問題，它涉及到三個量：路程，速度，時間，其關系式為S=Vt，現分自行車、汽車兩種情況列表如下：

在中學數學應用題中，這類問題一般編有兩層或兩方面的內容（如本題中的自行車和汽車），而在三個關系量中，每方面只具體地給出一個已知量（如本題的距離10千米），其他兩個量不明確給出（如本題兩種車的速度和這兩種車到達博物館所用的時間），題中還給出了三個量之間的等量關系（如題中有：⑴自行車比汽車多用20分鐘。⑵汽車的速度是自行車速度的2倍）。

現把已知條件填入上表，進行觀察：

？

由上表可以看出，本題共有4個未知量，若想列一元方程來解，就假設一個未知數x來表示這4個未知量中的任何一個，這樣一來就有4種設法，到底采用哪一種設法較好呢？一般地說：（1）題目要求什么，就設什么為x；（2）列未知數的系數為整數優于分數。

根據公式S=Vt（隱含著的等量關系）和上面所說的設元方法，現設自行車的速度為x千米/時，填得如下表：

其中，2x利用了題設中的等量關系：汽速=自行車速度的2倍，利用了隱含的等量關系；

沒有利用的等量關系是：自走時間-汽走時間=20分鐘 ，據此，可列方程：_______-_______=________，求得自行畫的速度為每小時15千米。

換個角度思考，如果把本題的要求改為：騎車同學到博物館用了多少時間？則可設汽車到達博物館用了x小時，也可以得到下表：

對于任何一個應用題，只要仔細地分析題中的數量關系，都可以得到幾個不同的方程方程的意義，這正是我們建起方程的根本。用表格法分析題中的數量關系與線段、圖解法一樣，僅僅是分析的一種手段而已，并沒有什么獨創之處。能用表格法分析的應用題，同樣也可以借助于其它工具分析。但對于有幾個量限制的問題，通過表格法我們更容易理清各個量之間的關系，降低題目難度，快速找到等量關系，列出方程。

幾點說明：

1.針對不同的應用題，可以設計不同的表格。表格的橫向反映不同數量的關系，即：每份數×份數=總數；表格的縱向反映題目包含的不同階段或不同方面。

2.填表后總有一個條件沒有用過，正好用來列方程。

3.在用此法解決問題時，隨著解題的著眼點的不同，表格的形式也不是千篇一律的，必須在實踐中靈活運用。