淺談美國(guó)微積分教材的編寫特色

朱鳳琴

［摘要］ 以美國(guó)流行的四部教材為樣本，可以分析得出美國(guó)微積分教材的五個(gè)特色，它們分別是：先進(jìn)的教育理念；教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式的多樣性；重視微積分的應(yīng)用；信息技術(shù)的充分運(yùn)用；習(xí)題量豐富，層次分明，注重應(yīng)用。由于中美微積分教學(xué)改革有著相似的歷史背景，美國(guó)微積分教材的特色可給我國(guó)高等數(shù)學(xué)教材建設(shè)提供有益的啟示。

［關(guān)鍵詞］美國(guó)微積分教材特色啟示

［中圖分類號(hào)］O172［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］2095-3437（2014）13-0051-03

20世紀(jì)90年代后期，隨著高校擴(kuò)招，高等教育從精英教育走向大眾教育。高等數(shù)學(xué)（國(guó)外稱為微積分）教學(xué)基本都是大班教學(xué)，由于學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊，且學(xué)習(xí)興趣不大，因而學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)不是很理想。針對(duì)我國(guó)高等數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀，各高校積極進(jìn)行了一系列大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革。教學(xué)內(nèi)容改革是其中重要的一個(gè)方面，大家一致認(rèn)為課程內(nèi)容的合理設(shè)置是提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的起點(diǎn)。因此，隨后幾年高等數(shù)學(xué)教材便如雨后春筍般冒出來(lái)，但經(jīng)典的不是很多。為了打開視野，多角度提供編寫適于學(xué)生學(xué)習(xí)的好教材，下面介紹美國(guó)流行的微積分教材特點(diǎn)，期望為我國(guó)高等數(shù)學(xué)教材編寫提供有益啟示。

一、中美微積分教學(xué)改革背景的相似性

1965年-1975年間，美國(guó)高校擴(kuò)招比例最大，越來(lái)越多的學(xué)生進(jìn)入高校之前就已在高中學(xué)過(guò)微積分。因此擴(kuò)招使得學(xué)生的組成與和教材內(nèi)容各方面都有很多變化。到20世紀(jì)80年代中期,進(jìn)入美國(guó)高等學(xué)院的學(xué)生人數(shù)達(dá)到歷史最高,在那些招生規(guī)模很大的高校中，微積分教學(xué)班的學(xué)生數(shù)同樣也急劇增加。其結(jié)果是,微積分班中不及格的學(xué)生人數(shù)以及百分比也增加了。從1985年起，美國(guó)的大學(xué)開始致力于微積分課程內(nèi)容及教學(xué)方式的改革。1987年,國(guó)家科學(xué)基金會(huì)（NSF）宣布啟動(dòng)微積分計(jì)劃。NSF投入大量資金用于微積分改革項(xiàng)目,這促使很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家對(duì)整個(gè)微積分課程進(jìn)行嚴(yán)肅的反思。改革雖有爭(zhēng)議，但項(xiàng)目成果包括很多優(yōu)秀的微積分教材及豐富的教學(xué)方式，今天還在美國(guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)課堂中流行。由于中美教改背景的相似性，并且美國(guó)的教學(xué)改革要比我們?cè)?0年左右，所以我們可以借鑒他們的教材編寫特色，吸收其精華，避免走不必要的彎路，以加快我國(guó)微積分教材的現(xiàn)代化建設(shè)。

為了便捷歸納出美國(guó)微積分教材特色，我們采用了在美國(guó)很多大學(xué)采用的流行的經(jīng)典教材，它們是：

1. 微積分，D.休斯·哈雷特，A·M.克菜遜等著，胡乃,邵勇，徐可，馬志鵬，徐剛譯，高等教育出版社，1997.

2. 微積分（翻譯版，原書第9版），Dale Varberg, Edwin J.Purcell, Steven E.Rigdon 著，劉深泉，張萬(wàn)芹，張同斌，杜保健等譯，機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

3. Thomas Calculus（10th Edition）,by Ross Finney et al,2001.

4.Calculus （5th Edition）, by James Stewart, 2003.

為了敘述方便，上述教材在下文中分別稱為：“教材一”、“教材二”、“教材三”、“教材四”。

二、美國(guó)微積分教材的特色

（一）先進(jìn)的教育理念

“教材一”是由美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)資助，以哈佛大學(xué)為首的合作組嘗試編著的微積分課程。合作組認(rèn)為微積分具有將復(fù)雜問(wèn)題歸納為簡(jiǎn)單規(guī)則和步驟的非凡能力，以前的教學(xué)往往忽略了數(shù)學(xué)本身，也忽略了它的實(shí)際價(jià)值。為了恢復(fù)微積分的數(shù)學(xué)內(nèi)容，合作組在教材編寫時(shí)努力遵循兩條原則。一是三項(xiàng)準(zhǔn)則：課程的每一主題都應(yīng)該從幾何、數(shù)值和代數(shù)三個(gè)方面加以體現(xiàn)；二是阿基米德方法：正式的定義與方法是根據(jù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查研究得出的。

后來(lái)三項(xiàng)準(zhǔn)則又被擴(kuò)展成四原則，即認(rèn)為除圖像、數(shù)值、符號(hào)外還應(yīng)包括語(yǔ)言。這里的語(yǔ)言既包括自然的描述性語(yǔ)言,也包括形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用。從幾何、代數(shù)、算術(shù)、數(shù)值的多元表征方式充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念,符合個(gè)體認(rèn)知規(guī)律,有利于個(gè)體理解。不同的表征能夠傳達(dá)不同的信息,從整合的表征中獲取的信息,比從一種單一的表征中獲取的信息要多。

基于原則二阿基米德方法，課本的編寫是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的，只要有可能，編者總是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，并由此推出相關(guān)定義或定理。另外，四部教材的編者也一直牢記一個(gè)編寫原則：教科書是為學(xué)生寫的。因此教材的語(yǔ)言都重視自然語(yǔ)言，由淺入深，由特殊到一般，由直觀到抽象，知識(shí)臺(tái)階層次分明，給學(xué)生自學(xué)提供了方便。

（二）教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式的多樣性

正是基于先進(jìn)的教育理念，美國(guó)教材總是從簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題或淺顯的舊知識(shí)入手，利用自然的語(yǔ)言層層鋪墊，引導(dǎo)出新知。教材的表述不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性，還在行文中恰當(dāng)?shù)膶⑶叭擞涩F(xiàn)實(shí)到抽象，再到應(yīng)用的過(guò)程中所經(jīng)歷的智慧、方法及趣事展現(xiàn)給學(xué)習(xí)者，這種全方位的展示，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不僅學(xué)到微積分知識(shí)，同時(shí)也了解到微積分的發(fā)展背景、本質(zhì)及其局限，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。

教材內(nèi)容、結(jié)構(gòu)順序的多樣化。比如“教材二”的內(nèi)容安排是：0.預(yù)備知識(shí)，1.極限，2.導(dǎo)數(shù)，3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，4.定積分，5.積分的應(yīng)用，6.超越函數(shù)，7.積分技巧，8.不定型的極限和反常積分，9.無(wú)窮級(jí)數(shù)，10.圓錐曲線與極坐標(biāo)，11.空間解析幾何與向量代數(shù)，12.多元函數(shù)的微分，13.多重積分，14.向量微積分。“教材一”的內(nèi)容安排則是：1.函數(shù)庫(kù)（包括指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)），2.關(guān)鍵概念：導(dǎo)數(shù)，3.關(guān)鍵概念：定積分，4.簡(jiǎn)明微分，5.利用導(dǎo)數(shù)，6.由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新構(gòu)造函數(shù)本身，7.積分，8.定積分的應(yīng)用，9.微分方程，10.逼近。可見教材內(nèi)容及結(jié)構(gòu)順序的不同，可適合不同學(xué)習(xí)者的需求，滿足學(xué)習(xí)者的好奇心，促進(jìn)輕松自由的多元化學(xué)習(xí)方式。

（三）重視微積分的應(yīng)用

美國(guó)教材的突出特點(diǎn)是把數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題,題目?jī)?nèi)容豐富,涉及面廣,量大,緊密結(jié)合了最新的實(shí)際問(wèn)題。“教材三”的應(yīng)用題就涉及物理、建筑、幾何、生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融、軍事、政治等各個(gè)方面。比如，在講到導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)教材介紹了血管照影術(shù)和成形術(shù),并引用了兩張醫(yī)學(xué)上的原理圖。從數(shù)學(xué)的角度看，這些問(wèn)題都只不過(guò)是關(guān)于某個(gè)指標(biāo)的變化率,然而一旦和實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系,就增加了題目的趣味性,拓寬了讀者的知識(shí)面,學(xué)生也會(huì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到微積分的應(yīng)用價(jià)值。

（四）信息技術(shù)的充分運(yùn)用

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)已在美國(guó)各教材中有所體現(xiàn)，比如一些較復(fù)雜函數(shù)的圖形都是計(jì)算機(jī)繪制的。“教材四”是一本適合高職院校使用的微積分教材。這本書在當(dāng)今國(guó)際上是非常暢銷的微積分教材，這與其豐富的信息技術(shù)的應(yīng)用不無(wú)關(guān)系。其信息技術(shù)應(yīng)用的特色包括：1．力求將微積分知識(shí)用圖形、文字、數(shù)值和代數(shù)的方式加以呈現(xiàn)（即“四原則”），以幫助學(xué)生理解這些學(xué)習(xí)內(nèi)容，而不僅滿足于只會(huì)進(jìn)行計(jì)算或證明。2．充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的符號(hào)運(yùn)算功能。計(jì)算機(jī)的繪圖功能在微積分教材中得到充分體現(xiàn)應(yīng)是必然，但其強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能在國(guó)內(nèi)微積分教材中卻顯得“無(wú)用武之地”。3．重視圖形計(jì)算器（或計(jì)算機(jī)）的應(yīng)用。教材開辟專門章節(jié)講述圖形計(jì)算器（或計(jì)算機(jī)）的使用方法。并強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)在處理微積分中的優(yōu)勢(shì)與不足。4．重視信息技術(shù)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用,如例題或習(xí)題都明確給出了基于信息技術(shù)的驗(yàn)證、估計(jì)、猜想、比較等思維環(huán)節(jié)與方法，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力落到實(shí)處。另外，該教材還有輔助學(xué)習(xí)軟件與教材網(wǎng)站，這都有助于學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)及創(chuàng)新性學(xué)習(xí)。

（五）習(xí)題量豐富，層次分明，注重應(yīng)用

因?yàn)榻滩氖菫閷W(xué)生編的，為了方便學(xué)生學(xué)習(xí)，美國(guó)教材都配置了大量的習(xí)題。下面以“教材二”為例來(lái)說(shuō)明其習(xí)題配置特色。

1．教材中的習(xí)題量大，類型多，層次分明。習(xí)題總量達(dá)6100題，包括概念復(fù)習(xí)題，難度各異的計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題，綜合性較強(qiáng)的探索研究題。2．有的習(xí)題是不同數(shù)學(xué)學(xué)科之間的交叉題，開闊了學(xué)生思路。3．應(yīng)用題盡可能反映當(dāng)代科技發(fā)展的新成果，貼近時(shí)代發(fā)展步伐。4．有的習(xí)題需要運(yùn)用信息技術(shù)方可完成。5．適當(dāng)注意習(xí)題的趣味性，吸引學(xué)生去做。

三、美國(guó)微積分教材特色對(duì)我國(guó)教材編寫的啟示

（一）明確教材編寫的目的與原則

目前，國(guó)內(nèi)也有一些經(jīng)典的高等數(shù)學(xué)教材，比如同濟(jì)大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》，人大出版社吳贛昌編著的《高等數(shù)學(xué)》，這些都是很受大家歡迎的。比如同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》（第四版）這樣講到:本書第四版是在全國(guó)高校工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)指導(dǎo)下,遵照國(guó)家教委“對(duì)質(zhì)量較高,基礎(chǔ)較好，使用面較廣的教材要進(jìn)行錘煉”的精神,并結(jié)合修改的《高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求》在三版的基礎(chǔ)上修改成的。這次修改廣泛吸取全國(guó)同行的意見,從教學(xué)角度出發(fā)進(jìn)行仔細(xì)推敲,改寫了一些重要概念的論述,調(diào)整了習(xí)題的配制,每章增加總習(xí)題,使內(nèi)容和系統(tǒng)更加完整。第四版保持了第三版結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯清晰、敘述詳細(xì)、通俗淺顯、例題較多、便于自學(xué)等優(yōu)點(diǎn),又在保證教學(xué)基本要求的前提下,擴(kuò)大了適應(yīng)面,增強(qiáng)了伸縮性。可見，好的教材必須有好的指導(dǎo)方針與編寫原則。不可回避的是我們還有一些教材編寫質(zhì)量很差，不談編者的數(shù)學(xué)功底，這些教材編寫的初衷往往不是為了學(xué)生，而是為了應(yīng)付學(xué)校的科研考核，或是為了評(píng)職稱。今天我們重讀經(jīng)典教材，希望他們的編寫原則能影響到我們，也讓國(guó)產(chǎn)高等數(shù)學(xué)教材走出國(guó)門，走向世界。

（二）在尊重?cái)?shù)學(xué)邏輯性與抽象性同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)的直觀性、趣味性

數(shù)學(xué)是一個(gè)公理化體系，邏輯性與抽象性是它的特征。教材編寫就是把學(xué)術(shù)性數(shù)學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育數(shù)學(xué)形態(tài)的工作。為了易于學(xué)生接受數(shù)學(xué)知識(shí)，教材編寫者有責(zé)任以直觀形象、通俗易懂的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)，從圖像、數(shù)值、符號(hào)、語(yǔ)言多元表征方式充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念及定理。適時(shí)介紹杰出的數(shù)學(xué)家，介紹數(shù)學(xué)概念發(fā)展史，介紹各種數(shù)學(xué)符號(hào)的由來(lái)，這不僅有助于學(xué)生理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)也能對(duì)學(xué)生進(jìn)行人文素質(zhì)教育，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有認(rèn)同感，提高學(xué)習(xí)興趣。

（三）增加例題及習(xí)題量，注重應(yīng)用題

相對(duì)于美國(guó)教材，國(guó)內(nèi)教材的習(xí)題量偏少，應(yīng)用題型還徘徊在幾十年不變的幾個(gè)物理或經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用。例題量的增加，并不意味著課堂教學(xué)量的提升，而是給學(xué)生提供更多的自學(xué)題材，大學(xué)生不同于中學(xué)生，課后完全可以通過(guò)自學(xué)例題加深課堂認(rèn)知，通過(guò)課外適當(dāng)做習(xí)題鞏固新知，擴(kuò)寬視野。當(dāng)然，為了感受到微積分的強(qiáng)大應(yīng)用功能，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，習(xí)題配置一定要和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，這樣才能讓學(xué)生真實(shí)感受到微積分的非凡能力。

（四）加強(qiáng)信息技術(shù)在教材中的體現(xiàn)

國(guó)內(nèi)教材的編寫者也注意到了信息技術(shù)必將走進(jìn)微積分教學(xué)，翻開每本教材，在附錄中總會(huì)看到有關(guān)某個(gè)數(shù)學(xué)軟件的介紹。在進(jìn)行精品教材建設(shè)時(shí)，總會(huì)有部分內(nèi)容被上傳到網(wǎng)絡(luò)，這說(shuō)明在我們的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中已有信息技術(shù)的身影。但是真正能把信息技術(shù)恰當(dāng)?shù)厝谌虢滩闹械倪€很少。信息技術(shù)的使用是以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量為原則的，并非為用技術(shù)而技術(shù)，不當(dāng)?shù)募夹g(shù)使用不如不用。具體怎么把信息技術(shù)恰當(dāng)?shù)厝谌虢滩模且粋€(gè)值得深入研究的課題，我們可以借鑒國(guó)外的一些做法，慢慢探討實(shí)踐。

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［責(zé)任編輯：陳明］